大学数学微积分第15讲《导数概念》课件

l 0
l
t 0
t
2. 数学背景 — 平面曲线的切线问题 平面曲线上切线的概念
曲线 L 在点 P 处点切线为
Q
点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时
•
割线 PQ 的极限位置 PT
•
• •
L
切点 P
•
•
T
•
切线PT
定义 平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上 点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+x, y0+ y) 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
可近似表示为： y f (x0)x
(2) f (x0 x) f (x0) f (x0)x ( x0 x U( x0 ) ) ; f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) ( x U(x0 ) )
例7 设 y x2, 则 y (x2) 2x .
于是 y yx o(x) 2xx o(x)
第四章 一元函数的导数与微分
第一节 导数的概念
一.导数产生的背景 二.导数的概念 三.导数存在的必要条件 四. 函数的增量与导数的关系
一.导数产生的背景
1. 物理背景 2. 几何背景
1.物理背景
例1 非匀速运动物体的速度问题
在真空中, 当时间由t 变到t+t 时, 自由
落体所经过的路程为
S(t t) S(t) 1 g(t t)2 1 gt2 1 g(2tt t2)
y yx 2xx
函数在点 x0 I 处的导数: f (x0 ) f (x) xx0
先求导、后代值.
4.导数的几何意义
函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ( x0) 就是对应的平面 曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k :
k tan f (x0)
此时, 切线方程为: y y0 f (x0 )(x x0 )
不存在,
故 n =1 时, 函数在 x = 0 处不可导.
当 n &g
xn
sin
1 x
lim xn1 sin 1
0
x0 x x0
x
x0
x
故 n >1时, 函数在 x = 0 处可导. 其导数为 y x0 0 .
a + bx, x≤0
例6
设 y=
在 x = 0 可导,
e – x, x > 0
lim
xx0
f (x)
lim [
x x0
f
(
x0
)
f (x0 )(x x0 ) (x x0 ) ]
f (x0 )
就是说 , 函数 f (x) 在点 x0 处连续 .
定理
函数 f (x) 在点 x0可导的 必要条件是它在点 x0 连续.
只是必要条件！
例4 y = | x | 在点 x = 0 连续, 但不可导.
f (x0) = 0 y
y=c
O
x0
x
y f (x0)不存在
f (x0) = y
O x0
x
y
f (x0)不存在
O
x0
x
O
x0
x
曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、 垂直于 x 轴、或不存在, 所反映出的导数值是：
切线平行于x 轴： f (x0 ) 0 切线垂直于x 轴： f (x0 ) （曲线为连续曲线） 在点 x0 处无切线： f (x0) 不存在.
解
f (0)
lim
x0
|
0
x | x
|
0
|
y y=|x|
| x |
lim
1
x0＋ x
O
x
f(0)
lim
x0
|
0
x | x
|
0
|
lim
x0
|
x x
|
1
故 f (0) 不存在.
但
lim |
x0
x|0
y x0
,
故
y
|
x | 在点 x
0 处连续.
例5
讨论
y
xn
sin
1 x
,
x0 (n Z )
0 ,
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) f 2x
(x0
x)
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
kx) kx
f
(x0 )
k 0为常数.
2.左、右导数
定义
设函数 f (x) 在 [x0 , x0+ ) 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim
x0
2
22
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
V (t) S(t t) S(t) 1 g(2t t t 2 )
(t t) t 2
t
gt 1 g t 2
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是 令 t0 的极限过程：
Vt
lim V
t 0
(t)
lim
t 0
S (t
t) t
f(x0 ) a
定理
f (x0 ) a f(x0 ) f(x0 ) a
好像见过面啊！
3. 导函数
定义 若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在
(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之
例3 求曲线 y = x2上任意一点处切线的斜率, 并求 在点 (1, 1) 处的切线方程.
解 在任意一点 x 处, 有
k lim y lim (x x )2 x2
x x0
x0
x
lim (2x x) 2x x0
在点(1, 1) 处 k0 k x1 2x x1 2
故所求切线方程为： y –1= 2(x –1) , 即 y = 2x –1.
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
求 a, b 之值.
解 f (x) 在 x = 0 处可导,
f (x) 在 x = 0 处连续, f (0) = a .
又 lim f (x) lim ex 1, 故 a 1.
x0
x0
从而
1 + bx, x≤0 f (x) =
e – x, x > 0
f (0) = 1
由可导性：
lim
f (0 x) f (0)
f (x0 x) x
f (x0 ) a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为
f (x0 ) a.
定义
设函数 f (x) 在 (x0 – , x0] 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为
切线方程: y y0 k(x x0 ) , 其中,
k tan
lim tan x0
lim y . x0 x
y y f (x)
O
A T
y AB
x
x
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
x0
在点 x = 0 处的连续性和可导性.
解 | sin 1 | 1 , x
lim xn sin 1 0 (n Z )
x0
x
又 y x0 0
当 nN 时, 函数在在点 x = 0 处连续.
当 n =1 时,
lim y lim
x sin 1 x
lim sin
1
x0 x x0 x
x0 x
O
P P
l
l
给 l 一个增量 l, 则 l 这一段 ( PP' ) 的平均密度是
m f (l l) f (l)
l
l
而在 P 点处的线密度就是 l 0 平均密度的极限：
lim lim m lim f (l l) f (l)
l 0
l l0
l 0
l
比较两个极限式：
lim f (l l) f (l) 与 lim S(t t) S(t).
证
由
y x
f (x0 ) ,
得
f
(
x0
)
lim
x0
y x
,
0 (x 0 时)
故 y f (x0 )x x f (x0 )x o(x)
推论 若函数 f (x) 在点 x0 处有(有限)导数 f (x0),
则函数 f (x) 在点 x0 处有 (1) 函数 f (x) 在该点的增量 y = f (x0+ x) f (x0)
S (t )
1
lim (gt g t) gt
t 0
2
从物理学看, 当t0 时, 应该有
S(t t) S(t) 0 .
这是否也说明了一个什么问题?
例2 力学中的线密度问题 设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.
直线的一端为原点 , 线段 OP 的长度为 l, 质量为 m,
则 m 是 l 的函数：m = f (l ). 求点 P 处的线密度 .
三.导数存在的必要条件
设 f (x) 在点 x0 可导, 即有
f (x0 )
lim y x0 x
lim
x x0
f
(x) x
f (x0 ) x0
于是
f
(x) f (x0 ) x x0
f (x0 ) ,
0 (x x0 )
故 f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) (x x0 )
lim
ex 1
lim
x 1
x0
x
x0 x
x0 x
lim f (0 x) f (0) lim (1 bx) 1 b
x0
x
x0
x
故 b = –1, 此时函数为
1 x , x ≤ 0 f (x) =
e – x, x > 0
a 1, b 1.
四. 函数的增量与导数的关系
定理 若函数 f (x) 在点 x0 处有 ( 有限 ) 导数 f (x0), 则函数 f (x) 在该点的增量 y = f (x0+ x) f (x0) , 可表示为 y = f ' (x0) x + o(x) .
为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
f
( x)
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x x) x
f
(x)
定义
若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 f(a) , f(b) 存在,
则称 f (x )在 [a, b] 上可导, f (x) 称为 f (x) 在 [a, b] 上 的导函数, 简称为导数.
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 求 x 0 的极限：
lim y lim f (x0 x) f (x0 ).
x0 x x0
x
二.导数的概念
1. 导数的定义
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十五讲 导数的概念
第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
d
f (x0 ) dx
a， d y dx
x x0
a.
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
f
'(x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) ; x x0