自动控制原理考试复习题

《自动控制原理》复习题
一、选择题（每小题 2 分，共 10分。

请将答案填在下面的表格内） 【1题】典型二阶系统单位阶跃响应如图，则可以确定该系统：（A 、D 、E ）
A 、是0.707ξ<的欠阻尼系统
B 、开环增益2K =
C 、超调量%80%σ=
D 、调节时间2s t t =
E 、是0型系统
【2题】若系统（A 、D 、E ）
A 、开环稳定，闭环不一定稳定。

B ．开环稳定，闭环一定不稳定。

C ．开环不稳定，闭环一定不稳定。

D ．开环不稳定，闭环不一定不稳定。

E ．开环临界稳定，闭环不一定不稳定。

【3题】由以下条件，可以确定闭环系统的动态性能(,%s t σ)（A 、C 、D 、E ）
A ．闭环极点
B ．开环零极点
C ．闭环零极点
D ．开环零极点和开环增益
E ．闭环零极点及闭环增益
【4题】系统结构图如下，G(s)分别如下，∞→=0*
K ，应画
0根轨迹者为
（C 、D 、E ）
A 、
)3)(2()1(*
-+-s s s K B 、
)3)(2()1(*
---s s s K C 、
)
3)(2()1(*
-+-s s s K
D 、)
3)(2()1(*
s s s K +-- E 、)
3)(2()1(*
s s s K ---
【5题】)
1()1()(++=
Ts s s K s GH v
τ，在m
t
t r =)(时，0=ss e 的必要条件有：（A ，E ）
A 、m v >
B 、0>τ
C 、T >τ
D 、0>K
E 、2≤v
二、计算题（每题 15 分，共 15分） 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为
t
t
e e
t c --+-=221)(
试求系统的传递函数和脉冲响应。

解 单位阶跃输入时，有s
s R 1)(=
，依题意 s
s s s s s s
s C 1
)2)(1(2
31
1
2
21)(⋅+++=
++
+-= （5分）
∴ )
2)(1(23)
()()(+++=
=
s s s s R s C s G （5分）
[]t
t e e s s L s G L t k -----=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+++-==21142411
)()( （5分）
三、计算题（每题 15 分，共 15分） 已知系统脉冲响应 t
e t k 25.10125.0)(-=
试求系统闭环传递函数)(s Φ。

解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 （15分）
四、计算题（每题 15 分，共 15分） 已知系统结构图如图所示。

（1） 求引起闭环系统临界稳定的K 值和对应的振荡频率ω；
（2） 当2)(t t r =时，要使系统稳态误差5.0≤ss e ，试确定满足要求的K 值范围。

解 （1）由系统结构图
K
s s s s s s s s K s s s s R s E s e 2)2)(1()1()
2)(1(21)2(21)
()()(2
++++=
+++
+-==
Φ （4分）
K s s s s D 223)(2
3+++= （1分）
系统稳定时有 0)(=ωj D
令 [][]⎩⎨⎧=+-==+-=0
2)(Im 023)(Re 3
2ωωωωωj D K j D 联立解出 ⎩⎨⎧==23
ωK （3分） （2）当 2)(t t r = 时，3
2)(s
s R =
K
K
s s s s s s
s s s R s e s e s ss 12)2)(1()1(2lim )()(lim 2
3
=
++++⋅
⋅
=Φ⋅⋅=→→ （5分）
令 5
1≤=K e ss ，有 2≥K ，综合系统稳定性要求，得：32<≤K 。

（3分）
五、计算题（每题 15 分，共 15分） 设单位反馈系统的开环传递函数为
)
2()1()(+-=
*
s s s K s G
试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K *值。

解 由开环传递函数的表达式知需绘制
0根轨迹。

① 实轴上的根轨迹： [],0,2- ),1[∞+；
② 分离点： 1
12
11-=++d d d
（5分）
解得：732.01-=d , 732.22=d
将732.01-==d s , 732.22==d s 代入幅值条件得
54.01
=*d K
, 46.72
=*
d K
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
0)1()2()(=-++=*
s K s s s D
把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=*
*
)2())(Im(0
))(Re(2ωωωωK j D K j D （5分） 解得： ⎩⎨⎧==*0
0K ω ⎩⎨⎧=±=*241
.1K ω
根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。

