一类三平移3-RRC并联机构的运动学

第4期2021年4月
机械设计与制造
M achinery Design&M anufacture277
一类三平移3-R R C并联机构的运动学
罗建国、邱杰清2,赵韵秋2
(1.华北科技学院机电工程学院，北京101601 ;2.华北科技学院研究生院，北京101601)
摘要:介绍了一类具有三平移的3-R R C并联机构，并对该机构的自由度、位置正逆解、工作空间、奇异位形进行分析计 算;利用基于螺旋理论(反螺旋)的自由度分析原理结合动平台约束分布给出了机构在任一位形下的自由度，并获得了运 动奇异产生的几何条件;给出了位置分析的逆解析解，导出了位置正解的公式，并给出具体求解步骤;利用有逆解的充分 必要条件推导出了工作空间；对主动件锁住后形成的新机构进行自由度分析从而得到约束奇异产生的几何条件。

关键词:并联机构；自由度;位置分析;工作空间;奇异位形
中图分类号:T H16; T H112文献标识码:A文章编号：1001 -3997 (2021 )04-0277-05
Kinematics of a Class of 3-DOF Translational 3-RRC Parallel Mechanisms
LUO Jian-guo1, QIU Jie-qing2, ZHAO Yun-qiu2
(1.N o r t h China I n s t i t u t e o f S c i e n c e and Techno logy,Me ch an ic al&E l e c t r i c a l Sc ho ol,B e i j i n g 101601, China;
2.N o r t h China I n s t i t u t e o f S c i e n c e an d Technology,G r ad ua te Sc ho ol,B e i j i n g 101601, China)
AbstrsiC t：Introduced a class〇/*3-DOF translational parallel mechanism3-R R C,kinematics for3-RRC is analysed including D O F,position,singularity,and workspace.According to the mobility principel based on reciprocal screw proposed cuid, constrained distribution of mobile platform y DOF of the mechanism in any configuration is obtained,and obtained geometric conditions that produce kinematic singularity.The closed-formed analytic solutions are developed for inverse kinematics.The forward kinematic formulas were derived by establishing the relationship between the input variables and output variables, and give specific solution steps.The workspace is derived by the necessary and sufficient conditions for the existence of inverse solutions.By analyzing DOF of the new mechanism f ormed by the locking of the driving link,the geometric conditions o f c onstraint singularity are obtained.
Key Words-.Parallel Mechanisms；Degree of Freedom；Position Analysis；Workspace；Singular Configuration
l引言
并联机构具有刚度较大、结构稳定、误差小、精度高、易于实现 高速运动、结构简单等优点，使其在某些领域得到广泛的应用m。

三 平移并联机构是仅有一个位姿的特殊并联机构，广泛应用于精密 加工、医学、微电子、精密测量等精密工程等领域。

许多学者对三 平移并联机构进行过研究，并提出了很多不同类型的三平移并联 机构3-R R C并联机构是一种结构简单的并联机构，在一定结 构下可实现三维平移。

文献|615P t—种各支链3运动副轴线平行且 对称的3-R R C进行了速度和加速度分析，文献pi分别对一种各 支链3运动副轴线平行且3支链相互位置一定的3-R R C进行了 位置分析、特殊位形分析、工作空间分析。

对一类各支链3运动副轴线平行的3-R R C并联机构进行了自由度分析、正逆解求解、工作空间求解、奇异位形分析，并给 出了简洁又快速的计算分析方法。

2结构及坐标系建立
3-R R C并联机器人，如图1所示。

它由三条结构相同的分支 及动(上)平台和静(下)平台组成,各支链3运动副轴线平行，并 且各支链的第一个转动副和圆柱副分别固定在静平台和动平台上。

在静平台和动平台内心处固联固定坐标系0-X V X动坐标系 如图1所示。

使F轴与转动副丄的轴线垂直，y轴与圆柱 副C,的轴线垂直，Z轴与z轴垂直于静平台竖直向上4轴与* 轴由右手迪卡尔坐标系确定方向。

设我为4 A绕转动副/!,的轴 线逆时针旋转至与o^y平面平行的转角，为3,〇,绕转动副玟 的轴线逆时针旋转至与o x y平面平行转角与（M,的 夹角分别为S2、S3,转动副山和B,轴线之间的距离为供，转动副昃和C,轴线之间的距离为/»,，动平台内接圆半径为r,静平台内接圆半径为/?，其中6>,、<^由机构的位形决定，〇>.、6,^、/?点、33由机构 的结构确定,(i=l、2、3)下同。

