2020年高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图课件新人教B版必修2

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典例精析 规律总结
类型 1 平行投影与中心投影的概念和性质
下列说法正确的是________． ①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；②与投射面平 行的平面图形，其平行投影与这个图形一定全等；③平行四边 形的平行投影可能是矩形；④两平行直线的平行投影一定平行； ⑤如果一条长为 2 米的线段，其平行投影为 1 米，则长为 10 米 的线段，其平行投影的长为 5 米． 【分析】 由已知图形经平行投影后所得投影的判定应根 据投射面、投射线及图形的位置综合考查．
3.如图，正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一 个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8 cm C．2(1＋ 3)cm
B．6 cm D．2(1＋ 2)cm
解析：将直观图还原如图所示：
OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2 2. ∴AB＝ OA2＋OB2＝3， ∴四边形 OABC 的周长为 OA＋AB＋BC＋CO ＝1＋3＋1＋3＝8(cm)， 故选 A． 答案：A
解答本题可先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二 测画法的规则及步骤画出直观图．
【解】 画法：(1)画轴．画 Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴， ∠xOy＝45°(或 135°)，∠xOz＝90°，如图①所示．
(2)画底面．以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形的直观 图 ABCD，使 AB＝1.2 cm.
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的_坐__标_轴____就得到了空间 图形的直观图．
3．中心投影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影 子就是它在这个平面上的_中__心_投__影____．空间图形经过中心投影 后，直线变成直线，但平行直线可能变成了相交直线，所以， 在立体几何中很少用中心投影原理来画图，但投影后的图形直 观性强，看起来与人的视觉效果一致，所以常用在绘画中，即 画实际效果图．
答案：B
类型 2 水平放置的平面图形的直观图
用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图．
【分析】 解答本题要严格按照斜二测画法的步骤来做．
【解】 画法：(1)在已知的正五边形 ABCDE 中，取正五边 形的中心 O 为坐标原点，对称轴 FA 为 y 轴，过 O 作与 y 轴垂 直的直线为 x 轴．分别过点 B，E 作 BG∥Oy，EH∥Oy，与 x 轴分别交于 G，H.画对应的 O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
如果一个三角形的平行投影仍是一个三 角形，则下列说法正确的是( )
A．内心的平行投影还是内心 B．重心的平行投影还是重心 C．垂心的平行投影还是垂心 D．外心的平行投影还是外心
解析：三角形的重心是中线的交点，三角形平行投影后各 边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的 重心，故选 B．
【解析】 因为当直线或线段与投射线平行时，其平行投 影为一个点，故①不正确；②正确；因为经平行投影后的角度 可以改变，平行性不变，故平行四边形的平行投影可能是矩形， 故③正确；因为两平行直线的平行投影可能是一条直线或两个 点，故④不正确；因为⑤中的两线段不一定平行，故⑤不正确．
【答案】 ②③
【知识点拨】 平行投影与中心投影的区别 (1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平 行． (2)如果一个平面图形所在平面与投影面平行，则中心投影 后得到的图形与原图形相似，经平行投影后，得到的图形与原 图形的形状大小完全相同． (3)画实际效果图时，一般用中心投影法，画空间图形的直 观图时，一般用平行投影法．
(2)以点 O′为中点，在 x′轴上取 G′H′＝GH，分别过 G′，H′ 在 x′轴的上方作 G′B′∥O′y′，H′E′∥O′y′，并使 G′B′＝12GB，H′E′ ＝12HE；在 y′轴正半轴上，取 O′A′＝12OA，在 y′轴的负半轴上， 取 O′F′＝12OF，并以点 F′为中点画 C′D′∥O′x′，且 C′D′＝CD.
(3)画顶点．在 Oz 轴上截取 OP，使 OP＝1.5 cm. (4)成图．连接 PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮 住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②所示．
【知识点拨】 画空间几何体的直观图，可先画出底面的 平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画 出竖轴．此题也可以把 A，B，C，D 放在坐标轴上，画法实质 是各顶点的确定．
解析：还原△ABC 的直观图，如图所示，其中 BO＝CO＝1， AO＝2A′O′＝ 3，
∴AC＝AB＝ 3＋1＝2， ∴△ABC 是等边三角形，故选 A． 答案：A
类型 3 空间几何体的直观图
画出底面边长为 1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高 为 1.5 cm 的四棱锥的直观图．
【分析】 由题目可获取以下信息：①此几何体底面是正 方形；②顶点在底面的射影应为底面的中心．
解析：将直观图还原如图所示：
可知这个几何图形是直角梯形， 在 A′B′C′D′中，D′C′＝2，A′D′＝2.
