城区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(2)

城区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（）
A．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
2．垂直于同一条直线的两条直线一定（）
A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能
3．已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（）
A．2 B．C．D．13
4．若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（）
A．（﹣∞，0）B．C．[0，+∞）D．
5．为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
6．圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
7．圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的1
2
，则圆锥的体积（）
A.缩小到原来的一半
B.扩大到原来的倍
C.不变
D.缩小到原来的1 6
8． 定义运算，例如
．若已知
，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6
B ．3
C ．
3
8
D ．
3
4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
10．（2011辽宁）设sin （
+θ）=，则sin2θ=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
11．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ） A ．0 B ．2 C ．2 D ．3
12．已知向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），若与共线．则n 等于（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
二、填空题
13．在极坐标系中，点（2，
）到直线ρ（cos θ+
sin θ）=6的距离为 ．
14．直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，则实数a 的值为 ．
15．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．
16．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．
17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2
ln f x x x =-的单调递增区间为__________．
18．设抛物线C ：y 2=3px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为 ．
三、解答题
19．已知m ∈R ，函数f （x ）=（x 2+mx+m ）e x ． （1）若函数f （x ）没有零点，求实数m 的取值范围；
（2）若函数f （x ）存在极大值，并记为g （m ），求g （m ）的表达式；
（3）当m=0时，求证：f （x ）≥x 2+x 3
．
20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x a
f x b
+-+=+.
（1）当1a b ==时，求满足()3x
f x =的x 的取值；
（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在t R ∈，不等式()()
22
22f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；
②若函数()g x 满足()()()
12333
x
x f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.
21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
选修41-：几何证明选讲 如图，,,A B C 为
O 上的三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交O 于
点D ，过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ． （Ⅰ）证明：BD 平分EBC ∠； （Ⅱ）证明：AE DC AB BE ⨯=⨯．
22．已知p ：，q ：x 2﹣（a 2+1）x+a 2
＜0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
23．已知函数f （x ）=．
（1）求f （x ）的定义域； （2）判断并证明f （x ）的奇偶性；
（3）求证：f （）=﹣f （x ）．
24．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝1
2
x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .
（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；
（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．
城区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图
则不等式xf （x ）＜0的解为：
或
解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D ．
2． 【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面． 故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
3． 【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得
=||||cos ＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
=
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
4． 【答案】B
【解析】解：y=|x|（1﹣x ）=
，
再结合二次函数图象可知
函数y=|x|（1﹣x）的单调递增区间是：．故选：B．
5．【答案】A
【解析】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，
即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．
6．【答案】D
【解析】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：
圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．
两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．
故选D
7．【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2
1
1
3
V r h
π
=，将圆锥的高扩大到原来
的倍，底面半径缩短到原来的1
2
，则体积为22
2
111
(2)
326
V r h r h
ππ
=⨯=，所以1
2
2
V
V
=，故选A.
考点：圆锥的体积公式.1 8． 【答案】D
【解析】解：由新定义可得，
=
=
=
=
．
故选：D ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
9． 【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82=的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2， 设P （a ，﹣2），B （m ，），则
=（﹣a ，4），
=（m ，
﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
10．【答案】A
【解析】解：由sin （
+θ）=sin
cos θ+cos
sin θ=
（sin θ+cos θ）=，
两边平方得：1+2sin θcos θ=，即2sin θcos θ=﹣，
则sin2θ=2sin θcos θ=﹣．
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
11．【答案】D
【解析】∵(2)⊥-a a b ，∴(2)0⋅-=a a b ， ∴21122
⋅=
=a b a ， ∴222||()2+=
+=+⋅+a b a b a a b b 221
12132
=+⨯+=
12．【答案】A
【解析】解：∵向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），且与共线．
∴1×（n ﹣2）=﹣1×n ，解之得n=1 故选：A
二、填空题
13．【答案】 1 ．
【解析】解：点P （2，）化为P
．
直线ρ（cos θ+
sin θ）=6化为
．
∴点P 到直线的距离d==1．
故答案为：1． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
