五年级下册数学教案 - 第8单元 数学广角-找次品 人教新课标 (7)

《找次品》
教学目标：
1. 经历探索的过程,积累探索规律的数学活动经验。

2. 通过探索,发现把一些物品分成3份,称的次数最少的规律。

能够根据物品的数量确定找出“次品”所需的最少次数,并会用简洁的方法记录称的过程。

3.体会解决问题策略的多样性及运用最优方案解决问题的有效性,感受数学方法的广泛
应用性。

教学重难点：
重点:掌握规律并解决一些简单的实际问题。

难点:发现并应用规律。

一、谈话引入
1．３瓶口香糖，其中１瓶吃了两颗（次品），把这瓶找出来.
看看哪个同学坐得最端正，精神面貌最好！
师：××同学坐得最好！老师打算奖励一瓶口香糖给他. 这里有３瓶口香糖，其中1瓶少了两颗. 如果我把少的一瓶奖励给他，肯定不太礼貌. 那么，请大家想一想，谁有办法帮助老师把这瓶少的口香糖找出来呢？
生：数一数，掂一掂，用天平去称！
师：你见过天平吗？
生：见过。

师：天平长什么样子？（学生茫然。

老师走过去示意学生把双手向左右两边伸平，笑曰：这就是一架美丽的天平。

该生不自然地笑了，全体同学则会心地一笑。

）
在生产生活中一堆看似相同的物体中，有一些比标准质量轻一些或重一些的物体，我们称之为次品，天平能帮我们把这样的次品找出来，今天我们就一起来研究“如何用天平找次品”. ---板书“次品”
师：回到我们刚刚的问题，有三瓶木糖醇，一瓶少了2粒，我们就可以称之为----（拖长音表示疑问）学生回答——次品
师：好，那我们用天平称来称，至少要称几次才能把这个次品找出来呢？
（此时学生基本有两种意见：部分或大部分人认为需要2次，部分思维好的同学会认为1次足矣。

老师请认为1次的同学上台展示）
师：别人都认为要2次，你说1次就行了。

别瞎说！怎么称的？称给我们瞧瞧！
（该生演示：任意拿两瓶放在天平左右两边，两手伸平）
生：如果是这种情况，剩下的那一瓶就是次品。

师：如果天平左右两边不平呢？
（该生再演示：天平左高右低的情况。

）
生：如果是这种情况，左边高的那一瓶就是次品。

师：还有一种情况呢？
（该生马上反应过来，立刻演示：天平左低右高的情况。

）
生：如果是这种情况，右边高的那一瓶就是次品。

（面向全体同学）
师：大家看明白了吗？刚才这位同学任意从3瓶中拿出2瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，次品在哪？
众生：剩下的那一瓶。

师：如果天平有一边翘起呢？
众生：翘起的那一瓶。

师：不管是哪一种情况，几次就可以找到次品了呀？
众生：1次。

师：1次果然就可以找到次品是哪一瓶了，表扬给我们带来这样思考的那位同学。

（掌声想起）
师：谁还能像刚才那位同学一样给我们演示一下怎么1次就能找到次品了呢？
【3瓶中有1瓶次品，用天平称来称，至少1次就可以找到。

是找次品问题最基本的思维模型，一定要让每个学生都清晰。

所以，一位同学演示后，再请一位同学上台演示，以加深每个同学的印象。

】
（生再次演示，老师适时强调）
师：开始认为需要2次的同学，现在清楚了吗？3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次就可以保证找到？
众生响亮回答：1次。

3．拓展延伸，引导猜想。

师：3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少1次就可以保证找到。

如果不是3瓶，假如今天全校学生每人1瓶，大概有两千多瓶吧。

我们暂且估计有2187瓶。

（随机板书）如果2187瓶中也有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次才能保证找到呢？请你猜一猜！（停顿约20秒，找两三个同学回答）
生1：2186次。

生2：2185次。

生3：一千多次。

生4：729次。

师：2187瓶中有1瓶次品，用天平称称，也一瓶一瓶，两瓶两瓶那样称吗？
生：那好麻烦哦！
师：那我们就一起来解决这个难题，看看至少要几次才能保证找到次品呢！怎样称才能最方便快速呢！
众生：好！
二、组织探究
1.体会化繁为简
师：要解决这个问题，大家觉得2187这个数据是不是有点大呀？
众生：是。

