《平面向量》2013年高三数学一轮复习单元训练(附答案解析)

《平面向量》2013年高三数学一轮复习单元训练（某校）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2. 已知a →
、b →
均为单位向量，它们的夹角为60∘
，那么|a →
+3b →
|＝（ ） A.√7 B.√10 C.√13 D.4
3. 在周长为16的△PMN 中，MN =6，则PM →
⋅PN →
的取值范围是（ ） A.[7, +∞) B.(0, 7] C.(7, 16] D.[7, 16)
4. 在边长为3的等边三角形ABC 中，CD →
=2DB →
，则AB →
⋅CD →
等于（ ） A.−3√3 B.−3 C.3 D.3√3
5. 无论a →
=(x 1, x 2, x 3)，b →
=(y 1, y 2, y 3)，c →
=(z 1, z 2, z 3)，是否为非零向量，下列命题中恒成立的是（ ） A.cos <a →
，b →>=x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3⋅
B.若a →
 // b →
，c →
 // b →
，则a → // c →
C.(a →⋅b →
)⋅c →
=a →
⋅(b →⋅c →
)
D.||a →
|−|b →
||≤|a →
±b →
|≤|a →
|+|b →
|
6. 设e →1，e →2是夹角为45∘的两个单位向量，且a →
=
e →1
+
2e →
2，b
→=
2e →1
+
e →2，则|a
→+b →
|的值为( )
A.3√2
B.9
C.18+9√2
D.3√2+√2
7. 对于非0向量a →
，b →
，“a →
+b →
=0→
”是“a →
 // b →
”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8. 已知a →
=(−1, −√3)，b →
=(2, 0)，则a →
与b →
的夹角是（ ） A.π
6 B.π
3
C.2π
3
D.5π
6
9. 已知向量a →
=(1, 2)，b →
=(1, 0)，c →
=(3, 4)．若λ为实数，(a →
+λb →
) // c →
，则λ=( ) A.1
4 B.1
2
C.1
D.2
10. 在△ABC 中，AB →
=c →
，AC →
=b →
．若点D 满足BD →
=2DC →
，则AD →
=( ) A.23b →
+13c →
B.53c →
−23b →
C.23b →
−13c →
D.13b →
+23c →
11. 已知向量OA →
=(4, 6)，OB →
=(3, 5)，且OC →
⊥OA →
，AC →
 // OB →
，则向量OC →
等于（ ） A.(−3
7
，2
7)
B.(−27
，4
21
)
C.(37
，−2
7
)
D.(27
，−
4
21
)
12. 如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 上的任一点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设AD →
=λ1AB →
，AE →
=λ2AC →
，DF →
=λ3DE →
，且λ2+λ3−λ1=12
，则△BDF 的面积S 的最大值
是（ ）
A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
8
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
已知e 1→，e 2→是夹角为2
3π的两个单位向量，a
→=
e 1
→−2e 2→
，b
→=
ke 1
→+
e 2→，若a
→⋅b →
=0，则实数k 的值为
________．
已知向量a →,b →
夹角为45∘
，且|a →
|=1,|2a →
−b →
|=√10，则|b →
|=________．
若e 1→
，e 2→
是两个不共线的向量，已知AB →
=2e 1→
+ke 2→
，CB →
=e 1→
+3e 2→
，CD →
=2e 1→
−e 2→
，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________．
在△ABC 中，若AC →
