北京市北京师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试

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绝密★启用前 北京市北京师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ． 2．下列说法正确的是( ) A ．两个等腰直角三角形全等 B ．面积相等的两个三角形全等 C ．完全重合的两个三角形全等 D ．所有的等边三角形全等 3．点(2,5)P -关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(2,5)- B ．(2,5) C ．(2,5)-- D ．(2,5)- 4．如图所示，△ABC ≌△ECD ，∠A ＝48°，∠D ＝62°，点B ，C ，D 在同一条直线上，则图中∠B 的度数是( ) A ．38° B ．48° C ．62° D ．70° 5．下列各式分解因式正确的是（ ）
○……………装……………○…………线请※※不※※要※※在※※※题※※ ○……………装……………○…………线A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++- B ．236(36)x xy x x x y --=- C ．223311(4)44a b ab ab a b -=- D ．256(1)(6)x x x x -+=-- 6．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是（ ）
A ．AM BM =
B ．MAP MBP ∠=∠
C ．ANM BNM ∠=∠
D ．AP BN = 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A ．三条中线的交点
B ．三条高的交点
C ．三条边的垂直平分线的交点
D ．三条角平分线的交点
8．如图，△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于1
2AC 的长
为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．45°
9．平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （0，2）若在坐标轴上取C 点，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
10．如图，∠AOB=120°，OP 平分∠AOB ，且OP=2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（ ）
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A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．3个以上 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ． 12．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是_________边形. 13．如果221()x mx x n ++=+，且0m >，则n 的值是 ____ ． 14．如图，在ABC V 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线D
E 交AB 与点D ，交AC 于点E ，则BCE V 的周长是__________． 15．若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角为______ 16．如图，ABC V 中，14AB =，AM 平分BAC ∠，15BAM ∠=︒，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，则BD DE +的最小值是__________． 17．已知4a b +=、5ab =-，则222a b ab +-=__________． 18．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.
………○……………○………订…………※※请※※在※※装※※※※线※※内※※答※※题※※………○……………○………订…………三、解答题 19．因式分解；2()3()m a b n b a ---． 20．因式分解；22(2)(2)a b a b +-+． 21．如图，已知(1,2)A ，(3,1)B ，(4,3)C ． （1）作ABC V 关于y 轴的对称图形111A B C △，写出点1C 的坐标；
（2）直线m 平行于x 轴，在直线m 上求作一点P ，使得ABP △的周长最小，请在图中画出P 点．
22．如图，长方形台球桌ABCD 上有两个球P ，Q ．
（1）请画出一条路径，使得球P 撞击台球桌边AB 反弹后，正好撞到球Q ；
（2）请画出一条路径，使得球P 撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q ． 23．如图，已知点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB DF =，AC DE =，A D ∠=∠．
（1）求证：AC DE P ；
（2）若13BF =，5EC =，求BC 的长．
24．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是高，BD 与CE 相交于点O
（1）求证：OB=OC ；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数．
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………………○…… 25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到222
()2a b a ab b +=++这个等式，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 ． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ． （4）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张长宽分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为2)(4)a b a b ++(的长方形，则x y z ++= ． 26．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）如图，在ABC V 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若60A ∠=︒，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？ （2）在ABC V 中，如果A ∠是不等于60︒的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论． 27．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘
………○…………装…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※………○…………装…………○（1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个．．．．“发现”，判断真假，并说明理由． ①小能发现：两个连续偶数22k +和2k （其中k 取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数． ②小仁发现：2016是“神秘数”． 提示：（2）中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小能发现”的解答计分． 28．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： （1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴； （2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； （3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； （4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 29．（1）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =，填空：当点A 位于__________时，线段AC 的长取到最大值__________，且最大值为；（用含a 、b 的式子表示）．
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………………○…… （2）如图2，若点A 为线段BC 外一动点，且6BC =，3AB =，分别以AB ，AC 为边，作等边ABD △和等边ACE △，连接CD ，BE ．
①图中与线段BE 相等的线段是线段__________，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值为__________． （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(40)，，点B 的坐标为(100)，，点P 为线段AB 外一动点，且4PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，请直接写出线段AM 长的最大值为__________，及此时点P 的坐标为__________．（提示：等腰直角三角形的三边长a 、b 、c 满足::a b c =
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可.
【详解】
A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
【点睛】
本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键.