系统产生重实根的*K 为0.54，7.46，产生纯虚根的*K 为2。

（5分）
六、计算题（每题 15 分，共 15分） 若单位反馈系统的开环传递函数
G s Ke
s s
().=
+-081
，试确定使系统稳定的K 的临界值。

解： G j K j e
j ().ωω
ω
=+-108
幅频特性为 G j K ()ωω
=
+12
（3分）
相频特性为 ϕωω
ωωω
().().=∠+∠+=-+---e
j tg
j 081
1108 （3分）
求幅相特性通过(-1,j0)点时的Ｋ值
即
(1) （3分）
ϕωωωωπ()().=∠=--=--G j tg 081
(2) （3分） 由(2)式 tg -=-1
08ωπω.
tg tg tg tg ()(.).-=-=-1
0808ωπωω ∴=-ωωtg 08. 代入(1)：
K tg 10812
+=[(.)]
ω
)8.0s e c ()]
8.0([12
ωω=+=
∴tg K
解出 : ωc K ==245265.,
. （3分）
七、计算题（每题 15 分，共 15分）
已知控制系统结构图如图所示。

当输入t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出
)45sin(4)(︒
-=t t c s 。

试确定系统的参数n ωξ,。

解： 系统闭环传递函数为
2
2
2
2)(n
n n
s s s ωξωω++=
Φ （4分）
令 22
44)()1(22
2
2
2
2==
+-=
Φn
n
n
j ω
ξωω
ω （4分）
︒-=--=Φ∠451
2arctan
)1(2n
n
j ω
ξω
（4分）
联立求解可得 244.1=n ω，22.0=ξ。

（3分）
一、选择题（每小题 2 分，共 10分。

请将答案填在下面的表格内）
【1题】：二阶系统的闭环增益加大（ D ）
A 、快速性能好
B 、超调量愈大
C 、p t 提前
D 、对动态特性无影响
【2题】：一阶系统的闭环极点越靠近s 平面的原点，其 （ B ）
A 、响应速度越慢
B 、响应速度越快
C 、准确度越高
D 、准确度越低
【3题】：典型欠阻尼二阶系统中再加入一个闭环零点，则 （ C ）
A 、对动态性能无影响
B 、 %σ↓
C 、 %σ↑
D 、 p t ↑
【4题】：稳态速度误差的正确含义为(,A v 均为常值) （C ）
A 、[]().1r t A t =下输出速度与输入速度间的稳态误差
B 、[]().1r t A t =下输出位置与输入位置间的稳态误差
C 、()r t Vt =下输出位置与输入位置间的稳态误差
D 、()r t Vt =下输出速度与输入速度间的稳态误差
【5题】：单位反馈开环传函为
2
2354
s s ++，则其开环增益,,n K ξω分别为：（ C ）
A 、54
2,,
63
B 、 25,36
C 、
1,,
212
D 、
15,26
二、计算题（每题 15 分，共 15分） 系统框图如下，求?)(/)(=s R s C
解：
][121122121G G G G G G G G -----=∆ （8分）
1111=-=∆
G P
1222==∆ G P
1))((3213=--=∆ G G P
14124==∆
G G P
2
12121212
1211
2212131231)
()(G G G G G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++-++-=
++-+++-=
∴ （7分）
三、计算题（每题 15 分，共 15分） 单位反馈系统的开环传递函数)
5(4)(+=s s s G ，求单位阶跃响应)(t h 和调节时间t s 。

解：依题，系统闭环传递函数
)
1)(1(4)4)(1(4
454
)(2
1
2T s T s s s s s s ++=
++=++=Φ ⎩⎨⎧==25.012
1T T （4分） 4
1
)
4)(1(4)()()(210++
++
=
++=
Φ=s C s C s
C s s s s R s s C （4分）
1)
4)(1(4lim
)()(lim 0
0=++=Φ=→→s s s R s s C s s
3
4)
4(4lim
)()()1(lim 0
1
1-
=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
3
1)
1(4lim
)()()4(lim 0
4
2=
+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
t
t
e
e
t h 43
13
41)(--+
-
= （4分）
42
1=T T ， ∴3.33.3111
==⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=T T T t t s
s （3分）
四、计算题（每题 15 分，共 15分） 系统结构图如图所示。

[1] 为确保系统稳定，如何取K 值？
[2] 为使系统特征根全部位于s 平面1-=s 的左侧，K 应取何值？ [3] 若22)(+=t t r 时，要求系统稳态误差25.0≤ss e ，K 应取何值？
解 )
5)(10(50)(++=
s s s K s G ⎩⎨
⎧=1
v K
（1） K s s s s D 505015)(23+++=
Routh ：
501515)15(505015
5010
1
2
3>→
<→-K K
s
K K s K
s
s
系统稳定范围： 150<<K （5分） （2）在)(s D 中做平移变换：1-'=s s
K s s s s D 50)1(50)1(15)1()(2
3
+-'+-'+-'='
)3650(231223
-+'+'+'=K s s s
Routh ：
72
.050
3636
5024.650312125031236
50122310
1
2
3=>
→
-'
=<→-'-'
'K K s K K
s K s s 满足要求的范围是： 24.672.0<<K （5分） （3）由静态误差系数法
当 22)(+=t t r 时，令 25.02≤=K
e ss
得 8≥K 。