⋅BC →
=1，AB →
⋅BC →
=−2，则|BC →
|=________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，且a
→
=
2e 1
→+e 2→
，b
→=−3e 1→
+2e 2→
（1）求a →
⋅b →
；
（2）求a →
与b →
的夹角<a →
，b →
>．
已知||a →
|=1，|b →
|=2． （1）若a →
 // b →
，求a →
⋅b →
；
（2）若a →
、b →
的夹角为60∘
，求|a →
+b →
|；
（3）若a →
−b →
与a →
垂直，求当k 为何值时，(ka →
−b →
)⊥(a →
+2b →
)？
已知向量a →
=(1, sin x)，b →
=(sin 2x, cos x)，函数f(x)=a →
⋅b →
，x ∈[0, π
2] （1）求f(x)的最小值；
（2）若f(α)=5
6，求sin 2α的值．
已知向量a →
=(1,y)，b →
=(1,−3)，且(2a →
+b →)⊥b →
． （1）求|a →
|；
（2）若(ka →
+2b →
) // (2a →
−4b →
)，求k 的值．
已知A(3, 0)，B(0, 3)，C(cos α, sin α). (1)若AC →
⋅BC →
=−1，求sin (α+π
4)的值；
（2）O 为坐标原点，若|OA →
−OC →
|=√13，且α∈(0, π)，求OB →
与OC →
的夹角．
已知x ∈R ，向量OA →
=(a cos 2
x,1)，OB →=(2,√3a sin 2x −a)，f(x)=OA →⋅OB →
，a ≠0． （1）求函数f(x)解析式，并求当a >0时，f(x)的单调递增区间；
（2）当x ∈[0,π
2]时，f(x)的最大值为5，求a 的值．
参考答案与试题解析
《平面向量》2013年高三数学一轮复习单元训练（某校）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.
【答案】 C
【考点】
向量的物理背景与概念 【解析】
根据向量的定义，找出其中既有大小、又有方向的物理量，即可得到本题答案． 【解答】
解：∵ 质量、路程只有大小而没有方向， ∴ 质量、路程属于标量，不是向量；
又∵ 速度、位移、力和加速度都是既有大小，又有方向的量 ∴ 速度、位移、力和加速度这些量都是向量 因此，正确答案为②③④⑤，共有4个 故选：C 2.
【答案】 C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 向量的概念与向量的模
【解析】
求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果． 【解答】
∵ a →,b →
均为单位向量，它们的夹角为60∘ ∴ |a →
|＝1，|b →
|＝1，
a →
⋅b →
=cos 60∘
∴ |a →
+3b →
|=√a →
2+6a →
⋅b →
+9b →
2=√1+6cos 60+9=√13 3.
【答案】 D
【考点】
平面向量数量积的运算 余弦定理
【解析】
利用向量的数量积公式表示出向量的数量积；利用三角形的余弦定理求出向量的夹角余弦；通过求二次函数的对称轴求出范围． 【解答】
解：设PM =x ，则PN =10−x ，∠MPN =θ 所以PM →
⋅PN →
=x(10−x)cos θ 在△PMN 中，由余弦定理得cos θ=(10−x)2+x 2−36
2(10−x)x
又{x +6>10−x 10−x +6>x
，解得2<x <8 ∴ PM →
⋅PN →
=x 2−10x +32(2<x <8)，是一个开口向上的二次函数，对称轴为x =5 当x =5时最小为7，当x =2或x =8时最大为16 故答案为[7, 16) 故选D ． 4.
【答案】 C
【考点】
平面向量数量积的运算 【解析】
由题意可得<AB →
，CD →
>=π
3，|AB →
|=3，|CD →
|=2，利用两个向量的数量积的定义求出AB →
⋅CD →
的值． 【解答】
解：由题意可得<AB →
，CD →
>=π
3，|AB →
|=3，|CD →
|=2， ∴ AB →
⋅CD →
=|AB →
|⋅|CD →
| cos <AB →
，CD →
>=3×2×1
2=3， 故选C ． 5.
