人教B版数学高一版必修1练习2.1.2函数的表示方法

2.1.2 函数的表示方法
知识点一：函数的表示方法
1．下图所给的四个图象中，可以作为函数y ＝f(x)的图象的有
A ．(1)(2)(3)
B ．(1)(2)(4)
C ．(1)(3)(4)
D ．(3)(4) 2．下列表格中的x 与y 能构成函数的是 A.
B.
C.
D.
3．以半径为R 的半圆上任一点P 为顶点，以直径AB 为底边的△PAB 的面积S 与高PD ＝x 的函数关系为
A ．S ＝Rx
B ．S ＝2Rx(x>0)
C ．S ＝Rx(0<x≤R)
D ．S ＝πx 2
(0<x≤R)
4．已知f(x)＝ax 3
＋cx ＋5，满足f(－1)＝－3，则f(1)的值为
A ．13
B ．10
C ．7
D ．3 5．已知函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝f(ab)，且f(2)＝p ，f(3)＝q ，则f(72)＝__________. 6．已知f(x)＝x ＋2，则f(x)＝__________. 知识点二：分段函数
7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0，x>0，－π，x ＝0，
x 2＋1，x<0，
则f{f[f(－1)]}的值等于
A ．x 2
＋1 B ．π2
＋1 C ．－π D ．0
8．函数y ＝|x －3|－|x －1|有
A ．最小值0，最大值4
B ．最小值－4，最大值0
C ．最小值－2，最大值2
D ．最小值和最大值都不存在
9．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为f(x)＝__________.
10．设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
，x≤1，
x 2
＋x －2，x>1，则f[1
f 2
]＝__________.
11．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ，－1≤x<0，x 2
，0≤x<1，
x ，1≤x≤2.
(1)求下列各值：f(－8)、f(12)、f(32)、f(－2
3
)；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
12．某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元．超过2 km 时，前2 km 依然按5元收费，超过2 km 部分，每千米收1.5元．你能写出打车费用关于路程的函数解析式吗？又规定：若遇堵车，每等待5分钟(不足5分钟按5分钟计时)乘客需交费1元．某乘客打车共跑了20 km ，中途遇到了两次堵车，第一次等待7分钟，第二次等待13分钟，该乘客到达目的地时，该付多少车钱？
能力点一：函数解析式的求法
13．已知f(1－x 1＋x )＝1－x
2
1＋x 2，则f(x)的解析式可以是
A.
x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x
2 14．已知f(x)－2f(1
x )＝3x ，则函数f(x)的解析式为__________．
15．如果f(x －1x )＝(x ＋1x )2
，则f(x ＋1)＝__________.
能力点二：函数图象的有关问题 16．函数y ＝x|x|的图象大致是
17．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如下图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为__________．
18．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是__________．
19．作出下列函数的图象，并求出其值域： (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，0<x<1，
x ，x≥1.
(2)y ＝x 2
＋2x ，x∈[－2,2]．
能力点三：分段函数的综合应用 20．设f(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1
2
，x≤－1，
2x ＋1，－1<x<1，
1x －1，x≥1，
已知f(a)>1，则实数a 的取值范围是
A ．(－∞，－2)∪(－12，＋∞)
B ．(－12，1
2
)
C ．(－∞，－2)∪(－12，1)
D ．(－12，1
2)∪(1，＋∞)
21．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2，x≤－1，x 2
，－1<x<2，
2x ，x≥2，
若f(x)＝3，则x ＝__________.
22．已知f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
，x≥0，
x ，x<0，g(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x≥0，
－x 2
，x<0，则当x<0时，f[g(x)]＝
__________.
23．作出函数y ＝|x ＋2|－|x －1|的图象，并求函数的值域．
24．如图所示，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形边界运动一周，再回到A 点，若点P 运动的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，求A 、P 两点间的距离y 与点P 运动的路程x 之间的函数关系式．
25．如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2，BC ＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域．
答案与解析
基础巩固
1．D 2.C
3．C S ＝1
2
·2R·x＝Rx ，由题意知0<x≤R.
4．A f(－1)＝－a －c ＋5， ∴a＋c ＝5－f(－1)＝8. 又∵f (1)＝a ＋c ＋5， ∴f(1)＝8＋5＝13.
5．3p ＋2q f(72)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p ＋2q.
6．x 2
＋2(x≥0) 令t ＝x ≥0，
∴x＝t 2
.
∴f(t)＝t 2
＋2(t≥0)．
∴f(x)＝x 2
＋2(x≥0)．
7．C f(－1)＝(－1)2
＋1＝2， ∴f[f(－1)]＝f(2)＝0.
∴f{f[f(－1)]}＝f(0)＝－π.
8．C y ＝|x －3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2，x≥3，4－2x ，1≤x<3，
2，x<1，
∴－2≤y≤2.