2．C
【解析】
【分析】
根据选项的条件举出反例，再根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】
A．如图：
图中的两个等腰直角三角形不全等，故本选项错误；
B．当一个三角形的底是2，对应的高是1，而另一个三角形的底是1，对应的高是2，两三角形的面积相等，但是两三角形不全等，故本选项错误．
C．能够完全重合的两个三角形全等，故本选项正确；
D．两个等边三角形的边不一定相等，故不一定全等，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，能够完全重合的两个三角形全等．
3．B
【解析】
【分析】
根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【详解】
解：点(2,5)P -关于x 轴对称的点的坐标为：()2,5
故选：B ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 4．D
【解析】
【分析】
运用△ABC ≌△ECD 求出∠ACB =∠D =62°，再运用三角形内角和定理求出∠B 即可．
【详解】
∵△ABC ≌△ECD ，∠A =48°，∠D =62°，∴∠ACB =∠D =62°，∴∠B =180°－∠ACB －∠A =180°
－62°－48°=70°．
故选D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质．解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
利用提公因式法、十字相乘法法分别进行分解即可．
【详解】
A. 22()()()(1)+-+≠++-a b a b a b a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意；
B. 23-6-(3-6-1)=x xy x x x y ，故此选项因式分解错误，不符合题意；
C. 223211(4)44
-=-a b ab ab a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意； D. 256(1)(6)x x x x -+=--，故此选项因式分解正确，符合题意．
【点睛】
本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用其他方法进行分解． 6．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的性质即可判断.
【详解】
∵直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，
∴AM BM = ，MAP MBP ∠=∠ ， ANM BNM ∠=∠，
故选D.
【点睛】
此题主要考查轴对称图形的性质，熟知轴对称图形的性质是解题的关键.
7．D
【解析】
【分析】
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得答案．
【详解】
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D ．
【点睛】
该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
8．A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC ，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
9．C
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；
②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；
③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB
∴符合条件的点C共7个
故选C
10．D
【解析】
【详解】
试解：如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°．
∵OP 平分∠AOB ，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF ，
∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，
∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN ，
在△PEM 和△PON 中，
PEM PON PE PO EPM OPN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ， ∴△PEM ≌△PON ．
∴PM=PN ，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
11．10．
【解析】
试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
12．四
【解析】
【分析】
多边形的外角和为360°，再根据多边形内角和公式算出即可.
【详解】
多边形的外角和为360°，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和为360°，根据多边的内角和公式（n-2）×180°，代入得：（n-2）×180=360，解得n=4，故为四边形.
【点睛】
本题是对多边形内角和及外角和的考查，熟练掌握多边形外角和及内角和公式是解决本题的关键.
13．1
【解析】
【详解】
因为（x+n）2=x2+2nx+n2，m＞0，所以2n＞0，n2=1，所以n=1.
故答案为1.
14．13
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求解即可
【详解】
Q DE是AB的垂直平分线.
∴AE BE
=.
∴BCE
++=++=+=+=
BE EC BC AE EC BC AC BC
∆的周长为: 8513
故答案:13.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和三角形的周长公式,熟练掌握垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题关键.
15．30°
【解析】
【分析】
因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．
【详解】
∵120°为三角形的顶角，∴底角为：（180°﹣120°）÷2=30°．
故答案为30°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
16．7
【解析】
【分析】
根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案.
【详解】
如图：过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点.
∵在△ABC中，AB=16，BC=10, AM平分∠BAC,∠BAM=15°，∠BFA=90°,
∴∠BAC=2∠BAM=30°,
∴AB=2BF,
∴BF=7,
∵AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 的动点，
∴BD+DE 的最小值是BF,
∴BD+DE 最小值为：7,
故答案为:7.
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题、30°直角三角形的性质，掌握最短路线问题、30°直角三角形的性质是解题的关键.
17．18
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式得到（a-b ）2的值，然后利用整体代入即可求解．
【详解】
解:∵4a b +=、5ab =-
∴()()()22
2-+-4445162036==-⨯-=+=a b a b ab ∴()22222--236====182222++-a b a b a b ab ab 故答案为:18
【点睛】
本题考查完全平方公式．也考查代数式的变形能力．解题关键是熟练掌握完全平方公式：（a±
b ）2=a 2±2ab+b 2．
18．12
【解析】
【分析】
过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP=PF=QC ，根据等腰三角形性质求出EF=AE ，证△PFD ≌△QCD ，推出FD=CD ，推出DE=
12
AC 即可． 【详解】
解：过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，
∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD ，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF 是等边三角形，
∴AP=PF=AF ，
∵PE ⊥AC ，
∴AE=EF ，
∵AP=PF ，AP=CQ ，
∴PF=CQ ，
在△PFD 和△QCD 中
PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PFD ≌△QCD ，
∴FD=CD ，
∵AE=EF ，
∴EF+FD=AE+CD ，
∴AE+CD=DE=
12
AC ， ∵AC=1， ∴DE=
12
； 故答案为：12. 【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
19．()()2+3-a b m n
【解析】
【分析】
提出公因式(a-b)即可
【详解】
解:原式=()()2+3-a b m n
【点睛】
本题考查了用提公因式法,把(a-b)看成整体是解题的关键.