14．【答案】1
【解析】 【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值． 【解答】解：直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，
∴
，解得 a=1．
故答案为 1．
15．【答案】 27
【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32
=18种，
若A 方格填2，则排法有1×32
=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种． 故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．
16．【答案】
（02x ＃，02y ＃）上的点(,)x y 到定点(2,2)2，故MN 的取值
范围为．
2
2
y
x
B
17．【答案】0,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
18．【答案】 y 2=4x 或y 2=16x ．
【解析】解：因为抛物线C 方程为y 2
=3px （p ＞0）所以焦点
F 坐标为（
，0），可得|OF|=
因为以MF 为直径的圆过点（0，2），所以设A （0，2），可得AF
⊥AM Rt △AOF 中，
|AF|=
，
所以sin ∠OAF==
因为根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于A 点，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
因为|MF|=5，|AF|=，
所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案为：y2=4x或y2=16x．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）e x=0，所以x2+mx+m=0．
因为函数f（x）没有零点，所以△=m2﹣4m＜0，所以0＜m＜4．
（2）f'（x）=（2x+m）e x+（x2+mx+m）e x=（x+2）（x+m）e x，
令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m，
当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表：
x （﹣∞，﹣m）﹣m （﹣m，﹣2）﹣2 （﹣2，+∞）
f'（x）+0 ﹣0 +
f（x）↗me﹣m↘（4﹣m）e﹣2↗
当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣m．
当m=2时，f'（x ）=（x+2）2e x
≥0，f （x ）在R 上为增函数，
所以f （x ）无极大值．
当m ＜2时，﹣m ＞﹣2．列出下表：
x （﹣∞，﹣2） ﹣2 （﹣2，﹣m ） ﹣m （﹣m ，+∞） f'（x ） + 0
﹣
0 + f （x ） ↗
（4﹣m ）e ﹣2
↘
me ﹣m
↗
当x=﹣2时，f （x ）取得极大值（4﹣m ）e ﹣2
，
所以
（3）当m=0时，f （x ）=x 2e x ，令ϕ（x ）=e x ﹣1﹣x ，则ϕ'（x ）=e x
﹣1，
当x ＞0时，φ'（x ）＞0，φ（x ）为增函数；当x ＜0时，φ'（x ）＜0，φ（x ）为减函数，
所以当x=0时，φ（x ）取得最小值0．
所以φ（x ）≥φ（0）=0，e x ﹣1﹣x ≥0，所以e x
≥1+x ，
因此x 2e x ≥x 2+x 3，即f （x ）≥x 2+x 3
．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．
20．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6
【解析】
试题
解析：（1）由题意，1
31331x x x +-+=+，化简得()2332310x
x ⋅+⋅-= 解得()13133
x x
=-=舍或，
所以1x =-
（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{
{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1
{ 3
a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()131
33
x x f x +-+=+
①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()
21
12
12121222333313133131
x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭
因为12x x <，所以21330x x
->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减．
因为()()
22
22f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在
时有解
所以440t ∆=+>，解得：1t >-， 所以的取值范围为()1,-+∞
②因为()()()
12333x x
f x
g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()
3323x x g x f x --=-
即()33x
x
g x -=+
所以()()
2
22233332x x x x
g x --=+=+-
不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立， 即()
()
2
3323311x x
x x m --+-≥⋅+-，
即：9
3333
x x
x x
m --≤++
+恒成立 令33,2x x
t t -=+≥，则9m t t
≤+在2t ≥时恒成立
令()9h t t t =+，()29
'1h t t
=-，
()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

21．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE 是⊙O 的切线，所以BAD EBD ∠=∠…………2分 又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,………………4分 所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知BAD EBD ∠=∠，且BED BED ∠=∠，
BDE ∆∽ABE ∆,所以
AB
BD
AE BE =
,……………………7分 又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,
所以DBC BCD ∠=∠，CD BD =．……………………8分
所以
AB
CD
AB BD AE BE =
=，……………………9分 所以BE AB DC AE ⋅=⋅．……………………10分
22．【答案】
【解析】解：由p ：
⇒﹣1≤x ＜2，
方程x 2﹣（a 2+1）x+a 2=0的两个根为x=1或x=a 2
，
若|a|＞1，则q ：1＜x ＜a 2，此时应满足a 2
≤2，解得1＜|a|≤
，
当|a|=1，q ：x ∈∅，满足条件， 当|a|＜1，则q ：a 2
＜x ＜1，此时应满足|a|＜1，
综上﹣
．
【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵1+x 2
≥1恒成立，∴f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞）；
（2）∵f （﹣x ）=
=
=f （x ），
∴f （x ）为偶函数；
（3）∵f （x ）=
．
∴f （）===﹣=﹣f （x ）．
即f （）=﹣f （x ）成立．
【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．
24．【答案】
【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ， 设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0）， 由h （x ）＝ln x 得
h ′（x ）＝1
x ，（x ＞0），
则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝m mx 0－ln x 0－1＝0，
解得x 0＝m ＝1. ∴m 的值为1.
（2）φ（x ）＝1
2x 2＋x ＋a －e x ，
φ′（x ）＝x ＋1－e x ， 令t （x ）＝x ＋1－e x ， ∴t ′（x ）＝1－e x ，
当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0， x ＝0时，t ′（x ）＝0.
∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0， 即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a ＝1有φ（0）＝0.
∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0， 当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 即（a －1）（a －2e －3
2
）＜0，
∴1＜a ＜2e －32，即a 的取值范围为（1，2e －3
2
）．。