天天练17

2 疑难突破：利用切化弦将已知等式等价转化，最终转化为三角形三角正弦 之间的关系，从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系．
天天练 17 解三角形及其应用
一、选择题
1．在 ABC中，如果sinA ：sinB ：sinC＝2 ：3 ：4，那么cosC等于(
2
2
A. B．－
3
3
△ )
1
1
C．－ D．－
3
4
2．(2017·
河
西
五
市
二
联 )在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－a)sinA＝(b－c)
(sinB＋sinC)，则角C等于( )
π π π 2π A. B. C. D.
364 3
3．在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC是 ( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
4．(2017·大连双基)△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝( )
3
6
66
A. B．± C．－ D.
为__________米．
三、解答题
12．(2016·
山
东
，
tanA 16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝
cosB
tanB ＋.
cosA
(1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值．
天天练 17 解三角形及其应用
a
b
c
1 ． D 由正弦定理
a，b，c成等比数列. 故选B.
9．1
解析：由正弦定理得 sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理
b2＋c2－a2 25＋36－16 3
sin2A 2sinAcosA
sinA
知 cosA＝
＝
＝ ，所以
＝
＝2×
2bc
2×5×6 4
sinC
sinC
sinC
43 ×cosA＝2× × ＝1.
3
3
33
π
1
5．(2016·新 课 标 全 国 卷 Ⅲ)在△ABC中，B＝ ，BC边上的高等于
4
3
BC，则cosA＝( )
3 10 10
10
3 10
A.
B. C．－ D．－
10 10
10
10
6．(2016·
天
津
，
3)在△ABC中，若AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．(2017·
太
原
五
中
检
22 测)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinA＝ ，a＝2
3
，S△ABC＝ 2，则b的值为( )
32 A. 3B.
2
C．2 2D．2 3 8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B＋cosB＋cos( A－C)＝1，则( ) A．a，b，c成等差数列 B．a，b，c成等比数列 C．a，c，b成等差数列 D．a，c，b成等比数列
42
2
9
5
10
b2＋c2－a2
ac＝ c2＋c2－3c2＝ c2，则b＝
c.由余弦定理，可得cosA＝
2
2
2
2bc
5
9
c2＋c2－ c2
2
2
10
＝
＝－ ，故选C.
10
10
2× c×c 2
技巧点拨：三角形中边角互化的依据是正弦定理、余弦定理，考生要能灵
活应用．
6．A 在
△
ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcosC，得13
a2＋b2－c2 1
π
cosC＝
＝ ，∴C＝ ，故选A.
2ab
2
3
3．B 根据题意，结合着正弦定理，可知sinC＝2sinAcosB，即sin(A＋B)＝2sinAcosB ，所以有sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，整理得sin(A－B)＝0，结合着三角 形的内角的取值范围，可知A＝B，所以三角形为等腰三角形，故选B.
AC
AB
AB·sinB 2×sin60°
4．D 由正弦定理得
＝
， ∴ sinC＝
＝
sinB sinC
AC
3
3
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6
＝ ，又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝ 1－sin2C＝ .
3
3
1 5．C 设 △ ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得
3
π2
32
a＝csin ＝ c，则a＝ c.在 △ ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ 2
二、填空题
sin2A 9．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则 ＝__________.
sinC
10．(2017·
长
沙
一
模)△ABC的周长等于2(sinA＋sinB＋sinC)，则其外接圆半径等于__________．
11．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在
观察站C北偏东30°方向，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离
从而 sinA＋sinB＝2sinC.
由正弦定理得 a＋b＝2c.
a＋b (2)由(1)知 c＝ ，
2
a＋b
a2＋b2－ 2
a2＋b2－c2
2
所以 cosC＝
＝
2ab
2ab
3a b 1 1 ＝ ＋ － ≥ ，
8b a 4 2
当且仅当 a＝b 时，等号成立．
1 故 cosC 的最小值为 .
sinA sinB sinA
sinB
12．解析：(1)由题意知 2 ＋ ＝
＋
，
cosA cosB cosAcosB cosAcosB
化简得 2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，
即 2sin(A＋B)＝sinA＋sinB.
因为 A＋B＋C＝π，
所以 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.
1 ＝9＋b2－2×3b× － ，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故
2
选A.
1
1 22
7．A 因为S △ ABC＝ 2 bcsinA＝ 2 bc× 3 ＝ 2 ，所以bc＝3 ① .因为 △
1 ABC是锐角三角形，所以cosA＝ ，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b
3
1 2＋c2－2×3× ，所以b2＋c2＝6②.联立①②，解得b＝c＝ 3，故选A.
3
8．B 由cos2B＋cosB＋cos(A－C)＝1得，cosB＋cos(A－C)＝1－cos2B，
∵
cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)，cos2B＝1－2sin2B，
∴
cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin2B， ∴ sinAsinC＝sin2B，由正弦定理得ac＝b2， ∴
64
10．1 解析：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的三边分别为 a，b，c，外接圆半径 为 R，则依题意得 a＋b＋c＝2(sinA＋sinB＋sinC)．由正弦定理得 2R(sinA＋sinB ＋sinC)＝2(sinA＋sinB＋sinC)，因此该三角形的外接圆半径 R＝1. 11．700 解析：由题意，△ABC 中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦 定理可得，AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB＝700.
＝
＝
sinA
sinB
sinC
可知a ：b ：c＝sinA ：sinB ：sinC＝2 ：3 ：4，设a＝2k，b＝3k，c
a2＋b2－c2 4k2＋9k2－16k2 1
＝4k，cosC＝
＝
＝－ ，答案选D.
2ab
2×2k×3k
4
2．A 由题意得，(b－a)a＝(b－c)(b＋c)， ∴ ab＝a2＋b2－c2， ∴