20．3()(-)+a b a b
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行因式分解后，再进行化简即可.
【详解】
解:原式=[][](2)+(2)(2)(2)+++-+a b a b a b a b
=(33)(-)+a b a b
=3()(-)+a b a b
【点睛】
本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．
21．(1)如图1所示: ()14,3-C ;(2)如图2所示:点P 即为所求.
【解析】
【分析】
(1) 首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点位置，再连接即可;
(2)根据轴对称进行画图即可.
【详解】
解:(1)如图1所示: ()14,3-C
(2)如图2所示:点P 即为所求.
【点睛】
本题考查了轴对称作图及轴对称-最短路线问题，掌握最短路线问题是解题的关键. 22．（1）如图，点M即为所求；（2）如图，点E，点F即为所求．
【解析】
【分析】
（1）作点P关于AB是对称点P′，连接QP′交AB于M，点M即为所求．
（2）作点P关于AB是对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接QP′交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．
【详解】
解：（1）如图，点M 即为所求．
（2）如图，点E ，点F 即为所求．
【点睛】
本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
23．（1）证明见解析；（2）9
【解析】
【分析】
(1)在△ABC 和△DFE 中，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出△ABC ≌△DFE ，进而得出∠ACB ＝∠DEF ，再以及“内错角相等，两直线平行”即可证出结论；
(2) 由△ABC ≌△DFE 可得BC=EF ，即BE= CF ，推出BE 的长度，即可得出答案.
【详解】
证明：（1）在△ABC 和△DFE 中，
AB DF A D AC DE ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩
＝＝，
∴△ABC ≌△DFE （SAS ），
∴∠ACB ＝∠DEF ，
∴AC ∥DE ．
（2）∵△ABC ≌△DFE
∴
BC=EF
∴BC-EC=EF-EC
∴BE= CF
∵13BF =，5EC =
∴2BE+EC=BF
∴BE=4
∴BC=BE+EC=4+5=9
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，通过证全等三角形找出∠ACB ＝∠DEF 是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）∠BOC=100°
【解析】
试题分析：（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC ，从而得证；
（2）首先求出∠A 的度数，进而求出∠BOC 的度数．
试题解析：（1）证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵BD 、CE 是△ABC 的两条高线，∴∠DBC=∠ECB ，∴OB=OC ；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC ，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．
考点：等腰三角形的性质．
25．(1) ()2
222 a b c a b c 2ab 2ac 2bc.++=+++++(2)证明见解析；(3) 30; (4) 7.
【解析】
【分析】
(1)依据正方形的面积=()2 a b c ++ ;正方形的面积=222a +b +c +2ab+2ac+2bc.,可得等式; (2)运用多项式乘多项式进行计算即可;
(3)依据()2
222a b +c a b c -2ab-2ac-2bc,+=++ 进行计算即可;
(4)依据所拼图形的面积为:22xa yb zab ++ , 而()()22222a b a 4b 2a 8ab ab 4b 2a 4b 9ab ++=+++=++ ,即可得到x, y, z 的值,即可求解.
【详解】
解: (1) 正方形的面积=()2
a b c ++ ;大正方形的面积=222a +b +c +2ab+2ac+2bc.
故答案为:()2222 a b c a b c 2ab 2ac 2bc.++=+++++
(2)证明: (a+b+c) (a+b+c) ,
=222a ab ac ab b bc ac bc c ++++++++ ,
=222222a b c ab ac bc +++++ .
(3)()2222 a b c a b c 2ab 2ac 2bc,++=++---
=()210 2 ab ac bc -++ , =100235-⨯ ,
=30.
故答案为: 30;
(4)由题可知，所拼图形的面积为:22xa yb zab ++ ,
(2a+b) (a+4b)
=222a 8ab ab 4b ,+++
=222a 4b 9ab,++
∴x=2，y=4, z=9.