【答案】 D
【考点】
空间向量的数量积运算 命题的真假判断与应用 共线向量与共面向量 【解析】
逐个验证：选项A ，当有一个为零向量时不成立；选项B ，当b →
=0→
时，则a →
 // c →
不一定成立；选项C ，当a →
与c →
不共线时，不成立；选项D ，无论a ¯
与b →
共线，还是不共线，都成立 【解答】
解：选项A ，当有一个为零向量时不成立，故错误；
选项B ，当b →
=0→
时，则a →
 // c →
不一定成立，错故误； 选项C ，当a →
与c →不共线时，不成立，故错误； 选项D ，由向量模长的意义和三角形的三边关系可得， 无论a ¯
与b →共线，还是不共线，都成立，故正确． 故选D 6. 【答案】 D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 单位向量 向量的模 【解析】
利用向量的数量积的定义即可得出e 1
→
⋅
e 2→，a →2，b →2，再根据|a
→+b →|=√(a →
+b →
)2即可得出．
【解答】
解：∵ e 1→
，e 2→
是夹角为45∘的两个单位向量， ∴ e 1→
⋅e 2→
=1×1×cos 45∘=√22
． ∴ a →2
=
(e 1
→+
2e 2→)2
=1+22
+
4e 1
→⋅
e 2
→=5+2√2，
b →
2=
(2e 1
→+
e 2→)2
=22+1+
4e 1→⋅
e 2
→=5+2√2，
a →
⋅b →
=（(e 1→
+2e 2→
)⋅(2e 1→
+e 2→
) =
2e 1→2+
2e 2
→2+
5e 1→⋅
e 2
→=4+
5√2
2
． ∴ |a →
+b →|=√(a →
+b →
)2
=√a →2+b →
2+2a →
⋅b →
=√2(5+2√2)+2(4+
5√2
2
) =√18+9√2=3√2+√2． 故选D ． 7. 【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断 向量的共线定理
【解析】
利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项． 【解答】
解：∵ a →
+b →
=0→
⇒b →
=−a →
⇒a →
 // b →
，
反之，推不出，例如b →
=2a →
满足两个向量平行但得到a →
+b →
=0→
， 所以“a →
+b →
=0→
”是“a →
 // b →”的充分不必要条件. 故选A . 8.
【答案】 C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 【解析】
由题意可得|a →
|、|b →
|，以及a →
⋅b →
的值，设a →
与b →
的夹角是θ，则由cos θ=|a →
|⋅|b →
|˙的值求得θ的值． 【解答】
解：由题意可得|a →
|=√1+3=2，|b →
|=2，a →
⋅b →
=−2+0=−2．设a →
与b →
的夹角是θ， 则由cos θ=|a →
|⋅|b →
|˙=−2
2×2=−1
2，且0≤θ≤π，可得θ=2π3
，
故选C ． 9. 【答案】 B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】
根据所给的两个向量的坐标，写出要用的a →
+λb →
向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标
表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可． 【解答】
解：∵ 向量a →
=(1, 2)，b →
=(1, 0)，c →
=(3, 4)． ∴ a →
+λb →
=(1+λ, 2) ∵ (a →
+λb →
) // c →
，
∴ 4(1+λ)−6=0， ∴ λ=1
2. 故选B ． 10.
【答案】 A
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义 向量加减混合运算及其几何意义 向量的三角形法则
【解析】
把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D 点把BC 分成一比二的两部分入手． 【解答】
解：∵ 由AD →
−AB →
=2(AC →
−AD →
)， ∴ 3AD →
=AB →
+2AC →
=c →
+2b →
， ∴ AD →
=13
c →
+23
b →
．
故选A . 11.
【答案】 D
【考点】
平面向量的坐标运算 【解析】
根据向量平行垂直的坐标公式X 1Y 2−X 2Y 1=0和X 1X 2+Y 1Y 2=0运算即可． 【解答】
解：设C(x, y)，
∵ OC →
⊥OA →
，⇒4x +6y =0， AC →
 // OB →⇒5(x −4)−3(y −6)=0， 联立解得D(2
7，−4
21)． 故选D ． 12.