9．f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，0≤x≤1，2，1<x<2，
3，x≥2
10.1516 f(2)＝22
＋2－2＝4，1f 2＝14，f(14)＝1－(14)2＝1516. 11．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)又－8[－1,2]， ∴f(－8)无意义．
又∵－1≤x<0时，f(x)＝－x ，
∴f(－23)＝－(－23)＝23.
∵0≤x<1时，f(x)＝x 2
， ∴f(12)＝(12)2＝14.
又∵1≤x≤2时，f(x)＝x ， ∴f(32)＝32
.
(2)在同一坐标系中，分段画出函数图象，如图所示．
(3)由图象可知，函数的值域为[0,2]． 12．解：设乘车x km ，乘客需付费y 元， 则当0<x≤2时，y ＝5； 当x>2时，
y ＝5＋(x －2)×1.5＝1.5x ＋2.
∴y＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
5，0<x≤2，1.5x ＋2，x>2为所求函数解析式．
当x ＝20 km 时，应付费y ＝1.5×20＋2＝32(元)．
另外，第一次堵车等待：7分钟＝5分钟＋2分钟，故需付费2元． 第二次堵车等待：13分钟＝(2×5)分钟＋3分钟，需付费3元． 所以，该乘客到达目的地后应付费32＋2＋3＝37(元)．
能力提升
13．C 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t
1＋t .
∴f(t)＝
1－
1－t 1＋t
2
1＋
1－t 1＋t 2
＝
2t 1＋t
2. 故f(x)＝
2x 1＋x
2. 14．f(x)＝－x －2x 用1
x 代替x ，
则有f(1x )－2f(x)＝3
x ，
可得f(1x )＝2f(x)＋3
x ，
代入f(x)－2f(1
x )＝3x ，
可解得f(x)＝－x －2
x
.
15．(x ＋1)2
＋4 ∵f(x－1x )＝(x ＋1x )2＝(x －1x
)2＋4，
∴f(x)＝x 2
＋4.故f(x ＋1)＝(x ＋1)2
＋4.
16．A
17．19 kg 由题图知函数图象是直线，可用一次函数表示，设为y ＝kx ＋b ，将已知点(30,330)，(40,630)代入求得k ＝30，b ＝－570，
∴y＝30x －570，再令y ＝0，得x ＝19.
18．f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，－1≤x<0，
－x ，0≤x≤1
∵f(x)的图象是由两条线段构成的，
∴由一次函数解析式的求法可得f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，－1≤x<0，
－x ，0≤x≤1.
19.解：(1)x
…
1
4
12
1
2
3
…
y
… 4 2 1 2 3 …
图象如下图：
当0<x<1时，是双曲线y ＝1
x 的一部分；
当x≥1时，是直线y ＝x 的一部分． 由图象知，函数的值域为[1，＋∞)．
(2)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2
－1，x∈[－2,2]． 列表：
x －2 －1 0 1 2 y
－1
3
8
图象如下图．
图象是抛物线y ＝x 2
＋2x 在－2≤x≤2之间的部分． 由图象可得，函数的值域是[－1,8]． 20．C
∵f(x )＝
∴f(a)>
或
a<－2或－1
2
<a<1，
即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1
2
，1)．
21. 3 ∵x＋2≤1(x≤－1)，0<x 2
<4(－1<x<2)，2x≥4(x≥2)，
∴f(x)＝3，即x 2
＝3.∴x＝± 3. 又－1<x<2，∴x＝ 3.
22．－x 2 当x<0时，g(x)＝－x 2
<0，
∴f[g(x)]＝f(－x 2)＝－x 2
.
23．解：
图象如图所示，所求函数的值域为[－3,3]．
拓展探究
24．解：(1)当点P 在AB 上，即0≤x≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x. (2)当点P 在BC 上，即1<x≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，
根据勾股定理，得AP 2＝AB 2＋BP 2
，
∴y＝AP ＝1＋x －12＝x 2
－2x ＋2.
(3)当点P 在DC 上，即2<x≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x.
根据勾股定理，得AP 2＝AD 2＋DP 2
，
∴y＝AP ＝1＋3－x 2＝x 2
－6x ＋10.
(4)当点P 在AD 上，即3<x≤4时，有y ＝AP ＝4－x.
∴所求函数关系式为y=
25．解：过B 、C 分别作AD 的垂线，垂足分别为H 、G ，
则AH ＝12，AG ＝3
2.
(1)当M 位于H 左侧时，AM ＝x ，MN ＝x ，
∴y＝S △AMN ＝12x 2(0≤x<1
2)．
(2)当M 位于H 、G 之间时，
y ＝1
2AH·BH＋HM·MN ＝12×12×12＋(x －12)×12 ＝12x －18(12≤x<32
)． (3)当M 位于G 、D 之间时，y ＝S 梯形ABCD －S △MND ＝12×12×(2＋1)－12×(2－x)(2－x)＝－12x
2＋2x －54(3
2
≤x≤2)．
∴所求函数的关系式为
∴函数的定义域为[0,2]，值域为[0，3
4]．。