综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 158<≤K （5分）
五、计算题（每题 15 分，共 15分）
已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

)
15.0)(12.0()(++=
s s s K
s G
解：
)
2)(5(10)
15.0)(12.0()(++=
++=
s s s K s s s K
s G （3分）
系统有三个开环极点：
01=p ,22-=p ,53-=p （1分）
① 实轴上的根轨迹： (]5,-∞-, []0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(3
73520k a a （2分）
③ 分离点： 02
15
11=++++d d d
解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。

（2分）
④ 与虚轴的交点：特征方程为 010107)(23=+++=k s s s s D 令 ⎩⎨⎧=+-==+-=0
10)](Im[0
107)](Re[3
2ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨
⎧==
7
10
k ω
与虚轴的交点（0，j 10±）。

根轨迹如图解4-3(a)所示。

（8分）
六、计算题（每题 15 分，共 15分） 若系统单位阶跃响应
)0(8.08.11)(94≥+-=--t e
e
t h t
t
试求系统频率特性。

解： s
s R s s s s s s s C 1)(,)
9)(4(369
8.04
8.11)(=
++=
++
+-= （5分）
则 )
9)(4(36
)()
()(++=
Φ=s s s s R s C （5分） 频率特性为 )
9)(4(36
)(++=
Φωωωj j j （5分）
七、计算题（每题 15 分，共 15分）
某最小相角系统的开环对数幅频特性如图所示。

要求 ⑴写出系统开环传递函数；
⑵利用相角裕度判断系统的稳定性；
⑶将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。

解（1）由题图可以写出系统开环传递函数如下：
)
120
)(
11
.0(
10)(++=
s s s s G （5分）
（2）系统的开环相频特性为 20
arctan
1
.0arctan
90)(ω
ω
ωϕ--︒-=
截止频率 1101.0=⨯=
c ω
相角裕度 ︒=+︒=85.2)(180c ωϕγ
故系统稳定。

（5分）
（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数
)
1200
)(
1(100)(++=
s s s s G
其截止频率 10101==c c ωω
而相角裕度 ︒=+︒=85.2)(18011c ωϕγγ= 故系统稳定性不变。

由时域指标估算公式可得
)1s i n 1(
4.016.0-+=γ
σ
o
o =o
o
1
σ
c
s K t ωπ
0=
11
01.010s c t K ==
ωπ
所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。

（5分）
第一题：单项选择题（共 10 分，每小题2分） 【1题】：欠阻尼二阶系统,n ξω两者都与（ C ）
A 、%σ有关
B 、%σ无关
C 、p t 有关
D 、p t 无关
【2题】：系统时间响应的瞬态分量（ C ）
A 、是某一瞬时的输出值
B 、反映系统的准确度
C 、反映系统的动特性
D 、只取决于闭环极点
【3题】：已知某系统的型别为v ，输入为()n
r t t =(n 为正整数)，则系统稳态误差为零
的条件是（ B ）
A 、v
n ≥
B 、v n >
C 、v n ≤
D 、v n <
【4题】：系统开环传递函数
a
s b s s GH -+=
2
)( （a>0, b>0）,闭环稳定条件是：（ B ） A 、a>b
B 、b>a
C 、a=b
D 、b>=a
【5题】：单位反馈系统，4
532)(2
++=
s s s G 则其n K ωξ,,分别是（ C ）
A 、3
4
,65,
2 B 、
2
2,65,32 C 、
2,6
5
,21 D 、2,2
125,
2
1
第二题： 计算题（共 15分） 已知系统传递函数
2
32)
()(2
++=
s s s R s C ，且初始条件为1)0(-=c ，0)0(=c ，试求
系统在输入)(1)(t t r =作用下的输出)(t c 。

解 系统的微分方程为
)(2)(2)(3
)(22
t r t c dt
t dc dt
t c d =++ 考虑
初始条件，对上式进行拉氏变换，得
s
s C s sC s s C s 2)(23)(3)(2
=
++++
（2） 2
2
1
41)
23(23)(2
2
++
+-
=
++-+-
=s s s
s s s s s s C
∴ t
t
e
e t c 2241)(--+-=
第三题：计算题（共 15 分）
试用梅逊增益公式求下图中系统的闭环传递函数。

