2023-2024学年北京市丰台区七年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市丰台区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的绝对值是.()
A. B. C.3 D.
2.我国坚持山水林田湖草沙系统性治理，加强生态系统保护修复，推进大规模国土绿化行动，十年来，全国累计完成造林亿亩，人工林面积稳居世界第一．将亿用科学记数法表示为
.()
A. B. C. D.
3.鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.下图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是.()
A. B. C. D.
4.下列方程中，是一元一次方程的是.()
A. B. C. D.
5.实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是.()
A. B. C. D.
6.关于x的一元一次方程的解为，则m的值为()
A.10
B.4
C.2
D.
7.下列计算正确的是.()
A. B. C. D.
8.如图，点O在直线AB上，OD平分，，那么下列说法不一定正确的是.()
A.与互补
B.与互余
C.与互余
D.与相等
9.如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为.()
A. B. C. D.
10.幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为()
A.5
B.7
C.9
D.12
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

11.计算：__________.
12.如图，用量角器度量，可以读出的度数为__________.
13.已知，则__________.
14.如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是，②号路线是小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是__________.
15.如图，在港口O处观测到轮船A沿着北偏西的方向航行，同时轮船B沿着南偏东的方向航行，那么两艘轮船航线的夹角的度数为__________.
16.对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购
买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“2a”赋予一个实际意义：__________.
17.2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动.活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”.下表记录了9个赛段的部分“里程波动值”
赛段123456789
里程波动值1026？？13
第7个赛段的实际路程为__________米；
如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为__________米.
18.如图，数轴上点表示的数为，点不与重合，分别到1对应的点的距离相等，点不
与重合，分别到2对应的点的距离相等，点不与重合，分别到3对应的点的距离相等，……
按此规律，点表示的数为__________，点表示的数为__________.
三、计算题：本大题共3小题，共30分。

19.计算：
20.计算：
21.解方程：
四、解答题：本题共6小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