来稿日期:2021-06-05
基金项目：中央高校基本科研业务费(3142019047)
作者简介:罗建国,（1977-)，男，湖南省益阳人，博士研究生，硕士生导师，副教授，主要研究方向:机构学、机器人技术;
邱杰清，（1995-)，男，江西省抚州人，硕士研究生，主要研究方向:机构学、机器人技术
278罗建国等:一类三平移3-RRC并联机构的运动学第4期
图1三平移3-R RC并联机构
F i g.l3-DOF T r a n s l a t i o n a l 3-RRC P a r a l l e l M e c h a n i s m s
3自由度分析
基于螺旋理论（反螺旋）的自由度分析原理和修正的Kutzbach-GrUbler公式求解机构的自由度该方法不仅可以计算机构的自由度数目还可以通过动平台约束螺旋系的反螺旋得到动平台的自由度性质。

这里讨论的3-R R C并联机构在任一位 形下，圆柱副C,、C2、C3的轴线都平行于静平台，即动平台与静平台平行,在此前提下分别分析各支链。

在支链；的4,上建立 坐标系/t u p,.,如图2所7T；。

C,
使轴平行于转动副4的轴线、7,轴垂直转动副/1,的轴 线A轴竖直向上，则支链i运动螺旋系的4个螺旋为：■$:,=(100;000)
|:=(100;0e/2)(1) C=(100;0e/3)
(4=(100;010)
式中:e2=n,‘S0,'、/3=a,.C^+6,.CV,.—纯转动螺旋;t)一纯移动螺旋;Sin、Cos分别用S、C代替。

令{2=a,6,⑶知，卜。

,由于％、6,为距离应大于0,该式可解得:6H p,=0或|=tt,即支链；的3个运动副轴线共面。

当支链！的3个运动副轴线不共面时，其约束反螺旋系 有2个螺旋为：
C=(〇〇〇;〇l〇)
C=( 〇〇〇；〇〇!)(2)式中:m_纯力偶螺旋，若为/则表示纯力螺旋。

支链t对动平台有2个约束分别为垂直于动平台的约束力 偶和平行于动平台的约束力偶。

表13-RRC在非约束奇异位形下的自由度
Tab.1DOF of 3-RRC in Unconstrained
Singular Configuration
分类
无支链的3个
运动副轴线共面
仅1条支链的3个
运动副轴线共面
仅2条支链各自的
3个运动副轴线共面
3条支链各自的
3个运动副轴线共面
约束分布
机构自由度计算:A=1 ,t，=4-3，M=3
动平台自由度:3平移运动
(当发生约束奇异时动平台自由度会减少)
机构自由度计算:A=1，，M=3
动平台自由度:2平移运动
r
2个力约束平行(当且仅当2个力约束竖直向上)
机构自由度计算:A=1，r=6-4，M=4
动平台自由度:2平移运动
机构自由度计算:A=1，t，=6-5，A f=3
动平台自由度:1平移运动
其它
机构自由度计算:A=1，y=6-5，A/=3
动平台自由度:无运动
仅2个力约束平行(当且仅当2个平行的力约束竖
直向上）
机构自由度计算:A=1 ,r=7-5，A/=4
动平台自由度:1平移运动
1个力约束平行于另2个力约束相交形成的平面
机构自由度计算:A=1，r=7-5，A/=4
动平台自由度:1平移运动
3个力约束平行(当且仅当3个力约束竖直向上)
机构自由度计算:A=2 4=5-4,似=5
动平台自由度:2平移运动
3个力约束共面
机构自由度计算:A=1，r=7-5，A f=4
动平台自由度:1平移运动
其它
机构自由度计算:A=1，t；=7-6，M=3
动平台自由度:无运动
No.4
Apr.2021机械设计与制造279
综上可知，当3个支链各自的3个运动副轴线都不共面时，3个支链对动平台有6个力约束如表1的第一种情况，其中3个 支链都施加了竖直向上的力约束，即公共约束A=1,去除多余的 公共约束后3个支链对动平台只有3个独立的约束，即冗余约束 t；=4-3=l。

