几类能用根式求解的五次方程

几类能用根式求解的五次方程
五次方程是指最高次项为5的方程，一般形式为
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0。

由于五次方程没有通用的求根公式，因此一般情况下无法用根式求解。

但是，对于一些特殊的五次方程，我们可以通过一些方法将其化为可以用根式求解的形式。

以下是几类能用根式求解的五次方程：
1. 可分解为二次和三次方程的五次方程
如果一个五次方程可以分解为一个二次方程和一个三次方程的乘积，那么它可以用根式求解。

具体地，设五次方程为
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，将其写成两个括号的形式：(px^2+qx+r)(sx^3+tx^2+ux+v)=0。

展开后比较系数，可以得到以下方程组：
ps=a
pt+qs=b
pu+qt+pr=c
pv+ru= d
rv= e
解出p、q、r、s、t、u、v之后，就可以求出方程的根。

2. 可化为四次方程的五次方程
如果一个五次方程可以通过代换将其化为一个四次方程，那么它也可以用根式求解。

具体地，设五次方程为
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，将x表示为y+k的形式，即x=y+k，代入原方程得到：
a(y+k)^5+b(y+k)^4+c(y+k)^3+d(y+k)^2+e(y+k)+f=0
展开后比较系数，可以得到以下方程组：
ay^5+(5ak+by^4) y^4+(10ak^2+10bk+cy^3)
y^3+(10ak^3+15bk^2+10ck+dy^2)
y^2+(5ak^4+10bk^3+10ck^2+5dk+ey)
y+(ak^5+bk^4+ck^3+dk^2+ek+f)=0
将y^4的系数设为0，即5ak+by^4=0，解出k=-b/(5a)，代入原方程得到：
ay^5+(10ab/5a)y^3+(10a^2b^2/25a^2)y^2+(5ab^3/125a^3)y
+(a(-b^4/625a^4)+bk^4+ck^3+dk^2+ek+f)=0
化简后得到一个四次方程，可以用根式求解。

3. 可化为三次方程的五次方程
如果一个五次方程可以通过代换将其化为一个三次方程，那么它也可
以用根式求解。

具体地，设五次方程为
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，将x表示为y^2的形式，即
x=y^2，代入原方程得到：
ay^10+by^8+cy^6+dy^4+ey^2+f=0
将y^8的系数设为0，即by^8=0，解出y=0，代入原方程得到f=0。

因此，原方程可以化为：
ay^10+cy^6+dy^4+ey^2=0
将y^2表示为z，得到：
az^5+cz^3+dz^2+e=0
这是一个三次方程，可以用根式求解。

4. 可化为二次方程的五次方程
如果一个五次方程可以通过代换将其化为一个二次方程，那么它也可以用根式求解。

具体地，设五次方程为
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，将x表示为y^5的形式，即x=y^5，代入原方程得到：
ay^25+by^20+cy^15+dy^10+ey^5+f=0
将y^20的系数设为0，即by^20=0，解出y=0，代入原方程得到f=0。

因此，原方程可以化为：
ay^25+cy^15+dy^10+ey^5=0
将y^5表示为z，得到：
az^5+cz^3+dz^2+e=0
这是一个二次方程，可以用根式求解。

综上所述，虽然五次方程没有通用的求根公式，但是对于一些特殊的五次方程，我们可以通过一些方法将其化为可以用根式求解的形式。