22.本小题10分
先化简，再求值：，其中，
23.本小题10分
下面是小超解方程的过程．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
按要求完成下面的问题：
上述解方程第一步变形的依据是________；
小超从第______步开始出现错误，请你完整写出正确的解答过程．
24.本小题10分
如图，线段a和射线
用圆规在射线AP上截取保留作图痕迹；
点C为线段AB的中点，点D在直线AB上，且，请你补全图形，并直接写出CD的长用含a
的式子表示
25.本小题10分
列方程解应用题：
每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如下表所示：
数量20本及以下20本以上
价格每本4元超过20本的部分打8折
邮费一次5元一次14元
如果王老师分两次购买奖品每次购买数量不超过20本与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？
26.本小题10分
已知，作射线OC，，射线OD，OE分别是，的平分线．当射线OC在的内部时，
①如图1，若，则的度数为_______；
②如图2，若，补全图形，并求的度数用含的式子表示
下面是小东的解答过程，请你补充完整．
解：因为OD是的平分线，且，
所以__________填写推理依据
因为OE是的平分线，且，
所以________.
所以_________.
当射线OC在的外部时，的度数为________.
27.本小题10分
数轴上有四个点P，Q，M，N，我们规定：点P与点Q之间的距离记为d，点P与点M或点N中某一个点
的距离记为，点Q与点M或点N中另一个点的距离记为，若满足，则称P和Q是M，N 的“伴随点对”．
例如：点P，Q，M，N分别表示的数为8，9，4，
此时，，，，，，其中存在，满足，则称P和Q是M，N的“伴随点对”.
在数轴上点
A，B分别表示的数为，
若点和分别表示的数为10和1，点和分别表示的数为3和，点和分别表示的数为和，则在①和，②和，③和中，是A，B的“伴随点对”的是_____填序号即可
；
若点C表示的数为1，点D表示的数为m，且C和D是A，B的“伴随点对”，直接写出m的取值范围；
若点C从点A出发以每秒4个单位长度向右运动，同时点D从点B出发以每秒1个单位长度向左运动，当点D到达点A时，点C和点D同时停止运动.设点D的运动时间为t秒.当C和D是A，B的“作随点对”时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
利用绝对值的定义求解即可．
【解答】
解：的绝对值是
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：
3.【答案】C
【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】它的主视图是：.
故选
【点睛】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握只有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．
根据一元一次方程的定义对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A中，最高次数为2，不是一元一次方程，故不符合要求；
B中，有2个未知数，不是一元一次方程，故不符合要求；
C中，当时，不是一元一次方程，故不符合要求；
D中，是一元一次方程，故符合要求；
故选：
5.【答案】B
【解析】【分析】根据比较a、b在数轴上的位置进行解答即可．
【详解】解：如图所示.
A、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误.
故选：
6.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的计算法则求解即可．
【详解】解：，所以选项A计算错误，不符合题意．
，不能合并，所以选项B计算错误，不符合题意．
，不能合并，所以选项C计算错误，不符合题意．
，计算正确，故选项D符合题意．
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查角的和差，角平分线的定义，余角和补角等知识.
根据角平分线定义，可得；由，可得，从而得到由
平角的定义及角的和差关系可得，通过等量代换可得，根据，不一定等于，逐一判断，即可得到答案．本题考查了角分线的定义，同等角的余补角相等的知识点，解题的关键是结合图形进行分析．
【解答】
解：平分，
又，
，
故B、C正确，不符合题意．
，
，
故D正确，不符合题意．
，不一定等于，
不一定等于，
故A不一定正确，符合题意，
故选：
9.【答案】D
【解析】【分析】本题考查图形周长的计算，正确表示Ⅰ，Ⅱ的长和宽是求解本题的关键．
【详解】由题意，得空白长方形较长边等于长方形Ⅱ的较长边，其长度，每块空白长方形较短的边长为
阴影Ⅰ的长为，宽为
阴影Ⅰ的周长
阴影Ⅱ的长为，宽为
阴影Ⅱ的周长，
阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为：
故选：
10.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由第三行和第三列上的数字和相等，可得出左下角的数字为，由第二行和每条斜对角线上的数字和都相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：第三行和第三列上的数字和相等，
左下角的数字为，如图所示，
根据题意得：，
解得：
故选：
11.【答案】
【解析】
12.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了角的度量，角度的和差关系，根据的度数为，即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：
13.【答案】2
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
将原式去括号并整理后代入数值计算即可．
【详解】解：已知，
原式
故答案为：
14.【答案】两点之间，线段最短
【解析】【分析】本题考查了线段的性质，属于基础题，注意两点之间，线段最短这一知识点的灵活运用．【详解】解：小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查方向角和角的计算，根据题意找出图中对应角的度数，即可解题．
【详解】解：记正西方为OD，正南方为OC，如图所示：
在港口O处观测到轮船A沿着北偏西的方向航行，
，
轮船B沿着南偏东的方向航行，
，
故答案为：
16.【答案】答案不唯一，如：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是2a元
【解析】【分析】本题考查代数式，解题的关键是理解题意．
【详解】解：答案不唯一，如：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是2a元．
故答案为：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是2a元答案不唯一
17.【答案】270
318
【解析】【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
先求得5，6两个赛段的里程波动值之和，然后设第5个赛段的“里程波动值”为x米，列得方程求得x 的值后列式计算即可．
【详解】解：米，
即第7个赛段的实际路程为270米，
故答案为：270；
米，
即5，6两个赛段的里程波动值之和为30米，
设第5个赛段的“里程波动值”为x米，
则，
解得：，
那么米，
即第6个赛段实际路程为318米，
故答案为：
18.【答案】8
2022
【解析】【分析】本题考查数字变化的规律，能依次求出点为正整数所表示的数并发现规律是解题的关键．
【详解】解：因为数轴上点表示的数为，且不与重合，分别到1对应的点的距离相等，
所以，即点表示的数为4；
依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示
的数为，
所以点为正整数表示的数为：，点表示的数为
当时，，即点表示的数为8；
当时，
，即点表示的数为
故答案为：
8，
19.【答案】解：
【解析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则即可解题．
20.【答案】解：原式
【解析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．先算乘方，再算括号，后算乘法，最后算加法．
21.【答案】解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
将
x的系数化为1，得
【解析】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法并计算正确的是解题关键．
22.【答案】解：原式
，
，，
原式
【解析】此题主要考查了整式的加减运算和代入求值，熟练掌握去括号法则，合并同类项法则是解答此题的关键．首先去括号，然后合并同类项，再把，代入求值即可．
23.【答案】解：等式的性质2；
第三步去掉分母后分子没加括号，则从第三步开始出现错误，
故答案为：三．
【解析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据等式的性质解答即可；
根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
24.【答案】解：线段AB为所求．
补全图形如下：
点C为线段AB的中点，
，
，
当点D在A的左边时，，
当点D在A的右边时，，
的长为或
【解析】本题考查线段作图，以A为圆心，以线段a为半径画弧，与射线AP交于一点，再以这一点为圆心，以线段a为半径画弧，再重复操作一次，所得线段即为所求．
本题考查线段作图和线段的和差，根据点D在直线AB上，分类讨论点D在A的左边和右边，再结合题干的条件求解即可．
25.【答案】解：设王老师购买奖品数量为x本．
解得
答：王老师购买奖品数量为25本．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据两次购买的费用与一次性购买的费用相等列方程求解即可．
26.【答案】解：①；
②补全图形如图所示：下图画出其一即可．
小东的解答过程补充如下．
因为OD是的平分线，且，
所以角的平分线定义填写推理依据
因为
OE是的平分线，且，
所以
所以
或
【解析】该题主要考查了角的计算以及角平分线定义，解题的关键是画出图象；
①根据OD，OE分别是，的平分线得出
再结合，，
即可求解；
②根据题意画图即可；根据OD是的平分线，且，得出，
再根据OE是的平分线，且，得出，即可求解；
分为当、在OB同侧时，当、在OB两侧时，分别画图求解；
解：①，OE分别是，的平分线，
，，
若
则
；
②见答案.
当射线OC在的外部时，分两种情况讨论：
当、在OB同侧时，如图.
当、在OB两侧时，如图，
综上，的度数为或
27.【答案】①③；
.
或
【解析】该题主要考查了数轴上的动点问题以及两点之间距离公式，解题的关键是分类讨论；
根据题意，分别计算的值，确定是否满足即可判断；
根据题意，分别表示，根据C和D是A，B的“作随点对”，分为
和分别计算即可确定范围；
由题意，得，，分别表示出，，，根据C和D是A，B的“作随点对”，分四种情况分别计算即可；
解：
①点A，B分别表示的数为，4，点和分别表示的数为10和1，
是的“伴随点对”；
②点A，B分别表示的数为，4，点和分别表示的数为3和，
不满足，
不是的“伴随点对”；
③点A，B分别表示的数为，4，点和分别表示的数为和，
是的“伴随点对”；
故答案为：①③；
根据题意：，
当C和D是A，B的“作随点对”时，
①
，
解得：；
②
，
解得：，
综上，.
由题意得：，，
，，，
当，即时，C、D两点重合，不符合题意，当，即时，C、B两点重合，不符合题意，
当，即时，A、D两点重合，不符合题意；
当C和D是A，B的“作随点对”时，
①，解得：舍去；
②，解得：或；
③，无解；
④，解得：舍去或舍去；
综上，或。