云南中考数学 第一部分 教材知识梳理 第三章 第四节 二次函数-人教版初中九年级全册数学试题

函数
第四节二次函数
命题点1 二次函数的图象性质(省卷考查1次)
1. (’13某某9题3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
第1题图
A. a＞0
B. 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
C. a＋b＋c＝0
D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
2. (’14某某12题3分)抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．
命题点2 二次函数与几何图形结合(省卷考查1次，某某考查3次，某某考查3次)
1. (’14某某24题12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于A(－3，0)、B(1，
0)、C(0，3)三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线解析式；
(2)F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE＝1
2
，求点O到直线AF的距离；
(3)点P是x轴上一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
第1题图
2. (’13某某24题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与坐标轴分别交
于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c，点D为AB上一动点，过点D作DC ⊥x轴于点C，交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当DE＝4时，求四边形OAEB的面积；
(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．
第2题图
3. (’15某某23题9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C两点．已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.
(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第3题图
4. (’15某某23题9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3
2
x＋c(a≠0)与x
轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对
称轴是直线x＝3
2
.
(1)求抛物线的解析式；
(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H.当线段CM＝CH时，求点M的坐标；
(3)在(2)的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
5. (’15某某24题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A 为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c与x轴交于C、D两点，且CD＝4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；
(3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．
第5题图
【答案】
命题点1 二次函数的图象性质
1. B 【解析】 选项 逐项分析
正误 A
二次函数图象开口方向的确定，a >0，开口向上，a <0，开口向下 ×
B
根据二次函数图象的对称性，图象经过点(－1，0)，对称轴是x ＝1，则二
次函数图象必经过点(3，0)
√
C 当x ＝1时，与二次函数图象的交点在x 轴的上方，所以a ＋b ＋c >0 × D
当x <1时，二次函数图象是上升趋势，y 随x 的增大而增大
×
2. (1，2) 【解析】本题可以利用配方法把二次函数的解析式化成顶点式得y ＝(x －1)2
＋2，则可得其顶点坐标为(1，2)． 命题点2 二次函数与几何图形结合 1.解：(1)根据题意，
得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2
－2x ＋3；(3分)
第1题解图 (2)当x ＝－
2b
a
＝－1时，y ＝4， ∴顶点D (－1，4)， ∴AE ＝－1－(－3)＝2， ∵在Rt△AEF 中，tan∠AFE ＝
12
， ∴AE EF ＝2EF
＝12
， ∴EF ＝4，
∴F (－1，－4)，(5分)
如解图，过O 作OH ⊥AF 于点H ，
根据勾股定理得，AF =
∵S △AOF ＝
12OH ＝12×OA ×EF ＝1
2
×3×4，
∴OH ，即点O 到直线AF ；(7分) (3)若以点O 、F 、P 、Q 为顶点的平行四边形存在，则点Q (x ，y )满足|y |＝|EF |＝4， ①当y ＝－4时，－x 2
－2x ＋3＝－4，
解得x ，
∴Q 1(－1－，－4)，Q 2(－1＋，－4)，
∴P 1(－，0)，P 2，0)．(10分) ②当y ＝4时，－x 2
－2x ＋3＝4， 解得x ＝－1， ∴Q 3(－1，4)， ∴P 3(－2，0)．(11分)
综上所述，符合条件的点有三个，即：P 1(－，0)，P 2，0)，P 3(－2，0)．(12分) 2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝－4， ∴A (－4，0)、B (0，4)．
∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过A 、B 两点，
∴4
1640c b c =⎧⎨--+=⎩
，
解得3
4
b c =-⎧⎨
=⎩，
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
－3x ＋4；(3分) (2)如解图①：连接AE ，BE .
设点D (x ，x ＋4)、E (x ，－x 2
－3x ＋4)， 则DE ＝CE －CD ＝－x 2
－3x ＋4－(x ＋4)＝4，
解得x1＝x2＝－2.
当x＝－2时，y＝－x2－3x＋4＝6，即：E(－2，6)．
∴S四边形OAEB＝S△ACE＋S梯形CEBO
＝1
2
×6×2＋
1
2
×(4＋6)×2
＝16；(7分)
第2题解图
(3)存在，理由如下：
设点E(x，－x2－3x＋4)，
①当BE∥x轴时(如解图①)，△DBE∽△DAC.
∵EC⊥x轴，
∴EC＝BO，
则－x2－3x＋4＝4，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝－3.
当x＝－3时，y＝x＋4＝1，
∴D1(－3，1)．(9分)
②当BE⊥AB时(如解图②)，△DBE∽△DCA.