∴x+y+z=2+4+9=17.
故答案为: 17.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
26．（1）与∠A 相等的角是∠BOD 、∠COE ，四边形DBCE 是等对边四边形；（2）存在等对边四边形DBCE ，证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据三角形外角的性质可得∠BOD ＝60°，根据对顶角的性质可得∠COE ＝60°；作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥C ，D 交CD 延长线于F 点通过证明△BCF ≌△CBG ，可得BF ＝CG ，,再证明△BDF ≌△CEG ，即可证明四边形DBCE 是等对边四边形；
（2）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形DBCE是等对边四边形．
【详解】
（1）∵∠A=60°，
1
2 DCB EBC A ∠=∠=∠
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOD＝∠COE=∠OBC＋∠OCB＝30°＋30°＝60°，
∴与∠A相等的角是∠BOD、∠COE，
四边形DBCE是等对边四边形，证明如下：
如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°
∵∠DCB＝∠EBC＝1
2
∠A，BC=BC，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∠A=∠BOD ∴∠BDF＝∠BEC，
又∵∠BFD=∠CGE=90°，BF＝CG，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE，
∴四边形DBCE是等对边四边形．
（2）存在等对边四边形DBCE，理由如下：
如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°
∵∠DCB＝∠EBC＝1
2
∠A，BC=BC，
∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，
∵
1
2 DCB EBC A ∠=∠=∠
∴∠BOD =∠OBC＋∠OCB＝11
+=
22
∠∠∠
A A A，
∴∠A=∠BOD，
∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
又∵∠BDF=∠CGE=90°，BF＝CG，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE，
∴四边形DBCE是等对边四边形．
【点睛】
解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题．
27．（1）是，证明见解析；（2）①由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. 证明见解析；②2016是“神秘数”是假命题,证明见解析.
【解析】
【分析】
对于（1）结合神秘数的定义，看是否可以将28写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案；
(2) 对于①，两个连续偶数构造的神秘数为(2k+2)2-(2k)2，化简看是否是4的倍数；
对于②，结合神秘数的定义，看是否可以将2016写成两个连续偶数的平方差，即可得出答
案；
【详解】
（1）28是“神秘数”,理由如下：
∵28=82-62
∴28是“神秘数”
（2）当选择①时，(2k ＋2)2－(2k)2＝(2k ＋2－2k)(2k ＋2＋2k)＝4(2k ＋1)，
∴由2k ＋2和2k 构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍.
②当选择②时，2016是“神秘数”是假命题,
理由: ()()22
2k 2-2k +
=224k +8k+4-4k
=8k+4,
令8k+4=2016，得k=251.5,
∵k 为须整数,
∴k=251.5不符合实际，舍去,
∴201 6是“神秘数"错误.
【点睛】
本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算； 28．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；
（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；
（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；
（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．
【详解】
解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为1，2，3；
（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．
（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．
（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．
29．CB的延长线上；a+b；CD=BE，证明见解析；9；6；
(
4-或(4--.
【解析】
【分析】
(1) 根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论; .
(2) ①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出
△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD 的最大值，根据(1) 中的结论即可得到结果;
(3)连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=4, BN=AM.根据当N在线段BA的延长线
时，线段BN 取得最大值，
即可得到最大值为6如图2.过P 作PE ⊥x 轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解: (1) ∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a, AB=b,
∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b. 故答案为: CB 的延长线上，a+b;
(2) ①CD=BE,
理由:∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，
∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.
∴∠CAD=∠EAB,
在△CAD 与△EAB 中，
.AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CAD ≌△EAB (SAS) ，
∴CD=BE.
②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值,
由(1)知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上,
∴最大值为BD+BC=AB+BC=9;
故答案为：CD=BE ，9.
（3）如图1：
∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN 是等腰直角三角形。

∴PN=PA=2，BN=AM, .
∵A的坐标为(4. 0)，点B的坐标为(10, 0) ,
∴OA=4，OB=10,
∴AB=6.
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN,
∵AN==
∴最大值为: 6.
如图2.
过P作PE⊥x轴于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE AE
== ,
==
∴OE BO-AB-AE
∴P ( .
如图3中，
根据对称性可知当点P在第四象限时，P (时，也满足条件.
综上所述，满足条件的点P坐标(4-或(4--，AM的最大值为
6.
故答案为：6，(4-或(4--
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。