解
图中有4条前向通路，5个回路
，
，，，1242321211G G P G P G G P G P ===-= ，，，，，2151242321211G G L G G L G L G G L G L -=-=-=-== ，
，)(1143214321L L L L +++-=∆=∆=∆=∆=∆ 则有 ∆
∆+∆+∆+∆=4
4332211)
()(P P P P s R s C
2
12121212
11222111
222113121G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G ++-+-=
++++-+++-=
第四题： 计算题（共 15 分）
系统结构图如图所示。

已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间1=p t s 。

（1） 求系统的开环传递函数)(s G ； （2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ；
（3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系统参数K 及τ； （4） 计算等速输入s t t r )(5.1)(︒=时系统的稳态误差。

解 （1） )
110(10)
1(101)1(10
)(++=
++
+=ττs s K s s s s s K
s G
（2） 2
2
2
2
210)110(10)
(1)()(n
n n
s s K
s s K
s G s G s ωξωωτ++=
+++=
+=Φ
（3）由
⎪
⎩
⎪
⎨⎧=-===--113.16212ξωπσςξπn p
o
o
o o t e 联立解出 ⎪⎩
⎪⎨⎧===263.063.35
.0τω
ξn
由（2） 18.1363.31022===n K ω，得出 318.1=K 。

（4）
63.31
263.01018.131
1010)(lim 0
=+⨯=
+=
=→τK s sG K s v
413.063
.35.1==
=
v
ss K A e
第五题：计算题（共 15 分）
控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹。

解 系统开环传递函数为
3
)
2()1()(++=
*
s s K s G
此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。

① 实轴上的根轨迹：[]2,-∞-,[]+∞-,1 B 、 分离点： 1
12
3+=
+d d
解得 5.0-=d
C 、 起始角：根据相角条件，
∑∑===-
n
j j
m
i i
k 1
1
2πθ
ϕ
得 601=p θ， 602-=p θ，
1803=p θ。

根轨迹如图所示
根轨迹图
第六题：计算题（共 15 分）
已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：
)
1)(1()(++=
s Ts s K s G ； )0,(>T K
（1）2=T 时，K 值的范围； （2）10=K 时，T 值的范围； （3）T K ,值的范围。

解 [
])()()
1)(1()
1()1()
1)(1()(2
222
ωωωωωωωωωωωY X T T j T K jT j j K
j G +=
++-++-=
++=
令 0)(=ωY ，解出T
1=
ω，代入)(ωX 表达式并令其绝对值小于1
11)1(
<+=
T
KT
T
X
得出： T
T K +<
<10 或 1
10-<
<K T
（1）2=T 时，2
30<<K ；
（2）10=K 时，9
10<
<T ；
（3）T K ,值的范围如图中阴影部分所示。

第七题：计算题（共 15 分）
对于典型二阶系统，已知参数3=n ω，7.0=ξ，试确定截止频率c ω和相角裕度γ。

解 依题意，可设系统的开环传递函数为 )
12
.4(
143.2)
37.02(3
)
2()(2
2
+=⨯⨯+=
+=
s s s s s s s G n n
ξωω
绘制开环对数幅频特性曲线)(ωL 如图所示，得
143.2=c ω
︒=+︒=63)(180c ωϕγ
第一题：（20分） 简化系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 和 C(s)/N(s)。

解： ⑴求C (s )/R (s ) (10分)
1242342434
1124122413341412232434
1111
()()()
1L G G L G G G G G G P G G G P G G P G G G G G G G C s R s G G G G =-=-∆=++=∆==∆==∆=++=
++
⑵求C (s )/N (s ) (10分)
124234
2434
1414
2434
11()()
1L G G L G G G G G G P G G C s N s G G G G =-=-∆=++=∆==
++
第二题：（20分） 已知二阶系统的单位阶跃响应为
)1.526.1sin(5.1210)(0
2.1+-=-t e
t h t
求系统的超调量%σ ，峰值时间p t ，调节时间s t 。

解：
1.2()10[1 1.25sin(165
2.1)]t
h t e
t -=-+
由标准二阶响应：()1sin()n t
n h t ζωωβ-=-+
对照参数有
1.2
1.250.6,21.6n n ζωζωω⎫
=⎪⎪⎪
=⇒
=
=
⎬⎪
⎪=⎪⎭
(10分)
计算性能指标： （10分） 超调量：
0.61.25
%1009.5%
e
πσ-⨯=⨯= 峰值时间： 1.96s e c
1.6
p t π
=
= 调节时间： 3.72.92s e c
0.62
s t ==⨯
第三题：（10分） 已知系统闭环特征方程为
2583)(2
34++++=s s s s s D
试用劳斯判据判定系统的稳定性。

