江苏省淮安市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷-(Word版含答案)

A
C
B
D
E
第12题图
淮安市2014－2015学年度第二学期期末高一调查测试
数 学 试 卷
本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

参考公式
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1
∑n
x i ．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答
案写在答题卡相应位置．．．．．．．
上． 1．已知集合{}{}
1,1,3,3A B x x =-=<，则A
B = ▲ ．
2．已知角α的终边过点()3,4P -，则cos α= ▲ ． 3．方程211
24
x -=
的解x = ▲ ． 4. 某单位有青年职工、中年职工、老年职工共900人，其中青年职工450人，为迅速了解职工的家庭状况，采用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为15人，则抽取的样本容量为 ▲ ．
5．下图是一个算法的流程图，当n 是 ▲ 时运算结束.
6．已知函数 ()()
()22cos x x f x m x x -=⋅+∈R 是奇函数，则实数m = ▲ ． ▲ ．
8．已知函数()()
1cos ,0,2f x x x x π⎡⎫
=∈⎪⎢⎣⎭
，则()f x 的最大值为 ▲ ．
9．已知等比数列{}n a 中，62a =，公比0q >，则2122211log log log a a a +++= ▲ ．
10. 已知实数,x y 满足0,0,28,3x y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥≥≤≤9,,则23z x y =+的最大值是 ▲ .
11．已知函数221,0
()2,0
x x f x x x x ->⎧=⎨--⎩≤，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值
范围是 ▲ ．
12．如图，在ABC ∆中，若2BE EA =，2AD DC =，
()DE CA BC λ=-，则实数=λ ▲ ．
13．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若134,,a a a 成等比数列，则32
53
S S S S --的
值为 ▲ ．
14．已知函数1
lg(1)y x
=-的定义域为A ，若对任意x A ∈都有不等式
292222x m x mx x -->--恒成立，则正实数m 的取值范围是 ▲ ．
二.解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应．．．．．
位置．．
上. 15.(本小题满分14分)
已知数列{}n a 的前n 项和224n n S +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设等差数列{}n b 满足73b a =，154b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
16.在平面直角坐标系上，第二象限角α的终边与单位圆交于点03,5A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
（1）求22sin α+sin 2α的值；
（2）若向量OA 与OB 夹角为60︒，且2OB =，求直线AB 的斜率． 17. (本小题满分14分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76，
乙代表队数据的平均数是75. （1）求x ，y 的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1不低于80学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3理由（方差较小者稳定）.
18．(本小题满分16分)
对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．
（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3
f x x f x x h x x π
===+
；
第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ； （2）设()()12212
log ,log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．
若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围.
19. (本小题满分16分)
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要， 该光源照射范围是6
ECF π
∠=,点,E F 在直径AB
且6
ABC π
∠=
．
（1）若CE =，求AE 的长；
（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
20．(本小题满分16分)
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21)n n S a =-（，数列{}n b 满足：对任意*n N ∈有
1
n
i i
i a b
=∑1(1)22n n +=-⋅+.
B
A
第19题图
（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）记n
n n
b C a =
，数列{}n C 的前n 项和为n T ，证明：当6n ≥时，21n n T -<．
2014－2015学年度高一调查测试
数学试卷参考答案与评分标准
一、填空题：
1．{}1,1- 2．35- 3．12- 4.30 5．5 6．1- 7．1
7
8．2
9．11 10.13 11．[)0,1 12．1
3 13．2 14
．0,1⎛-+ ⎝ 二.解答题:
15.（1）因为数列{}n a 的前n 项和224n n S +=-.
所以311244a S ==-=，……………………………………………………………2分 当1n >时，2111(24)(24)2n n n n n n a S S +++-=-=---=，…………………………4分 因为1n =时也适合，所以12(*)n n a n N +=∈；…………………………………6分 （2）设等差数列{}n b 的首项为1b ，公差为d ，因为73b a =，154b a =，12n n a += 所以 11616,
1432.
b d b d +=⎧⎨
+=⎩ …………………………………………………………10分
解得14,
2.b d =⎧⎨=⎩
……………………………………………………………………12分
所以数列{}n b 前n 项和21(1)
32
n n n T nb d n n -=+
=+.……………………14分 16.（1）因为角α的终边与单位圆交于点03,5A y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，所以2203()15y -+=，
解得0y =4
5±
，又因为角α是第二象限角， 所以0y =45，所以sin α=45，cos α=3
5
-，……………………………………2分
所以22sin α+sin 2α=22sin 2sin cos ααα+
2=⨯24()5432()55+⨯⨯-8
25
=
；………………………………………6分 （2）由（1）知，34,55OA ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，设B 点坐标为(,)m n ，则OB =(,)m n ，
因为2OB =，所以224m n +=，……………………………………………8分
又因为OA 与OB 夹角为60︒，所以cos 60
OA OB OA OB ⋅
=︒， 即34
155
m n -+
=，……………………………………………………………10分
联立解得m n
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或
m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以B 点坐标为
），…12分 所以4AB ⎛=
或AB ⎛= ⎝
， 所以直线AB 的斜率为
3
4
．……………………………………………………14分 17.（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知 高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以6x =；………………………2分 因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为 5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5， 7，7，19，和为41，所以3y =；…………4分 （2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88； 乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，
甲、乙两队各随机抽取一名，种数为3412⨯=，………………………………………6分 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。

