人教版高中数学(A)必修3试题 用样本的数字特征估计总体

2.2.2用样本的数字特征估计总体 基础知识和技能训练(十四)
1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )
A ．平均数>中位数>众数
B ．平均数<中位数<众数
C ．中位数<众数<平均数
D ．众数＝中位数＝平均数
解析 由所给数据知，众数为50，中位数为50，平均数为50，∴众数＝中位数＝平均数．
答案 D
2．已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据中位数为5，那么数据中的众数为( )
A ．5
B ．6
C ．4
D ．5.5
解析 由中位数是5，得4＋x ＝5×2，∴x ＝6.此时，这列数为－1,0,4,6,6,15，∴众数为6.
答案 B
3．一组数据的标准差为s ，将这组数据中每一个数据都扩大到原来的2倍，所得到的一组数据的方差是( )
A.s 22 B ．4s 2 C ．2s 2
D ．s 2
解析 标准差是s ，则方差为s 2.当这组数据都扩大到原来的2倍时，平均数也扩大到原来的2倍，因此方差扩大到原来4倍，故方差为4s 2.
答案 B
4．在样本方差的计算公式s 2
＝1
10[(x 1－20)2＋(x 2－20)2＋…＋(x 10
－20)2]中，数字10和20分别表示样本的( )
A ．容量、方差
B ．平均数、容量
C ．容量、平均数
D ．标准差、平均数
解析 由方差s 2的定义知，10为样本的容量，20为样本的平均数．
答案 C
5．某人5次上班途中所花时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值是( )
A ．1
B ．2 B ．3
D ．4
解析 由题意可得
⎩⎪
⎨⎪⎧
x ＋y ＋10＋11＋9
5＝10，15[(x －10)2
＋(y －10)2
＋(10－10)2
＋(11－10)2
＋(9－10)2
]＝2，
化简得⎩⎨
⎧
x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，
解得⎩⎨
⎧
x ＝12，y ＝8，
或⎩⎨
⎧
x ＝8，y ＝12.
从而|x －y |＝4. 答案 D
6．某高校有甲、乙两个数学兴趣班，其中甲班40人，乙班50人，现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩为90分，乙班的平均成绩为81分，则该校数学兴趣班的平均成绩是________分．
解析 平均成绩为(90×40＋81×50)×1
90＝85. 答案 85
7．若40个数据的平方和是56，平均数是2
2，则这组数据的方差是________，标准差是________．
解析 设这40个数据为x 1，x 2，…，x 40，则s 2＝
140⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－222＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎫x 40－222 ＝140⎣⎢⎡
(x 21＋x 22＋…＋x 240)＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×22(x 1＋x 2＋…＋x 40) ]
＝140×⎝ ⎛⎭
⎪⎫56＋20－2×2
2×40＝3640＝910，
∴s ＝310
10. 答案 910 310
10
8．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
解析由题中表格数据，得甲班：x－甲＝7，
s2甲＝1
5×(1
2＋02＋02＋12＋02)＝25；乙班：x－乙＝7，
s2乙＝1
5×(1
2＋02＋12＋02＋22)＝65. ∵s2甲<s2乙，
∴两组数据中方差较小的为s2甲＝2
5.
答案2 5
9．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据．
观测
12345678
序号i
观测
4041434344464748
数据a i
在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a－是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是________．
－＝(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)÷8＝44，该程序解析a
框图是求这8个数据的方差，经计算得S＝7.
答案7
10．高一(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测试全班平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少？ (3)分析男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？ 解 (1)由平均数公式得x －＝148×(82×27＋80×21)≈81.13(分)． (2)∵男生的中位数是75，∴至少有14人得分不超过75分． 又∵女生的中位数是80，∴至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分低于80分．
(3)男生的平均分与中位数的差别较大，说明男生中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
11．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
解 (1)x 甲＝1
10×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)， x 乙＝1
10×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)． (2)解法1：由方差公式s 2
＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －
x )2]，得s 2甲＝3.0(环2)，s 2乙＝1.2(环2
)．
解法2：由方差公式s 2
＝1n [(x ′21＋x ′22＋…＋x ′2n )－n x ′2
]计算
s 2甲，s 2乙，由于两组数据都在7左右，所以选取a ＝7.
∴s 2甲＝
10
[(x ′21甲＋x ′22甲＋…＋x ′210甲)－10x ′2
甲] ＝1
10×(1＋1＋0＋1＋1＋4＋4＋9＋9＋0－10×0) ＝1
10×30＝3.0(环2)．
同理s 2
乙＝1.2(环2)．
(3)x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s 2甲＞s 2乙，说明甲战士射击情况波动大．
因此乙战士比甲战士射击情况稳定．
12．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．
(1)请填写下表：
平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数
甲
乙
①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力)．
解(1)由图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，
乙打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上次数为3.如下表：
(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定．
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些．
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好．
④从折线图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲呈下降趋势，故乙更有潜力．。