过点B作BF⊥DE交DE于点F，则F(x，4)、D(x，x＋4)，由(1)知∠OAB＝45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴EF＝FD，
∴－x2－3x＋4－4＝4－(x＋4)，
化简得x2＋2x＝0，
解得x1＝0(舍去)，x2＝－2.
当x2＝－2时，y＝x＋4＝2，
∴D2(－2，2)．
综上，点D的坐标为：(－3，1)或(－2，2)．(12分) 3.解：(1)∵点C的坐标为(0，3)，
∴OC＝3，
∵在Rt△BOC中，OC＝3，BC＝5，
∴OB
4，
∴点B的坐标为(4，0)，(1分)
将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线y＝kx＋n(k≠0)中，
得
40
3
k n
n
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
4
3
k
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线BC的解析式为y＝－3
4
x＋3.(2分)
∵点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，
∴
1640
3
a b c
a b c
c
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
，解得
3
4
15
4
3
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩
，
∴抛物线的解析式为y＝3
4
x2－
15
4
x＋3.(4分)
(2)存在．
由(1)知抛物线解析式为y＝3
4
x2－
15
4
x＋3，
对称轴l为直线x＝－
15
4
3
2
4
-
⨯
＝
5
2
，
第3题解图
设点P的坐标为(5
2
，t)，
如解图，过点C作CD⊥l于点D，设直线l与x轴的交点为点M，
则点D的坐标为(5
2
，3)，点M的坐标为(
5
2
，0)，
则CD＝5
2
，PD＝|t－3|，PM＝|t|，BM＝4－
5
2
＝
3
2
，
∴PC2＝CD2＋PD2＝25
4
＋(t－3)2，
PB2＝PM2＋BM2＝t2＋9
4
，BC2＝25.(5分)
当△BCP是直角三角形时，则有：
(i)当∠BCP＝90°时，即PC⊥BC，PC2＋BC2＝PB2，
即25
4
＋(t－3)2＋25＝t2＋
9
4
，
解得t＝19
3
，此时点P的坐标为(
5
2
，
19
3
)；(6分)
(ii)当∠PBC＝90°时，即BP⊥BC，BP2＋BC2＝PC2，
即t2＋9
4
＋25＝
25
4
＋(t－3)2，
解得t＝－2，此时点P的坐标为(5
2
，－2)；(7分)
(iii)当∠BPC＝90°时，即CP⊥BP，BP2＋PC2＝BC2，
即t2＋9
4
＋
25
4
＋(t－3)2＝25，解得t1＝
326
2
+
，t2＝
326
2
-
，
此时点P的坐标为(5
2
，
36
2
+
)，(
5
2
，
326
2
-
)．(8分)
综上可得，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为(
52，193)，(52，－2)，(52
，32+)，
(
52
，32-)．(9分)
4. 解：(1)解法一： ∵抛物线的对称轴x ＝－2b a ＝32， b ＝3
2
， ∴a ＝－
1
2
，(1分) 把A (4，0)，a ＝－12代入y ＝ax 2
＋32
x ＋c 中，
解得c ＝2，(2分) ∴抛物线的解析式为y ＝－
12x 2＋3
2
x ＋2. 解法二：∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，A (4，0)，A 、B 两点关于直线x ＝3
2
对称， ∴B (－1，0)，
把A (4，0)，B (－1，0)分别代入y ＝ax 2
＋
3
2
x ＋c 中， 得16603
02a c a c ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得122
a c ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，(2分) ∴抛物线的解析式为y ＝－
12x 2＋3
2
x ＋2.(3分) (2)当x ＝0时，y ＝2，则C (0，2)， 设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 把A (4，0)，C (0，2)代入y ＝kx ＋b 得：
402k b b +=⎧⎨
=⎩，解得122
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝－
1
2
x ＋2.(4分) ∵点M 在抛物线上，点H 在AC 上，MG ⊥x 轴，
设点M 坐标为(m ，－
12m 2＋3
2m ＋2)， 则点H 坐标为(m ，－1
2
m ＋2)，
∴MH ＝－
12m 2＋32m ＋2－(－12m ＋2)＝－1
2
m 2＋2m ， HG ＝－
1
2
m ＋2，
第4题解图①