种数为3+1+1=5， …………………………………………………………………8分 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为5
12
P =．…………………………10分 （3）因为甲的平均数为 ()1
646571717676778082887510
x =
+++++++++=甲，…………………………11分 所以甲的方差()()()()()222222
1=
[6475657571757175767510
s -+-+-+-+-甲 ()()2
2
76757775+-+-()()()2
2
2
807582758875]50.2+-+-+-=， ……………12分
又乙的方差()()()()()22222
21=
[5675687568757075727510
s -+-+-+-+-乙 ()()2
2
73758075+-+-()()()2
2
2
867588758975]70.3+-+-+-=， ……………13分
因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定. ……………………14分 18．（1）① 设sin cos sin()3
a x
b x x π
+=+
，即1sin cos sin 2a x b x x x +=+
，
取1
,2a b =，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数．……………………………4分 ② 设222()(1)1a x x b x x x x -+++=-+，即22()()1a b x a b x b x x +--+=-+，
则111a b a b b +=⎧⎪
-+=-⎨⎪=⎩，该方程组无解。

所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数．………8分 （2）因为()()12212
log ,log ,2,1f x x f x x a b ====，
所以 122122
()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+= ，
不等式2
3()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，
等价于22
223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--在[2,4]x ∈上有解，………12分
令2log s x =，则[1,2]s ∈，由22223log 2log 32y x x s s =--=--，
知y 取得最小值5-，所以5t <-．………………………………………………16分 19．（1）连结AC ，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，6
ABC π
∠=
，所以3
BAC π
∠=
，4AC =，
在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =+-
，且CE =， 所以213164AE AE =+-，
解得1AE =或3AE =，…………6分 （2）因为2
ACB π
∠=
，6
ECF π
∠=，
所以ACE α∠=[0,]3
π∈，
所以362
AFC A ACF π
ππππαα⎛
⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭， 在ACF ∆中由正弦定理得：
sin sin cos sin()2
CF AC AC AC A CFA πα
α===∠-
所以CF =
，……………………………………………………………8分 在ACE ∆中，由正弦定理得：
sin sin sin()
3
CE AC AC
A AEC πα==∠+
B
A
所以sin(
3
CE π
=
，……………………………………………………10分
若产生最大经济效益，则CEF 的面积MCN S ∆最大，
13sin 2sin()cos 3ECF S CE CF ECF παα∆=⋅∠==+14分
因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13π
α+≤≤
所以当=3π
α时，MCN S ∆
取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大．…16分
20.（1）当1n =时，1112(1)S a a ==-，所以12a =， 当1n >时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，
所以数列{}n a 是以12a =，公比2q =的等比数列，
通项公式为2()n n a n N *=∈.………………………………………………………2分 由题意有11a b =2
(11)222-⋅+=，得11b =. 当2n ≥时，n n a b =1122()n n a b a b a b ++
+112211()n n a b a b a b ---+++
1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22n
n ⎡⎤-⋅+=⎣⎦
2n n ⋅，于是得n b n = 故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *
∈．………………………………………6分
（2） 证明：n T =
12
12n n b b b a a a +++
=2
12222n n +++
，所以12n T =23
1
12222n n
++++
， 错位相减得12
n T =231111122222n n n
+++++-， 所以2n T =-22n n +，即2n
T -=2
2n
n +，………………………………………10分 下证：当6n ≥时，
(2)1
2n n n +<，令()f n =(2)
2n
n n +， (1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n n
n n n n ++++-
=2
132n n +- 当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即当2n ≥时，()f n 单调减，又(6)1f <， 所以当6n ≥时，()1f n <，即(2)
12
n
n n +<，即当6n ≥时，21n n T -<.……16分。