【答案】 D
【考点】
平面向量的综合题 【解析】
由三角形ABC 的面积为1且S △ADE S △ABC
=
1
2AD⋅AE sin A 1
2AB⋅AC sin A =
λ1AB⋅λ2AC AB⋅AC =λ1λ2可求三角形ADE 的面积，再由△DMB ∽△DEA
可得ℎ1ℎ2
=DB
DA =
1−λ1λ1
从而有S
△DBF S △ADE
=
1
2DF⋅ℎ112
DE⋅ℎ2=λ3⋅1−λ1λ1
，求出三角形DEF 的面积之后，利用基本不等式可求面积
的最大值 【解答】
解：分别过B ，A 作BM ⊥DE ，AN ⊥DE ，垂足分别为M ，N ，设MB =ℎ1，AN =ℎ2 则S △ADE
S
△ABC
=
1
2AD⋅AE sin A 1
2
AB⋅AC
sin A =
λ1AB⋅λ2AC AB⋅AC
=λ1λ2
∴ S △ADE =λ1λ2S △ABC =λ1λ2 ∵ △DMB ∽△DEA ∴ ℎ1ℎ2
=DB
DA =
1−λ1λ1
从而有
S △DBF
S △ADE
=
1
2DF⋅ℎ11
2
DE⋅ℎ2=λ3⋅
1−λ1λ1
∴ S △DBF =
λ3(1−λ1)
λ1
λ1λ2=λ2λ3(1−λ1)≤(
λ2+λ3+1−λ13
)3
=1
8
当且仅当λ2=λ3=1−λ1=1
2取等号 故选：D
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 【答案】
54
【考点】
平面向量数量积的运算 【解析】
利用向量的数量积公式求出e 1→
⋅e 2→
；利用向量的运算律求出a →
⋅b →
，列出方程求出k ． 【解答】
解：∵ e 1→
，e 2→
是夹角为2
3π的两个单位向量 ∴ e 1→
⋅e 2→
=−1
2
∴ a →
⋅b →
=(e 1→
−2e 2→
)⋅(ke 1→
+e 2→
) =
ke 1→2−
2ke 1
→⋅
e 2
→+
e 1
→⋅
e 2
→−
2e 2→2
=2k −5
2
∵ a →
⋅b →
=0 ∴ 2k −5
2=0
解得k =5
4 故答案为：5
4 【答案】
3√2
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 数量积表示两个向量的夹角 【解析】
由已知可得，a →
⋅b →
=|a →||b →
|cos 45=√2
2
|b →|，代入|2a →−b →|=√(2a →−b →
)2=√4a →2−4a →
⋅b →
+b →
2=
√4−2√2|b →
|+|b →|2=√10可求 【解答】
∵ <a →,b →
>=45，|a →
|=1 ∴ a →
⋅b →
=|a →||b →
|cos 45=
√2
2
|b →| ∴ |2a →
−b →
|=√(2a →
−b →
)2=√4a →
2−4a →⋅b →
+b →
2=√4−2√2|b →
|+|b →
|2=√10 解得|b →
|=3√2 【答案】 −8
【考点】
平行向量（共线） 【解析】
先求出BD →
，利用A ，B ，D 三点共线，AB →
=λBD →
，求出k 即可． 【解答】
BD →
=CD →
−CB →
=(2e 1→
−e 2→
)−(e 1→
+3e 2→
)=e 1→
−4e 2→
因为A ，B ，D 三点共线，
所以AB →
=λBD →
，已知AB →
=2e 1→
+ke 2→
，
BD →
=e 1→−4e 2→，λe 1→−4λe 2→=2e 1→+ke 2→
， 所以k ＝−8， 【答案】
√3
【考点】
向量在几何中的应用 【解析】
根据BC →
=AC →
−AB →
，则|BC →
|2
=BC →
×BC →
=(AC →
−AB →
)BC →
，将条件数据代入即可求出所求． 【解答】
解：BC →=AC →−AB →
∴ |BC →
|2=BC →
×BC →
=(AC →
−AB →
)BC →
=AC →
⋅BC →
−AB →
⋅BC →
=1−(−2) =3
∴ |BC →|=√3
故答案为：√3
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【答案】
解：（1）求a →
⋅b →
=(2e 1→
+e 2→
)⋅(−3e 1→
+2e 2→
)=−6e 1→2
+e 1→
⋅e 2→
+2e 2→2
=−6+1×1×cos 60∘+2=−7
2
．
（2）|a|→