再对运动平台的约束螺旋系求反螺旋得到3个独立的 移动运动螺旋从而断定动平台具有3平移运动。

该机构的自由度 可由修正的K u t z b a r h-G r i i b l e r公式计算,考虑公共约束A=1和冗 余约束K=l,有：
M=d(n-g-l)+1^+^^=(6-1)(8-9-1 )+12+1-0=3 (3)式中:机构的自由度;d—机构的“阶”由公共约束A确定6-A—包括机架的构件数目;g i运动副的数目;/一第i个
运动副的自由度;t；并联冗余约束;^机构中存在的局部自
由度。

假设支链i的3个运动副轴线共面，同理可得到其约束反螺 旋系有3个螺旋为：
$7=(〇〇〇；〇1〇)
s"=(〇〇〇;〇〇l)(4)
S^=(O-C0,S(9,；O O O)
对比可知,3个运动副轴线共面将对动平台多产生一个过/I及(：;的力约束，从而改变机构自由度和动平台自由度。

分4种情 况分析，如表1所示。

综上可知对于并联机构，当运动到特定位形时，有一条或几 条支链上原来独立的运动螺旋变得线性相关则会在动平台上引 人一个或几个新的约束螺旋，在新约束螺旋和旧约束螺旋组成的 螺旋组中独立的新约束螺旋数和非独立的新约束螺旋数分别与 动平台自由度减少数和机构自由度增加数相等。

对于这里的3- R R C并联机构，当且仅当至少有1条支链的3个运动副轴线共 面时，有支链的运动螺旋线性相关必引入独立的新约束使得动平 台自由度减少,机构处于运动奇异。

4位置求解
设动平台上点p在固定坐标系的位置为■，厶)f，并用 Z-y-A：型欧拉角(a,)8，y)1'表示动平台相对于静平台的姿态。

由于机构处于任一位形下都有圆柱副C,、C2、C3的轴线分别平行于 转动副3的轴线，从而恒有〇=〇4=0、r=o。

动平台俯视图，如图3所示。

D灯为静平台0灯在动平台上的投影，直线Z,、w3分别与圆柱副C,、C2、C3的轴线重合,C,、C2、C3分别为点至C,、C2、C3的位移。

在坐标系0*y中乂、的直线方程及C,、c2、c3的坐标不难得到，再由点到直线的距离公式可求得c,、C2、c3如下：
C X=YP+r
c2=-XpSS2+YpCS2+r(5)
c3=XpSS3 + Yp CS3+r
4.1位置逆解
位置逆解是当结构参数和动平台的位姿
给定时，求各支链作为输人的转动副的转角或移动副的位移。

根 据主动副确定准则，以每个支链的第一个转动副作为输人，即 消為扁V。

由上面的分析可知这里的机构仅有一个姿态，即((^办^斤⑴山川^所以对于给定的位姿^^^仏仏沒，y)V U/>，H0,0,0)r时无解。

下面对
JV,Zf，0,0,07的情景进行求位置逆解。

取支链i求解，当、厶给定时可由式(5)可求出C,.。

在图 2中坐标系下坐标分别为糸（0,0,0)、C;(0，c,-/?，A),则B,为以/I,为圆心为半径的圆/I,与以C,为圆心6,为半 径的圆C,的交点,存在即逆解存在,其必要条件为：
(〇；-&；)S(c;-/?) +Zp^：(ai+b i)(6)
当给定的y y满足式(6)时,b;_存在，设b,在
中的坐标为B,(0,y8,z s/可列出下式：
(yB+R-ci)2+(z B-Zp)2=6l2⑴
yf i+z s=a,
二元二次方程组最多可有2组解，如式(7)所示。

每组解可 确定唯一沃,可由下式解得：
0=180°-a r c t a n—(8)
y».
综上可知对于这里的3-ft fi c并联机构当给定位姿
ZP,a,j8,y)7'时，每条支链最多可有2组解,3条支链最多8组解，即8种位形。

