2015-2016年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（下）期中数学
试卷（理科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若复数z=（b∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z是（）
A．i B．﹣i C．﹣i D．i
2．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）
A．（1，0）B．（2，8）
C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）
3．（5分）设n是自然数，f（n）=1+++…+，经计算可得，f（2）=，f
（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞．观察上述结果，可得出的一般结论是（）
A．f（2n）＞B．f（n2）≥
C．f（2n）≥D．
4．（5分）由曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积为（）
A．B．C．1D．
5．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n ∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）
A．2k+1B．2k+3C．2（2k+1）D．2（2k+3）6．（5分）函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）
A．（，e）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，+∞）
7．（5分）已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（）A．﹣20B．﹣10C．10D．20
8．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径
为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）
A．B．
C．D．
9．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）10．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，x∈R，则f（）、f（1）、f（）的大小关系（）
A．f（）＞f（1）＞f（）B．f（）＞f（1）＞f（）
C．f（1）＞f（）＞f（）D．f（）＞f（）＞f（1）11．（5分）设函数y=f n（x）在（0，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义
函数f K（x）=，取函数f（x）=，恒有f K（x）=f（x），则（）
A．K的最大值为B．K的最小值为
C．K的最大值为2D．K的最小值为2
12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F （2x﹣1）的实数x的取值范围是（）
A．（，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知复数z=，则|z|=．
14．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=．
15．（5分）定积分（2+）dx=．
16．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围．
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．（10分）（1）已知：a＞0，求证：﹣＞﹣
（2）设x，y都是正数，且x+y＞2，试用反证法证明：＜2和＜2中至少有一个成立．
18．（12分）已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．
19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）取得的极值﹣3（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x＞0，不等式f（x）+2m2﹣m≥0恒成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）当n∈N*时，，T n=+++…
+．
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．
21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2ax+2）e x．
（1）函数f（x）在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；
（2）当a＞0时，若曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．
2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（下）期
中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）若复数z=（b ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数z 是（ ）
A ．i
B ．﹣i
C ．﹣i
D ．i
【解答】解：复数z==
=
，
复数z=
（b ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，
2+b=0，2b ﹣1≠0，解得，b=﹣2． ∴z=﹣i ． 故选：C ．
2．（5分）曲线f （x ）=x 3+x ﹣2在p 0处的切线平行于直线y=4x ﹣1，则p 0的坐标为（ ） A ．（1，0）
B ．（2，8）
C ．（1，0）或（﹣1，﹣4）
D ．（2，8）或（﹣1，﹣4）
【解答】解：因为直线y=4x ﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x ﹣1， 所以函数在p 0处的切线斜率k=4，即f'（x ）=4． 因为函数的导数为f'（x ）=3x 2+1， 由f'（x ）=3x 2+1=4，解得x=1或﹣1．
当x=1时，f （1）=0，当x=﹣1时，f （﹣1）=﹣4． 所以p 0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）． 故选：C ．
3．（5分）设n 是自然数，f （n ）=1+++…+，经计算可得，f （2）=，f
（4）＞2，f （8）＞，f （16）＞3，f （32）＞．观察上述结果，可得出的一般结论是（ ）
A．f（2n）＞B．f（n2）≥
C．f（2n）≥D．
【解答】解：∵f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞．
∴f（22）＞，f（23）＞，f（24）＞，f（25）＞，
以此类推，可得f（2n）＞．（n＞1）
∵f（2）=
∴f（2n）≥．
故选：C．
4．（5分）由曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积为（）
A．B．C．1D．
【解答】解：由题意可知，
曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积===
．
故选：A．
5．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n ∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）
A．2k+1B．2k+3C．2（2k+1）D．2（2k+3）
【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…
（2k），
当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），
故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．
6．（5分）函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）
A．（，e）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【解答】解：f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故选：B．
7．（5分）已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（）A．﹣20B．﹣10C．10D．20
【解答】解：∵函数f（x）=2ln3x+8x，
∴f′（x）=+8，∴f′（1）=10．
∴=2=2f′（1）=20．
故选：D．
8．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径
为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）
A．B．
C．D．
【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R=
故选：C．
9．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取
值范围是（）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，故选：C．
10．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，x∈R，则f（）、f（1）、f（）的大小关系（）
A．f（）＞f（1）＞f（）B．f（）＞f（1）＞f（）
C．f（1）＞f（）＞f（）D．f（）＞f（）＞f（1）【解答】解：∵f（x）=sinx﹣x
∴f′（x）=cosx﹣1≤0，故函数f（x）在R是单调减函数，
又﹣＜1＜，
∴f（）＞f（1）＞f（）
故选：A．