作 D′E⊥A′B′交 A′B′于 E， ∴A′E＝ 2. AB＝A′B′＝2A′E＋D′C′＝2 2＋2， AD＝2A′D′＝4， ∴所求几何图形的面积为2＋222＋2×4＝8＋4 2. 答案：8＋4 2
(3)连接 A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，所得的五边形 A′B′C′D′E′ 就是正五边形 ABCDE 的直观图．
【知识点拨】 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时， 选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的 顶点落在坐标轴上，以便于画点．
(2)在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的 线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标 轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作 坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在 坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点．
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能 不同．
已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画
3 法”得到如图所示的直观图，其中 B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ 2 ， 那么原△ABC 是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
2．直观图及斜二测画法 (1) 用 来 表 示 空 间 图 形 的 平 面 图 形 ， 叫 做 空 间 图 形 的 _直__观_图____． (2)斜二测画法的规则 ①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox，Oy，再作 Oz 轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. ②画直观图时，把 Ox，Oy，Oz 画成对应的轴 O′x′，O′y′， O′z′，使___∠__x_′O__′y_′＝__4_5_°_(_或__1_3_5_°_)_，__∠__x_′O__′z_′＝__9_0_°________，x′O′y′ 所确定的平面表示水平平面．
4．对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出 其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的________倍．
解析：设三角形的高为 h，底边为 a，采用斜二测画法后，
所得三角形的底边为 a，高为h2sin45°＝ 42h，
∴S
直＝12a·42h＝
2 4S
原．
答案：
2 4
5．一几何图形的直观图为等腰梯形，其底角为 45°，上底 边长为 2，腰为 2，则这个几何图形的面积为________．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
解析：直观图是正三角形，三角形的底角为 60°，大于 45°，
原图中则有一个角大于 90°，是钝角三角形．
答案：C
3．关于直观图的斜二测画法，以下说法不正确的是( ) A．原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x′轴， 长度不变 B．原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y′轴， 长度变为原来的12 C．画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时，∠x′O′y′必须是 45° D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不 同 答案：C
用斜二测画法画一个底面边长为 4 cm， 高为 6 cm 的正六棱柱的直观图．
解：(1)画轴：画 x′轴，y′轴，z′轴，记坐标原点为 O′，如图 ①所示；
(2)画底面：在 x′O′y′平面上画边长为 4 cm 的正六边形的直 观图 ABCDEF；
(3)画侧棱：过点 A，B，C，D，E，F 分别作 z′轴的平行线， 并在这些平行线上截取 AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使它 们都等于 6 cm；
(2)平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影就具 有下述性质： ①直线或线段的平行投影仍是_直__线_或__线_段_____； ②平行直线的平行投影是_平__行_或__重_合__的_直__线______； ③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平__行_且__等_长____； ④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形_全__等___； ⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于 _这__两_条__线_段__的__比_____．
பைடு நூலகம்
1．下面说法中正确的是( ) A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B．两条相交的直线的直观图可能是平行直线 C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D．水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形 答案：D
2．水平放置的△ABC 有一边在水平线上，它的斜二测直观
图是正△A′B′C′，则△ABC 为( )
(4)成图：顺次连接 A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，去掉辅助 线，并将被遮住的部分改为虚线，就得到了正六棱柱的直观图， 如图②所示．
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知识点一 斜二测画法 1．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( ) A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同 B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 D．斜二测坐标系取的角可能是 135° 答案：C
第一章 立体几何初步
1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|目 标 索 引| 1．了解中心投影和平行投影的主要特征和关系． 2．会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图，会画出某 些建筑物或零件的直观图． 3．通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图， 了解空间图形的不同表示形式.
1．平行投影 (1)平行投影的概念 已知图形 F，直线 l 与平面 α 相交(如图 所示)，过 F 上任意一点 M 作直线 MM′__平_行__于___l，交平面 α 于点 M′，则点 M′叫做点 M 在平面 α 内关于直线 l 的平行投影(或象)．如果图形 F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F′，则 F′叫做图形 F 在平面 α 内关于直线 l 的平行投影．平面 α 叫做_投__射_面____，l 叫做 __投_射__线___．
③已知图形中，平行于 x 轴，y 轴或 z 轴的线段，在直观图 中分别画成平行于 x′轴，y′轴或 z′轴的线段，并使它们和所画坐 标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的 _位__置_关__系____相同．
④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中 _保__持_长__度_不__变_____，平行于 y 轴的线段，长度为_原__来_的__一_半_____．
知识点二 平面图形的直观图 2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图，A′O′＝6， B′O′＝2，则△OAB 的面积是( )
A．3 2 C．6 2
B．6 D．12
解析：由题可得△OAB 的图形，如图所示．
其中|OA|＝6，|OB|＝4， ∴S△OAB＝12|OA||OB|＝12×6×4＝12. 故选 D． 答案：D