=
|2e 1→
+
e 2→|
=√(2e 1→+e 2→
)2=√4e 1→2
+2e 1→
⋅e 2→
+e 2→2
=√7
同样地求得|b →
|=√7．所以cos <a →
，b →
>=|a →||b →
|˙=−
72
√7×√
7
=−1
2， 又0<<a →
，b →
><π，所以<a →
，b →
>=
2π3
．
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量数量积的性质及其运算律 数量积表示两个向量的夹角
【解析】
（1）按照向量数量积的定义和运算法则求解即可．
（2）利用向量数量积公式变形，求出a →
与b →
的夹角余弦值，再求出夹角． 【解答】 解：（1）求a →
⋅b →
=
(2e 1
→
+e 2→)
⋅
(−3e 1
→+
2e 2→)
=
−6e 1
→2+
e 1
→⋅
e 2
→+
2e 2
→2=−6+1×1×cos 60∘+2=−7
2
．
（2）|a|→
=|2e 1→+e 2→|=√(2e 1→+e 2→
)2=√4e 1→2
+2e 1→
⋅e 2→
+e 2→2
=√7 同样地求得|b →
|=√7．所以cos <a →
，b →
>=|a →||b →
|˙=−
72
√7×√7
=−1
2
，
又0<<a →
，b →
><π，所以<a →
，b →
>=2π3
．
【答案】
解：(1)a →⋅b →
=±|a →
|⋅|b →
|=±2
（2） a →
⋅b →
=|a →
|⋅|b →
|cos 60∘
=1|a →
+b →|2
=|a →|2
+a →
⋅b →
+|b →
|2=6， ∴ |a →
+b →|=√6 （3） 若a →
−b →
与a →
垂直 ∴ (a →
−b →
)⋅a →=0 ∴ a →
⋅b →
=|a →|2
=1
使得(ka →
−b →
)⊥(a →
+2b →
)，只要(ka →
−b →
)⋅(a →
+2b →
)=0 即k|a →|2
+(2k −1)a →⋅b →
−2|b →
|2=0 ∴ k =3
【考点】 向量的模
平面向量数量积的运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】
（1）由于a →
 // b →
，则两向量共线，根据向量的数量积即得a →
⋅b →
；
（2）直接根据向量的数量积公式即可得到：a →
⋅b →
=|a →
|⋅|b →
|cos 60∘
=1从而：|a →
+b →|2
=|a →|2
+a →
⋅b →
+|b →
|2=6，开方后即得答案；
（3） 利用两个向量垂直的数量积条件，由a →
−b →
与a →
垂直，得到(a →
−b →
)⋅a →
=0，为使得(ka →
−b →
)⊥(a →
+2b →
)，只要(ka →
−b →
)⋅(a →
+2b →
)=0代入数据即可求得k 值． 【解答】
解：(1)a →⋅b →
=±|a →
|⋅|b →
|=±2
（2） a →
⋅b →
=|a →
|⋅|b →
|cos 60∘
=1|a →
+b →|2
=|a →|2
+a →
⋅b →
+|b →
|2=6，
∴ |a →
+b →
|=√6 （3） 若a →
−b →
与a →
垂直 ∴ (a →
−b →
)⋅a →=0 ∴ a →
⋅b →
=|a →
|2=1
使得(ka →
−b →
)⊥(a →
+2b →
)，只要(ka →
−b →
)⋅(a →
+2b →
)=0 即k|a →|2
+(2k −1)a →⋅b →
−2|b →
|2=0 ∴ k =3 【答案】
解：（1）∵ 向量a →
=(1, sin x)，b →
=(sin 2x, cos x)， ∴ f(x)=a →
⋅b →
=sin 2x +sin x cos x =1−cos 2x
2
+1
2sin 2x =
√2
2
sin (2x −π4)+1
2
∵ x ∈[0, π
2]，∴ 2x −π
4∈[−π4, 3π
4]
因此，当2x −π
4=−π
4，即x =0时，f(x)取得最小值，最小值为f(0)=0； （2）由（1）得f(α)=
√2
2
sin (2α−π4)+12=56，化简得sin (2α−π
4)=
√23
∵ α∈[0, π
2]，2α−π
4∈[−π4, 3π
4]，且sin (2α−π
4)=√2
3
<sin π
4
∴ 2α−π
