2018版高中数学理一轮全程复习课时作业第七章 立体几
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课时作业
[授课提示：对应学生用书第257页]
一、选择题
1．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()
A．垂直B．平行
C．异面D．相交但不垂直
解析：由题意得 ＝(－3，－3,3)， ＝(1,1，－1)，
∴ ＝－3 ，
∴ 与 共线，又 与 没有公共点．∴AB∥CD.
(1)若|c|＝3，且c∥ ，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
解析：(1)∵c∥ ， ＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
∴c＝m ＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．
∴|c|＝ ＝3|m|＝3，
即m＝±1.故c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，
又∵|a|＝ ＝ ，|b|＝ ＝ .
∴cos〈a，b〉＝பைடு நூலகம்＝ ＝－ ，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－ .
12．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
A. B.
C. D.
解析：如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)．
又M是AB的中点，∴M(1， ，0)．
∴ ＝(1,1,1)， ＝(1，－ ，0)．
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ＝ ，
∴sin〈 ， 〉＝ .
＝ (a·c＋b·c)＝ (a2cos 60°＋a2cos 60°)＝ a2.
答案：C
二、填空题
7．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示向量 ＝________.
解析：如图所示，
＝ ( ＋ )
＝ [( － )＋( － )]
＝ ( ＋ －2 )
＝ ( ＋ － )
＝ (b＋c－a)．
答案： (b＋c－a)
8．如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为________．
解析：依题意知M为AC1的中点，
又A(0,0,0)，C1(2,3,2)，∴M(1， ，1)
答案：(1， ，1)
A．( ，－ ， ) B．( ，－3,2)
C．( ，－1， ) D．( ，－ ， )
解析：由题意知2 ＝ ，设C(x，y，z)，则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，
∴ ∴ 即C( ，－1， )
答案：C
4．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()
解析：假设a4＝λa1＋μa2＋va3成立．
∵a1＝(2，－1,1)，a2＝(1,3，－2)，a3＝(－2,1，－3)，a4＝(3,2,5)，
∴(2λ＋μ－2v，－λ＋3μ＋v，λ－2μ－3v)＝(3,2,5)，
∴ 解之得
故有a4＝－2a1＋a2－3a3.
11．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设向量a＝ ，b＝ ，
答案：B
6．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 · 的值为()
A．a2B. a2
C. a2D. a2
解析：如图所示，设 ＝a， ＝b， ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝ (a＋b)， ＝ c，
∴ · ＝ (a＋b)·( c)
(1) · ；(2) · ；
(3)EG的长．
解析：设 ＝a， ＝b， ＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝ ＝ c－ a， ＝－a， ＝b－c，
(1) · ＝ ·(－a)
＝ a2－ a·c＝ .
(2) · ＝ (c－a)·(b－c)
＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－ .
(3) ＝ ＋ ＋ ＝ a＋b－a＋ c－ b
＝－ a＋ b＋ c，
| |2＝ a2＋ b2＋ c2－ a·b＋ b·c－ c·a＝ ，则| |＝ .
9．设OABC为四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1.若 ＝x ＋y ＋z ，则(x，y，z)为________．
解析：
如图， ＝ ，
而 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )
＝ ＋
＝ × ( ＋ )＋
＝ ( ＋ ＋ )，
∴ ＝ ＋ ＋ .
答案：( ， ， )
三、解答题
10．设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，试问是否存在实数λ、μ、v使a4＝λa1＋μa2＋va3成立？如果存在，算出λ、μ、v的值，如果不存在，请给出证明．
A．5 B.
C．4 D．2
解析：设 ＝λ ，又 ＝(0,4，－3)，
则 ＝(0,4λ，－3λ)．
＝(4，－5,0)，
＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
故 · ＝0，
得λ＝－ ，∴ ＝(－4， ， )，
∴| |＝5.故选A.
答案：A
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈 ， 〉的值＝()
答案：B
2．已知空间四边形OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则 ＝()
A. a－ b＋ cB．－ a＋ b＋ c
C. a＋ b－ cD. a＋ b－ c
解析：显然 ＝ － ＝ ( ＋ )－ .