如解图①，连接CM ，过点C 作CE ⊥MH 于点E ， ∵CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，
∴MH ＝2EH ＝2(GE －HG )＝2×[2－(－1
2
m ＋2)]＝m ， ∴－
12
m 2
＋2m ＝m ，(5分) 化简得m 2
－2m ＝0，
解得m 1＝2，m 2＝0(不符合题意，舍去)， 当m ＝2时，y ＝－
12m 2＋3
2
m ＋2＝3， ∴M (2，3)．(6分)
(3)存在点P ，使以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似， 理由如下：
∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，A (4，0)，A 、B 两点关于直线x ＝3
2
对称， ∴B (－1，0)，
由第(2)问可得G (2，0)，
∵AC 2242+5BC 22
12+5AB ＝5，
在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝52＋52＝25＝AB 2
，
∴△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°， 线段MG 绕点G 旋转过程中，与抛物线交于点N . (i)当NP ⊥x 轴时，∠NPG ＝90°，
设P 点坐标为(n ，0)，则N 点的坐标为(n ，－
12n 2＋3
2
n ＋2)，
第4题解图② 分两种情况：
①当111N P PG AC CB
=时， ∵∠N 1P 1G ＝∠ACB ＝90°，
∴△N 1P 1G ∽△ACB ， 213222255
n n -++= 化简得n 2＋n －12＝0，
解得n 1＝3，n 2＝－4(不符合题意，舍去)，
∴P 1(3，0)．(7分)
②当222N P P G BC CA
=时， ∵∠N 2P 2G ＝∠BCA ＝90°，
∴△N 2P 2G ∽△BCA ， 213222525
n n -++= 化简得n 2
－2n －6＝0，
解得n 1＝17，n 2＝17(不符合题意，舍去)，
∴P 2(17，0)．
(ii)当NP ⊥NG 交x 轴于点P ，∠GNP ＝90°，
分两种情况：
①∵N 1P 3⊥N 1G 交x 轴于点P 3，此时△N 1P 3G ∽△P 1N 1G ，
∴△N 1P 3G ∽△CAB ，
∵N 1P 1⊥P 3G ，
∴△N 1P 1P 3∽△BCA ， ∴1311PP N P BC CA
=， 当x ＝3时，N 1P 1＝－
12×32＋32×3＋2＝2， ∴P 1P 3＝4，则OP 3＝3＋4＝7，
∴点P 3(7，0)不在线段GA 上， 不符合题意，舍去．
②∵N 2P 4⊥N 2G 交x 轴于点P 4，此时△N 2P 4G ∽△P 2N 2G ，
∴△N 2P 4G ∽△CBA ，
∵N 2P 2⊥P 4G ，
∴△N 2P 2P 4∽△ACB ， ∴2224N P P P AC CB
=，
当x ＝1时，N 2P 2＝－
12)2＋32)＋2＝12，
∴P 2P 4，则OP 4＝1＞4，
∴点P 4，0)不在线段GA 上，不符合题意，舍去．
综上所述，共有两个点满足条件，分别为P 1(3，0)，P 2(1，0)．
5. (1)【思路分析】先由题中已知条件A 为OB 的中点，求出点A 的坐标，再根据抛物线的对称轴为y 轴，即可求得点C 1D 的坐标，再用待定系数法求解抛物线的解析式；(2)根据第(1)问得到的抛物线的解析式，可以表示出点P 的坐标，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，根据等腰三角形的性质求出OM ，再由OM 与P 点的纵坐标关系，列出方程进行解答；(3)过点P 作PN ⊥l 于点N ，交x 轴于点Q ，证明PN ＝PO ，从而得直线l 与⊙P 相切．
解：(1)∵A 为OB 的中点，B (0，－2)，
∴A (0，－1)，
∵抛物线y ＝ax 2
＋c 对称轴为y 轴，CD ＝4，
∴C (－2，0)，D (2，0)，
把A (0，－1)，D (2，0)代入抛物线y ＝ax 2
＋c 得： 140c a c =-⎧⎨+=⎩，解得141
a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝2
4
x －1.(3分)
第5题解图①
(2)设点P (x ，2
4
x －1)，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，如解图①， 则OM ＝12
OE ＝1， ∴|2
4
x －1|＝1， ∴24x －1＝1或2
4
x －1＝－1， 解之得x 1＝22，x 2＝－22，x 3＝0，
∴点P 坐标是P 1(22，1)，P 2(－22，1)，P 3(0，－1)．
第5题解图②
(3)直线l 与⊙P 相切．(9分)
设点P (x ，2
4
x －1)，过点P 作PN ⊥l 于点N ，交x 轴于点Q ，如解图②，
在Rt△POQ 中，PO 2＝OQ 2＋QP 2
＝ x 2
＋(24x －1)2＝x 2＋416x －2
2x ＋1＝ 416x ＋2
2
x ＋1， PN 2
＝[24x －1－(－2)]2＝416x ＋2
2
x ＋1， ∴PN ＝PO ，
∴直线l 与⊙P 相切．(12分)。