师：解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略，谁知道是什么？生1：求平均
生2：化简
师：对！解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略——化繁为简（随机板书），也就是把数据转化地小一些，就是两位同学说的化简。

简到什么程度呢？3瓶刚才我们研究过了，现在我们研究几瓶好呢？
生1：4瓶。

生2：5瓶。

师：5瓶和我们书上的例1刚好一模一样，我们就先来研究如果5瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次保证找到？好吗？
众生：好！
2.第一次探究
师：请先独立思考。

（约1分钟后）
师：同桌同学可以小声交流交流。

（约1分钟后）
师：谁来说一说至少几次保证能找到？
生1：1次。

生2：2次。

生3：3次。

……
师：你是怎么称的？请描述称的过程？
生1：我在天平左右两边各放1瓶，如果有翘起，就找到了。

师：这种情况是有可能的，但能保证吗？如果天平平衡了怎么办？你先请坐！
（生1意识到自己考虑问题的不足，带着思考坐下！）
生2：我也在天平左右两边各放1瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品；就从剩下的3瓶中再任意选两瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，剩下的那瓶就是次品，如果有一边翘起，翘起的那端就是次品。

一共称了2次。

师：他的方法可行吗？
众生:可行。

师：刚才这位同学的称法，开始时，把5瓶分成了怎样的3份呀？
生：（1、1、3）
师：真聪明！1和1要称一次，剩下的3瓶中再找1瓶次品，就像我们课刚刚开始的问题一样，当然也要1次，一共就是2次。

这种称法如果用数学符号简单地记录下来，可以写成这样，用“”表示称一次（板书）：
5→（1、1、3）→（1、1、1）〓 2次
可以吗？
众生:可以。

师：看来，我们刚才师把5瓶钙片分成了3份，每份的个数分别师1，1，3。

虽然称1次没有找出次品师哪瓶，但确定了次品的范围在3瓶中了，对吧？发现了没有，现在称一次，二次都可能找到次品，如果你是检查员，你打算申请几次机会呢？
生：2次，1次运气太好了！
师：对，孩子们做好最坏的打算，申请2次机会，由此可以看出保证找出次品需要2次。

师：有没有称法不一样的？
生：我在天平左右两边各放2瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品，剩下的那瓶就是次品，但这不能保证。

如果有一边翘起，说明次品在翘起的那一端里，然后再把翘起那一端的2个放在天平左右两边，再称一次，一定可以找到。

一共称了2次。

师：真了不起！同样也是称2次，称法还真的不同。

这位同学的称法如果也用数学符号简单地记录下来，可以写成这样：（板书）
5→（2、2、1）→（1、1、）〓 2次
行吗？
众生:行！
师：比较两位同学的称法，过程不同，但结果一致！除了结果相同外，还有没有发现别的共同点？
（学生略作思考，老师随机点出）
师：老师发现刚才的两种称法，不管开始时如何分组，在每一次称的时候，天平左右两边始终保持瓶数一样，这是为什么呀？为什么不天平一边放2瓶，一边放3瓶呢？
生：瓶数不一样，比较不出来。

师：由于正品和次品的差距往往很小，所以当瓶数不等时，用天平称量时是无法判断的。

找次品自然要追求次数越少越好，所以这种“不可行”的称法我们当然不使用。

师：（笑着对说要3次的同学说话）3次当然能称的出来，但并不是至少的方案，明白了吗？生点头示意明白。

3.第二次探究
师：5瓶我们研究过了，离2187瓶还差的远呢。

再靠近点，接下来我们研究多少瓶呢？
生1：8瓶。

生2：9瓶。

生3：10瓶。

师：同学们说的都可以，但我们上课时间有限，在一位数中9最大，我们来研究9瓶好不好？（其实例2就是9瓶）
众生：好！
师：谁再来明确一下问题？
生：9瓶木糖醇中有1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？
师：问题已经很明确，请先独立思考。

可以像老师一样用数学符号画一画。

（师静静地巡视约1分钟）
师：请前后桌4位同学一组，讨论交流你们认为至少几次才能找到次品？
（师参与讨论约2分钟）
师：老师刚才在下面听到有的同学说要4次，有的说要3次，还有的说2次就行。

到底至少要几次呢？看来需要交流交流。

先从多的来，谁刚才说要4次的？请说说你是怎样称的？生：我天平左右两边各放1个，每次称2个，这样4次就一定可以找到。

（师随着学生的表述相机板书）
9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〓 4次
师：他的称法可行吗？
生：可行但不是次数最少的。