11．（5分）设函数y=f n（x）在（0，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义
函数f K（x）=，取函数f（x）=，恒有f K（x）=f（x），则（）
A．K的最大值为B．K的最小值为
C．K的最大值为2D．K的最小值为2
【解答】解：∵函数f K（x）=，
∴等价为K≥f（x）max，
∵f（x）=，
∴f′（x）=，
设g（x）=，
则g（x）在（0，+∞）单调递减，且g（1）=0，
令f′（x）=0，即，
解出x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=．
故当k≥时，恒有f k（x）=f（x）
因此K的最小值为．
故选：B．
12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F （2x﹣1）的实数x的取值范围是（）
A．（，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，）【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），
所以：f（﹣x）=﹣f（x）
设f（x）的导函数为f′（x），
当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），
则：xf′（x）+f（x）＜0
即：[xf（x）]′＜0
所以：函数F（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数．
由于f（x）为奇函数，
令F（x）=xf（x），
则：F（x）为偶函数．
所以函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
则：满足F（3）＞F（2x﹣1）满足的条件是：|2x﹣1|＜3，
解得：﹣1＜x＜2．
所以x的范围是：（﹣1，2）
故选：C．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知复数z=，则|z|=．
【解答】解：由复数z=化简得z===﹣+ i，
∴|z|==．
故答案为．
14．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=﹣1．
【解答】解：∵f（x）=2xf′（1）+lnx，求导得：f′（x）=2f′（1）+，
令x=1，得到f′（1）=2f′（1）+1，解得：f′（1）=﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（5分）定积分（2+）dx=．
【解答】解：（2+）dx=+=+
=2+，
令y=，得x2+y2=1（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，
，表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，
故==，
∴（2+）dx=．
故答案为；．
16．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）
内存在极值，则实数a的取值范围．
【解答】解：f（x）=x2﹣lnx+1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=2x﹣•=；
∵函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，
∴f′（x）=2x﹣•=在区间（a﹣1，a+1）上有零点，
而f′（x）=2x﹣•=的零点为；
故∈（a﹣1，a+1）；
故a﹣1＜＜a+1；
解得，＜a＜；
又∵a﹣1≥0，
∴a≥1；
故答案为：．
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．（10分）（1）已知：a＞0，求证：﹣＞﹣
（2）设x，y都是正数，且x+y＞2，试用反证法证明：＜2和＜2中至少有一个成立．
【解答】（1）（分析法）要证原不等式成立，
只需证
即证
只要证（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3）
即证20＞18
∵上式显然成立，
∴原不等式成立．
（2）假设和都不成立，即，．
又∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x
两式相加得到2+（x+y）≥2（x+y），
∴x+y≤2．
与已知x+y＞2矛盾，
所以假设不成立，即和中至少有一个成立．
18．（12分）已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．
【解答】解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f'（x）=2x+2．∴可设f（x）=x2+2x+c．又∵方程f（x）=0有两个相等实根，
∴△=4﹣4c=0⇒c=1，
∴f（x）=x2+2x+1
（2）∵函数f（x）=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点（0，1），（﹣3，4），
∴两函数图象所围成的图形的面积为
=．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）取得的极值﹣3（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x＞0，不等式f（x）+2m2﹣m≥0恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由f′（x）=3ax2+2bx，…（1分）
当x=1时，f（x）的极值为﹣3，
∴，解得：，
∴f（x）=6x3﹣9x2…（4分）
∴f′（x）=18x2﹣18x，
由f′（x）＞0得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）…（7分）
（2）f（x）+2m2﹣m≥0对任意x＞0恒成立，
即f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，
即．…（9分）
由（1）知当x=1，f min（x）=f（1）=﹣3…（10分）
∴﹣3≥m﹣2m2，即2m2﹣c﹣3≥0，
∴m≤﹣1或…（12分）
20．（12分）当n∈N*时，，T n=+++…
+．
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵当n∈N*时，，T n=+
++…+．
∴S1=1﹣=，S2=1﹣+﹣=，T1==，T2=+=（2分）（Ⅱ）猜想：S n=T n（n∈N*），即：
1﹣+﹣+…+﹣=+++…+
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，S k=T k（k≥1，k∈N*），
即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（8分）
则：S k+1=S k+﹣=T k+﹣（10分）
=+++…++﹣（11分）
=++…+++（﹣）
=++…++=T k+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，S n=T n都成立．（14分）
21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2ax+2）e x．
（1）函数f（x）在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；
（2）当a＞0时，若曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=（x2﹣2ax+2）e x，
f（0）=2e0=2，2+b=0，得b=﹣2，
f′（x）=（x2﹣2ax+2+2x﹣2a）e x=[x2+（2﹣2a）x+2﹣2a]e x，
f′（0）=2﹣2a=﹣2，求得a=2，
∴a=2，b=﹣2．
（2）f′（x）=[x2+（2﹣2a）x+2﹣2a]e x，
令h（x）=f（x），依题知存在k使h（x）=k有三个不同的实数根，
h′（x）=（x2﹣2ax+2+2x﹣2a+2x﹣2a+4）e x=[x2+（4﹣2a）x+4﹣4a]e x，
令h′（x）=[x2+（4﹣2a）x+4﹣4a]e x=0，求得x1=﹣2，x2=2a﹣2，
由a＞0知x1＜x2，
则f′（x）在（﹣∞，﹣2），（2a﹣2，+∞）上单调递增，
在（﹣2，2a﹣2）上单调递减．
当x→﹣∞时，f'（x）→0，当x→+∞时，f'（x）→+∞，
∴f′（x）的极大值为f'（﹣2）=e﹣2（2a+2），
f′（x）的极小值为f'（2a﹣2）=e2a﹣2（2﹣2a），
所以此时e2a﹣2（2﹣2a）＜k＜e﹣2（2a+2）．
22．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．
（Ⅰ）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数在（0，+∞）单调递减，
∴在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，f′（x）＜0得x＜．f′（x）=0得x=．∴在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即在x=处有极小值．
∴当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（3分）
（Ⅱ）∵函数在x=处取得极值，∴a=1，
f（x）=x﹣1﹣lnx，
∵f（x）≥bx﹣2，移项得（1﹣b）x≥lnx﹣1，再将b分离得出，b≤，令g（x）=，
则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣，
所以b≤1﹣．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e 时，
有g（x）＞g（y），＞，整理得＞①
当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，
当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得。