答案：B
3．(2017·日照调研)已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且 ＝ ，则C点的坐标为()
[授课提示：对应学生用书第257页]
一、选择题
1．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()
A．垂直B．平行
C．异面D．相交但不垂直
解析：由题意得 ＝(－3，－3,3)， ＝(1,1，－1)，
∴ ＝－3 ，
∴ 与 共线，又 与 没有公共点．∴AB∥CD.
(1)若|c|＝3，且c∥ ，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
解析：(1)∵c∥ ， ＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
∴c＝m ＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．
∴|c|＝ ＝3|m|＝3，
即m＝±1.故c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，
又∵|a|＝ ＝ ，|b|＝ ＝ .
∴cos〈a，b〉＝பைடு நூலகம்＝ ＝－ ，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－ .
12．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
A. B.
C. D.
解析：如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)．
又M是AB的中点，∴M(1， ，0)．
∴ ＝(1,1,1)， ＝(1，－ ，0)．
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ＝ ，
∴sin〈 ， 〉＝ .
＝ (a·c＋b·c)＝ (a2cos 60°＋a2cos 60°)＝ a2.
答案：C
二、填空题
7．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示向量 ＝________.
解析：如图所示，
＝ ( ＋ )
＝ [( － )＋( － )]
＝ ( ＋ －2 )
＝ ( ＋ － )
＝ (b＋c－a)．
答案： (b＋c－a)
8．如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为________．
解析：依题意知M为AC1的中点，
又A(0,0,0)，C1(2,3,2)，∴M(1， ，1)
答案：(1， ，1)
A．( ，－ ， ) B．( ，－3,2)
C．( ，－1， ) D．( ，－ ， )
解析：由题意知2 ＝ ，设C(x，y，z)，则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，
∴ ∴ 即C( ，－1， )
答案：C
4．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()
解析：假设a4＝λa1＋μa2＋va3成立．
∵a1＝(2，－1,1)，a2＝(1,3，－2)，a3＝(－2,1，－3)，a4＝(3,2,5)，
∴(2λ＋μ－2v，－λ＋3μ＋v，λ－2μ－3v)＝(3,2,5)，
∴ 解之得
故有a4＝－2a1＋a2－3a3.
11．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设向量a＝ ，b＝ ，
答案：B
6．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 · 的值为()
A．a2B. a2
C. a2D. a2
解析：如图所示，设 ＝a， ＝b， ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝ (a＋b)， ＝ c，
∴ · ＝ (a＋b)·( c)
(1) · ；(2) · ；
(3)EG的长．
解析：设 ＝a， ＝b， ＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝ ＝ c－ a， ＝－a， ＝b－c，
(1) · ＝ ·(－a)
＝ a2－ a·c＝ .
(2) · ＝ (c－a)·(b－c)
＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－ .
(3) ＝ ＋ ＋ ＝ a＋b－a＋ c－ b
＝－ a＋ b＋ c，
| |2＝ a2＋ b2＋ c2－ a·b＋ b·c－ c·a＝ ，则| |＝ .
9．设OABC为四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1.若 ＝x ＋y ＋z ，则(x，y，z)为________．
解析：
如图， ＝ ，
而 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )
＝ ＋
＝ × ( ＋ )＋
＝ ( ＋ ＋ )，
∴ ＝ ＋ ＋ .
答案：( ， ， )
三、解答题
10．设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，试问是否存在实数λ、μ、v使a4＝λa1＋μa2＋va3成立？如果存在，算出λ、μ、v的值，如果不存在，请给出证明．
A．5 B.
C．4 D．2
解析：设 ＝λ ，又 ＝(0,4，－3)，
则 ＝(0,4λ，－3λ)．
＝(4，－5,0)，
＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
故 · ＝0，
得λ＝－ ，∴ ＝(－4， ， )，
∴| |＝5.故选A.
答案：A
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈 ， 〉的值＝()
答案：B
2．已知空间四边形OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则 ＝()
A. a－ b＋ cB．－ a＋ b＋ c
C. a＋ b－ cD. a＋ b－ c
解析：显然 ＝ － ＝ ( ＋ )－ .
答案：B
3．(2017·日照调研)已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且 ＝ ，则C点的坐标为()