4∈[0, π
4]，得cos (2α−π
4)=(√2
3)=√7
3
因此可得：
sin 2α=sin [(2α−π
4)+π
4]=
√2
2
[sin (2α−π
4)+cos (2α−π4)]=
2+√146
．
【考点】
平面向量数量积的运算
同角三角函数间的基本关系 求两角和与差的正弦
【解析】
（1）根据向量的数量积的坐标运算公式，结合二倍角三角公式和辅助角公式化简整理得f(x)=sin (2x −
π
4
)+12．再根据x ∈[0, π
2]，得到当x =0时，f(x)的最小值为f(0)=0； （2）由（1）的结论，得到sin (2α−π
4)=√2
3
，利用同角三角函数的平方关系结合2α−π
4取值范围，算出
cos (2α−π
4)=
√7
3
，最后利用配角和两角和的正弦公式，即可算出sin 2α的值．
【解答】
解：（1）∵ 向量a →
=(1, sin x)，b →
=(sin 2x, cos x)， ∴ f(x)=a →
⋅b →
=sin 2x +sin x cos x =1−cos 2x
2
+1
2
sin 2x =
√2
2
sin (2x −π4
)+1
2
∵ x ∈[0, π
2
]，∴ 2x −π
4
∈[−π4
, 3π
4
]
因此，当2x −π4=−π
4，即x =0时，f(x)取得最小值，最小值为f(0)=0； （2）由（1）得f(α)=
√2
2
sin (2α−π4
)+12
=56
，化简得sin (2α−π
4
)=
√23
∵ α∈[0, π
2]，2α−π
4∈[−π4, 3π
4]，且sin (2α−π
4)=√23
<sin π
4
∴ 2α−π
4
∈[0, π
4
]，得cos (2α−π
4
)=√1−(√23
)2=
√73
因此可得：
sin 2α=sin [(2α−π
4)+π
4]=√2
2
[sin (2α−π4)+cos (2α−π4)]=
2+√146
．
【答案】
解：（1）由题意可得：2a →
+b →
=(3,2y −3)，
由(2a →
+b →
)⋅b →
=0可得3−3(2y −3)=0，解得y =2．---------------- ∴ a →
=(1, 2)，由模长公式可得|a →
|=√5−−−−−−−−−−−−−−−
（2）由（1）知：a →
=(1, 2)，∴ ka →
+2b →
=(k +2,2k −6)，2a →
−4b →
=(−2,16)−−−−−−−−−−−− ∵ (ka →
+2b →
) // (2a →
−4b →
)，∴ 16(k +2)+2(2k −6)=0，解得k =−1−−−−−−−−−−− 【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系 向量的模
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
（1）由向量垂直的充要条件可得y 的值，进而由模长公式可得；
（2）由（1）可得式中向量的坐标，由向量平行的充要条件可得k 的值． 【解答】
解：（1）由题意可得：2a →
+b →
=(3,2y −3)，
由(2a →
+b →
)⋅b →
=0可得3−3(2y −3)=0，解得y =2．---------------- ∴ a →
=(1, 2)，由模长公式可得|a →
|=√5−−−−−−−−−−−−−−−
（2）由（1）知：a →=(1, 2)，∴ ka →
+2b →
=(k +2,2k −6)，2a →
−4b →
=(−2,16)−−−−−−−−−−−− ∵ (ka →
+2b →
) // (2a →
−4b →
)，∴ 16(k +2)+2(2k −6)=0，解得k =−1−−−−−−−−−−− 【答案】
解：(1)∵ A(3, 0)，B(0, 3)，C(cos α, sin α)； ∴ AC →=(cos α−3, sin α)； BC →
=(cos α, sin α−3)；
∴ AC →
⋅BC →
=cos 2α+sin 2α−3(sin α+cos α) =1−3(sin α+cos α)=1−3√2sin (α+π
4)=−1
∴ sin (α+π
4)=
√23
(2)∵ |OA →−OC →
|=|CA →
|=|AC →
| =√cos 2α+sin 2α−6cos α+9 =√10−6cos α=√13, ∴ cos α=−1
2.