师：好！让我们一起来听听次数再少一些的称法。

3次该怎样称？
生：我把9分成4、4、1三组，先称两个4，如果天平平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这是很幸运的。

如果不平，把翘起的那4瓶再2个对2个称，如果平……（老师礼貌地打断学生的话）
师：这时会出现平衡吗？（提醒：次品就在这4瓶里，天平左右两边各放2瓶）
生：（明白后立刻改口）一定会有一边翘起，然后再把翘起的2瓶天平两边各放1个，再称1次，共3次就可以找到次品是哪一瓶。

（师随着学生的表述相机板书）
9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〓 3次
师：他的称法可行吗？
生：可行。

我也是3次，但称法与他不一样。

师：真的吗？同样是3次，称法还可以不一样？赶快说给我们听听。

生：我把9分成2、2、2、2、1五组，先称两个2，如果有一边翘起，再称1次就可以了，但这是幸运的；如果天平平衡了，再称剩下的两个2，如果天平还是平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这也是很幸运的。

如果不平衡，再把翘起的2个分开，天平左右两边各1个，再称1次就一定找到次品了。

这样也是3次保证找到了次品。

（师随着学生的表述相机板书）
9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1 ）→（1、1）〓 3次
师：还真不错！同样是3次保证找到，称法还真不一样。

师：刚才好像还有人说2次就够了，不太可能吧？是谁说的？
（说2次的学生起立）
师：别人都是4次、3次的，你说2次就行，还坚持吗？
（学生坚持）
师：好！我们大家刚才辛苦了老半天才弄明白至少要3次才能保证找到次品，他竟然坚持说2次就够了，难道我们……请认真听听他是怎么称的！如果他说错了，我们要罚他唱首歌。

（故意这样说，以引起学生都来关注他的2次是怎样称的）
生：我把9分成三组，每组3个。

先称两个3，如果天平有一边翘起，次品就在翘起的那3瓶里；如果天平平衡了，次品就在剩下的3瓶里。

不管怎样，接下来就只要研究3瓶就可以了。

前面刚学过，从3瓶里找1瓶次品，称1次就够了。

这样2次就保证找到了次品。

（师随着学生的表述相机板书）
9→（3、3、3）→（1、1、1 ）〓 2次
师：听得懂他的称法吗？
（有部分学生不敢大声回答，请刚才的学生再重复一遍）
师：现在都听懂了吧！这个同学的称法完全可行，称2次就解决了问题。

为什么我们别的称法次数就比他多呢？我们的问题出在哪儿？这个同学的高明又在哪呢？请仔细观察黑板上的四种称法，看谁能最快发现其中的奥秘？
9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〓 4次
9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〓 3次
9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1 ）→（1、1）〓 3次
9→（3、3、3）→（1、1、1 ）〓 2次
（学生观察思考约1分钟，老师给予适当暗示）
生：2次的称法一开始把9瓶分成了3组，每组3个。

这样称1次，就可以断定次品在哪一组里。

师：说得好！把9瓶分成了3组，每组3个，也就是把物品总数均分3份，这样称1次，就可以淘汰2份6瓶，从而让剩下的瓶数变得最少，自然总的次数就会少下来。

而4次的称法，称1次后，最多只能淘汰2瓶；3次的两种称法，称第一次后，也最多只能淘汰4瓶，所以最终的次数就会相对多起来。

4．第三次探究
师：刚才9瓶中找1瓶次品（轻），那位同学一开始把9瓶平均分成3份来称，最后的次数最少。

是不是所有的可以均分成3份的物品总数，一开始都平均分成3份来称，最后的次数也是最少呢？刚才那位同学是否偶然呢？我们还需要怎么办？
生：继续验证。

师：（握着同学的手）说得好！仅仅一个例子不足以推广，我们还需要进一步验证。

验证多少呢？比9大些，可以均分3份的？
（有学生立刻回答）
生：12.
师:好的！我们就来研究12。

如果12瓶中有1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？请先用刚才那位同学的思路，均分3份来操作。

看看至少要几次？
生说师板书：
12→（4、4、4）→（2、2）→（1、1）〓 3次
师：按照刚才那位同学的思维模式推理，至少要3次才能保证找到。

3次是否真的就是最少的次数吗？有没有比3次还少的呢？如果有，说明刚才的那位同学纯属偶然。

请2人一小组，拼凑12枚硬币操作操作，或者用笔画一画，看看有没有更少的可能？
（学生思考讨论，老师巡视参与，约1～2分钟后交流）
生1：我是均分2份做的，也是3次。