4.2位置正解
位置正解是已知结构参数和机构输入(e,,02,03)f时,求动平 台的位姿厶，c^A y)7•。

由于讨论的3-ft ft C并联机构仅有 一个姿态，即(a W M W O.O.O)'所以对于任意输入(0,為為)' 动平台的位姿(A,W,Z P,a，/30,0,0 K
当给定(0,為，的)7■时，在坐标系下可得B,.(0,i C(9,, a^,)、C,.(0,c,-/?,ZP),B,、C,两点间距离即为6,,可列出如下关系 式：
(Zp-a^SO^ ) +(-alC8l-(R-c l )) =bt
(Zp~a2Sd2) +(-a2C92-(R-c2)) =62(9)
(Zp-a^SO^) -(-c^C O^-iR-c^)) =63
将式(6)代入式(9)整理得：
(Zp-atset )2+(-y p-r+/f-a,C6», f =b]
(Zf.-a.Se, f+iX.SS.-Y.CS.-r+R-a.Ce：, f =b](10)
U.-ajSe, f A x.s s^Y.c s^-r+R-^c e
, )2=b]
280机械设计与制造No .4
Apr .2021三元二次方程组，最多可有8组解，如式(10)所示。

并且从式 下面对所得工作空间中的点求逆解再求反解以验证结果的(10河以看出正解为3个圆柱面的交点，其轴线与半径分别如下： 正确性。

(l )轴线方程:Z =a lSfl ,,-y -r +/^_a ,C 0,=O ;半径为61。

取图4(b )中工作空间的4个顶点为动平台P 点位置求逆
(2) 轴线方程:2=〇256>2,尤552-^052-「+/?-〇^6>2=0;半径为62。

(3) 轴线方程:2=〇^03，尤553+代53+卜/?+〇3(：03=〇;半径为63。

可以用C A D 软件绘制出对应的3个圆柱体并求交得到相交体，顶点坐标即为正解。

5工作空间求解综合位置逆解中对3条支链的分析，可知对于给定的动平 台位置（心,有位置逆解的充分必要条件为：当i =l 、2、3 时，&都满足式(6)。

所有有逆解的构成了这里3-R R C 并联机构的 可达工作空间，其方程如下：(aj —^{Yp +r —R ) +^^(a ,+6,)(〇j —pSS 2^YpCS ^+r —R ) +Zp ^(〇2+62) (11)(0^—63) ^{XpSS -^+YpCS ^+r —R ) +Zp ^io ^+b ^)
当U p , }^，ZP )f 位于可达工作空间表面时，式（11)至少有1 个等号成立，即至少有1条支链的3个运动副轴线共面,机构刚 好处于运动奇异。

当至少有1条支链的3个运动副轴线共面时， 式（11)至少有1个等号成立f 刚好位于可达工作空 间外表面。

所以处于运动奇异的所有位形与U P, 位于可达工作空间表面的所有位形一致。

式(12)的解为3个空心圆柱的交。

利用C A D 软件绘制对应 的3个空心圆柱并求交得到工作空间。

5.1实例验证给出结构参数 a i =a 2=a 3=i i =62=63=200m m 、r =25m m 、/?=50m m 、 5；f 53=120。

将结构参数代人(11)得：0 < (y p -25 )2 < 160000mm 20<|-^l ^p-^-y p-25 ) +Zp< 160000mm (12)20<(^3-X p-y F p-25 ) +Zp<160000mm 使用Autodesk 公司的AutoCAD 软件绘制了如图4(a )的3 个圆柱体,并求交得如图4(b )的对称实体，即可达工作空间。

利 用AutoCAD 的查询功能可得到工作空间实体对象的一些信息， 其中体积为290429255.0425m m 3,顶点坐标也可得到，如图4所解。

已知结构参数，并分别取(U p ,Z P)r =( 0,0,399.218mm )\ (-
86.6025mm , -50mm ,392.9058mm)r N (0,100mm ,392.9058mm)rN (86.6025mm ，-50mm ，392.9058mm )T 可得逆解，如表 2 所示。

由于 选取了极限位移点逆解仅有一组。

正解计算：
取逆解计算中得到的4组(仏，馬，作为正解的输入。

已知
结构参数，并分别取(A ，馬,f t )r =( 86.4167。

, 86.4167。

，86.4167° 广、 (79.1931°, 100.1931°,79.1931°)^( 100.1931°,79.1931°,79.1931°) '(79.1931。