又∵ α∈(0, π), ∴ α=
2π3，
则OB →
与OC →
的夹角为2π3
−π2
=π
6
．
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角 运用诱导公式化简求值 【解析】
(1)根据已知中A ，B ，C 三点的坐标，我们易求出向量AC →
，BC →
的坐标，根据AC →
⋅BC →
=−1，我们易得到一个三角方程，解方程即可得到sin (α+π
4)的值．
(2)根据向量减法的三角形法则，我们易将|OA →
−OC →
|=√13转化为|AC →
|=√13，结合(1)中结论，易构造出关于α的三角方程，解方程即可求解． 【解答】
解：(1)∵ A(3, 0)，B(0, 3)，C(cos α, sin α), ∴ AC →
=(cos α−3, sin α),
BC →
=(cos α, sin α−3),
∴ AC →
⋅BC →
=cos 2
α+sin 2
α−3(sin α+cos α)
=1−3(sin α+cos α)=1−3√2sin (α+π
4
)=−1,
∴ sin (α+π
4)=
√2
3
. (2)∵ |OA →
−OC →
|=|CA →
|=|AC →
| =√cos 2α+sin 2α−6cos α+9 =√10−6cos α=√13 ∴ cos α=−1
2 又∵ α∈(0, π) ∴ α=
2π3，
则OB →
与OC →
的夹角为2π
3−π
2=π
6． 【答案】
解：（1）f(x)=2a cos 2
x +√3a sin 2x −a =√3a sin 2x +a cos 2x =2a sin (2x +π
6)．
当2kπ−π2
≤2x +π6
≤2kπ+π
2
(k ∈Z)时，
即kπ−π3
≤x ≤kπ+π
6
(k ∈Z)时．
f(x)为增函数，即f(x)的增区间为[kπ−π3，kπ+π
6](k ∈Z) （2）f(x)=2a sin (2x +π
6)，当x ∈[0,π
2]时，2x +π
6∈[π6,
7π
6]．
若a >0，当2x +π6
=π2
时，f(x)最大值为2a =5，则a =52
． 若a <0，当2x +π
6=
7π6
时，f(x)的最大值为−a =5，则a =−5．
【考点】
三角函数的最值
平面向量数量积的运算 正弦函数的单调性
【解析】
（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出f(x)，然后利用两角和的正弦函数公式的逆运算把f(x)化为一
个角的正弦函数，根据正弦函数的单调区间(2kπ−π2
, 2kπ+π
2
)，求出x 的范围即为函数的增区间；
（2）根据x 的范围求出2x +π6的范围，讨论a 的正负利用2x +π
6的范围及正弦函数的图象可得f(x)的最大值，让最大值等于5列出关于a 的方程，求出a 的值即可． 【解答】
解：（1）f(x)=2a cos 2x +√3a sin 2x −a =√3a sin 2x +a cos 2x =2a sin (2x +π
6)．
当2kπ−π
2
≤2x +π
6
≤2kπ+π
2
(k ∈Z)时，
即kπ−π3≤x ≤kπ+π
6(k ∈Z)时．
f(x)为增函数，即f(x)的增区间为[kπ−π
3，kπ+π
6](k ∈Z) （2）f(x)=2a sin (2x +π
6)，当x ∈[0,π
2]时，2x +π
6∈[π6,
7π
6]．
若a >0，当2x +π6=π
2时，f(x)最大值为2a =5，则a =5
2． 若a <0，当2x +π
6=
7π6
时，f(x)的最大值为−a =5，则a =−5．。