（师随着学生的表述相机板书）
12→（6、6）→（3、3）→（1、1）〓 3次
师：有没有比刚才的3次少？
生1：没有。

师：谁找到比3次还少的称法了？
生2：我没找到，但我一开始均分4分来做的，最后也是3次。

（师随着学生的表述相机板书）
12→（3、3、3、3）→（3、3、3、3）→（1、1、1）〓 3次
师：两位同学真不错，再次给我们展示了最终结果一样时，中间过程的丰富多彩。

但我们都没有找到比3次还少的方案。

如果再研究下去，我们会发现次数只会越来越多。

比如：
12→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2、）→（1、1）〓 4次。

其实刚才那位同学的思维模式并非偶然，真的具有一定的规律性。

时间关系，我们不再继续验证。

师：刚才那位同学的思维模式是什么？
众生：物品总数如果能均分3份，就把物品尽量平均分成3份来操作。

师：为什么呢？
生：把物品总数平均分成3份来操作，这样称1次就可以断定次品在哪一份里，每一次都最大限度地淘汰，最后的次数自然就会少下来。

三、强化训练
师：通过刚才的探究，我们已经找到了内在的思维规律，现在老师想考验一下咱们班同学的数学感觉如何，看看谁的反应快？如果不是12瓶，而是27瓶中有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？
（提醒运用刚才发现的思维模式，马上有学生举手）
生：3次。

师：（故作惊讶！）别乱说，不可能吧？27瓶呀蛮多的，3次怎么可以保证找到？
生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶；称1次就可以推断次品在哪个9瓶里。

然后9瓶就像刚才那位同学那样再均分3份来称，2次就够了。

我这里只增加了1次，所以3次就找到了。

（师随着学生的表述相机板书）
27→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）〓 3次
师：真聪明！把27瓶平均分成3份，每份的9瓶，称1次，自然就可以断定次品在哪个超大瓶里，也就是哪个9里。

然后把9再平均分成3份，以此类推，每称1次，都淘汰两份，剩下一份。

最后的次数一定就是至少的。

师：如果不是27瓶，而是81瓶呢？
（有学生脱口说要9次，可能是想到了九九八十一）
师：（不动声色）嗯！有可能。

是至少吗？
（马上有学生反应过来）
生：4次就够了。

师：（微笑着）请问怎么称？
生：把81瓶平均分成3份，每份27瓶，称1次就可以知道次品在哪个超大大瓶27里。

27瓶刚才是3次，所以81瓶中有1瓶次品，用天平称称，4次就够了。

师：真了不起！他也学会转化了。

如果不是81瓶，而是243瓶呢？
（立刻有学生举手）
生：5次。

跟上面一样，把243均分3份，只比81瓶多称了1次。

所以是5次。

师：反应真快！有没有哪位同学猜到老师接下来会出哪个数？
生：729。

师：（握着学生举的手表扬他）真是英雄所见略同！老师真的要出729，如果真有729瓶，其中1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？
众生：6次。

师：接下来就到哪个数了？
众生：2187。

师：现在大声地告诉老师，如果真有2187瓶，其中1瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？
众生：7次。

师：课刚开始时猜需要2186次的是那位同学，请问此时此刻有什么想说的吗？
（该生起立，笑着无言以对）
师：是什么让这位同学无言以对？从两千多瓶中找一瓶次品，起初我们本能地感觉怎么也要两千多、一千多或好几百次，其实7次足矣。

前后相差之大，远远超出了我们的想像。

这就是数学思考的魅力。

也正是这种无穷的魅力，才让我们这位同学感觉无言以对。

其实不止是这位同学，刚开始时，我们都没有想到啊！
（轻轻摸摸该生的头，示意他坐下）
四、全课总结
1.全课小结
师：（指着板书上的“次品”俩字）请问我们今天上的什么课？
全体学生：（自然地答道）次品课。

师：（故作生气状）瞎说！你才上次品课呢。

（顺手在“次品”前写上一个大大的“找”字，全体听课老师则会心地哈哈大笑）
2.提出问题
今天我们找次品的物品总数不管是9、还是27、81、243……，都是3的倍数，也就是可以直接均分三份来操作，如果物品总数不是3的倍数，又该怎样操作呢？这个问题，需要我们下节课来继续研究。