，79.1931。

，lO O .lQSl 。

)7"可得正解，如表 2 所示。

可以看出正逆解的计算值非常吻合，并且求得的所有正解 仍满足式(12)，验证了所求工作空间的正确性。

表2实例位置正逆解长度单位:m m Tab .2 Inverse and Forward Position
Solution of the Instance
Jp,Kp,Zp 0,0,399.2180-86.6025,-50, 0,100, 392.9058 392.905886.6025,-50,
392.905825,25,C | »C 2»〇3 25-25,125,125,-25,-25,-25,125逆解
正解yB、，Z B l 199.6090 -12.5, 199.6090 -12.5，Yb' 'Zh' 199.6090 86.4167°, H 込 86.4167°, 86.4167°(0,0,399.2180)(0,50.0004,396.0619) (43.3016, -25.0002,396.0619) (-43.3016，
y v 7 -25.0002, A/，,yp,Z,> 396.0619) (0,0,0) (0,-25.0002,3.1561) (0,-25.002,3.1561) (-43.3016, -25.0002,3.1561)-37.5,37.5，-37.5,196.4529196.4529196.452937.5,-37.5,-37.5,
196.4529196.4529196.4529-37.5，-37.5,37.5,
196.4529196.4529196.4529
79.1931。

，100.1931°,79.1931°,100.1931°,79.1931°,79.1931°,
79.1931°79.1931°100.1931°
(86.6025,-50, (0,99.9982, (-86.6025,-50,
-392.9058)392.9060)396.9058)
(43.3012,(0,49.9993, (-43.3012,
-24.9999,396.0619)-24.9999，
396.0619)(-43.3003,396.0619)
(-0.0002,-50,,24.9998,(-43.3012,
392.9058)392.9060)25.0002,
(43.3012,(43.3003,392.9058)-25.0002,24.9998,(0.0002,-50,
392.9058)392.9060)392.9058)
(86.6025,(0,99.9982, (-86.6025,
-50,0)-0.0002)-50,0)
(43.3012,(0,49.9993, (-43.3012,
-24.9999,-0.0002)-24.9999,-3.1561)(-0.0002,-3.1561)
(-0.0002,-50,0)(-43.3012,
-50,0)(-43.3003,-25.0002,0)(43.3012，24.9998,(0.0002,25.0002,0)-0.0002)-50,0)
(a )3圆柱体 （b )工作空间实体
图4工作空间求解 Fig.4 Workspace Solution 6奇异位形分析
按形成原因分奇异可分成2类％运动奇异、约束奇异。

对于分析的3-R R C 并联机构的运动奇异已经在自由度分
析中给出了产生的条件，即至少有1条支链的3个运动副轴线共
面，并在工作空间分析中给出了处于运动奇异的所有位形。

下面
分析约束奇异。

锁住该3-W ?C 所有的主动件，则获得一类各支链3运动副
轴线平行的3-R C 并联机构.如表3所示。

做出其动平台约束分
布图并进行自由度分析。

No .4
Apr .2021机械设计与制造281
表3 3-R C 在不同位形下的自由度 Tab .3 DOF of 3-RC in Different Configurations M 约束分布3条支链共面
仅1条支链不垂直水平面2支链共面且该平面
与另一支链平行其它当锁住所有的主动件所获得的3-/?C 并联机构具有表3中 的3种特征，则此时并联机构处于约束奇异。

对比表1和 表3可以发现存在3种奇异分别为运动奇异、约束奇异、即为运
动奇异又为约束奇异。

结合表1和表3则得到了合理并 联机构机构任一位形下的自由度。

7结论 一(1) 利用基于螺旋理论(反螺旋)的自由度分析原理结合动 平台约束分布给出了机构在任一位形下的自由度，当3个支链的 3个运动副轴线都不共面时，机构自由度为3、动平台有3个平移运动。

(2) 给出了正解、逆解,正解为3个圆柱面的交点最多有8 组解，逆解也可以通过求3组两圆的交间接得到最多有8组解。

(3) 给出了工作空间的表达式，发现工作空间为3个空心圆
柱的交可直接用三维制图软件绘出工作空间，并发现动平台位置 位于工作空间表面时的所有位形与所有运动奇异位形一致。

(4) 在自由度分析的基础上给出了机构发生运动奇异与约 束奇异的几何条件。

(5) 给出的计算分析方法即简洁又快速，可编制软件将该机 构的自由度、位置正逆解、工作空间、奇异位形计算分析过程程序 化，减少大量的重复工作将使得该类机构的设计及优化变得非常
简便。

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