如果不稳定，确定在S 右半平面上的特征根个数。

解： 劳思阵列 （5分）
43210
352
813716
8116
s s s s s
-
根据劳思判据，系统是不稳定的，在S 右半平面有2个闭环特征根。

（5分）
第四题：（20分） 已知系统开环传递函数为
)
204)(4()()(2
+++=
s s s s K
s H s G
概略绘制闭环系统的根轨迹。

解：
⑴开环零极点 1234
0,
4,
24,
24p p p j p j ==-=-+=-- （
5分） ⑵绘制根轨迹草图 （5分）
⑶计算分离点 （5分）
3
2
2
12,311110
4
24
24
618200(2)(210)022d
d d j d j d d d d d d d d +
+
+
=++++-+++=+++==-=-±
⑷计算根轨迹与虚轴交点 （5分）
2
4
3
2
(4)(420)0
836800
s s s s K
s s s s K **
++++=++++=
用s j ω=代入得
423
3608800
K ωωωωω*
⎫-+=⎪
⇒
=⎬
-+=⎪⎭
根轨迹与虚轴交点(0,(0,
-
第五题：（10分）已知系统开环传递函数 1
)(-=
Ts K s G ，系统的开环幅相曲线为下图
试根据Nyquist 稳定判据判定系统的闭环稳定性，并指出在S 右半平面上的闭环极点数。

解：
非最小相位环节数： P = 1 正半穿越次数： N + = 1/2
由奈氏判据得： Z = P – 2（N + + N -）= 0 故系统是稳定的，在S 右半平面无闭环极点。

第六题：（20分） 已知最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如下图，是确定系统的开环传递函数和相角裕度。

解：
⑴求开环传递函数 （10分）
2120lg 40100
1001()()11100
K dB K s G s H s s s ωω==⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭=
⎛⎫⎛⎫++ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⑵求相角裕度 （10分）
2
1
180100
c c c
arctg
arctg
arctg
ωωωγωω=+--
第一题（20分）：求出系统的传递函数()/()C s R s 和()/()N s R s 。

解：
⑴求C (s )/R (s ) (10分) 1121212
121112112
1211(1)
1
()()
1(1)
L G G H L G G G G H P G G G G C s R s G G H =-=-∆=++=∆==
++
⑵求C (s )/N (s ) (10分)
112121212111121
223
2121231211(1)
111
1()()1(1)
L G G H L G G G G H P G G H P G G G G H G G C s N s G G H =-=-∆=++=∆=+=-∆=+-=-
++
第二题（10分）：已知系统的单位脉冲响应 ()510sin(445)g t t t =++
试求系统闭环传递函数()s Φ。

解：闭环传递函数
1222223
2
4
2
()[510sin(445)]
5
444(580
16s t t s s s s s s s
-Φ=++⎤
=
++⎥++⎦
+++=
+
5432
3122432480s s s s s +++++=
试用劳思判据判定系统在S 右半平面上的特征根数和虚根值。

解：劳思阵列 （10分）
54322
10
1123232448
416124812480240
2400
48
s s s s s s s s
+=+=
根据劳思判据，系统是稳定的，在S 右半平面没有闭环特征根。

（10分） 由辅助方程，1,22s j =± 为虚轴上的闭环特征根。

第四题（20分）：已知系统的开环传递函数
*
(2)()(1)
K s G s s s +=
+
绘制控制系统的闭环根轨迹草图。

解：
⑴开环零极点 （5分）
1210,
1,2p p z ==-=-
⑵绘制根轨迹草图 （5分）
⑶计算分离点 （10分）
1,21111
2
2d d d d +
=
++=-±
561234(1)(1)
()(1)(1)(1)(1)0,
0,
(1,2,3,4,5,6)
i K T s T s G s s T s T s T s T s K T i ++=++++>>= 开环幅相特性曲线如图，试根据奈氏判据判定系统的闭环稳定性，若系统闭环不稳定，确定其S 右半平面的闭环极点数。

解：
最小相位环节数： P = 0
正半穿越次数： N + = 1，N - = 1，
由奈氏判据得： Z = P – 2（N + + N -）= 0 故系统是稳定的，在S 右半平面无闭环极点。

第六题（20分）：最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图，试确定系统的开环传递函数G (s )。

解：
⑴求开环传递函数 （10分）
()()
2
12
220lg
0100
10
100/1()()/1K dB K s G s H s s
s ωω==+=
+
⑵求相角裕度 （10分）
1
2
1
2
180180c c c c arctg
arctg
arctg
arctg
ωωωωγωωωω=+--=-。