推荐2019届高三数学(理 新课标)一轮复习课件第六章 数列6.3

n－m an am
n－m ±
an am
(2)aq1
a1－anq 1－q
乘公比，错位相减
y＝aq1qx
a1 q－1
5．(2)q11
q1
q1q2
q1 q2
(3)qm (4)qn (5)①q＞1 0＜q＜1 ②0＜q＜1 q＞1 ③q＝1
④q＜0
已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a25，a2＝1，则
a1＝( )
1 A.2
2 B. 2
C. 2
D．2
解：因为 a3·a9＝2a25，则由等比数列的性质有：a3·a9＝a26＝2a25，
所以aa2625＝2，即aa652＝q2＝2.因为公比为正数，故 q＝ 2.又因为 a2＝1，
所以
a1＝aq2＝
1＝ 2
22.故选
B.
已知等比数列{an}为递增数列．若 a1>0，且 2(an
所以{bn}是以 3 为首项，13为公比的等比数列，
所以 Tn＝311－－1331n＝921－13n.
【点拨】在等比数列五个基本量 a1，q，n， an，Sn 中，已知其中三个量，可以将已知条件结 合等比数列的性质或通项公式、前 n 项和公式转 化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个 量，计算有时要整体代换，根据前 n 项和公式列 方程还要注意对 q 是否为 1 进行讨论．
a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2
－4λ，即 9＝0，矛盾．所以对任意实数 λ，数列{an}都不 是等比数列．
类型二 等比数列基本量的计算
(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的值为________．
1 D.8
(3)(2016·浙江)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝4，an＋1＝2Sn＋1， n∈N*，则 a1＝________，S5＝________.
解：(1)易知 q＝ 2，由 a2a4＝2a5⇒a23＝2a5，故 a3＝4，a1＝2，于
是 S4＝2[1－1－（
2）4]＝6＋6 2
解：根据已知条件得aa11q＋2＝a17q，＋a1q2＝21， 所以1＋qq2＋q2＝3，整理得 2q2－q－1＝0， 解得 q＝1 或 q＝－12.故填 1 或－12.
(2)已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前 3 项的和 S3 的取值范
围是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
类型一 等比数列的判定与证明
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝3312，求 λ.
解：(1)由题意得 a1＝S1＝1＋λa1，故 λ≠1，a1＝1－1 λ，a1≠0.
由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1 得 an＋1＝λan＋1－λan，即 an＋1(λ
当 n≥2 时，由 6Sn＋1＝9an，得 6Sn－1＋1＝9an－1，
两式相减得 6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，
即 6an＝9(an－an－1)，所以 an＝3an－1. 所以数列{an}是以13为首项，3 为公比的等比数列，其通项公式 为 an＝13×3n－1＝3n－2.
(Ⅱ)因为 bn＝a1n＝13n－2，b1＝a11＝3，
S9∶S3＝3∶4.故填 3∶4.
(4)设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，
Tn 分别为数列{lgan}与{lgbn}的前
n
项和，且Sn＝ Tn
2nn＋1，则 logb5a5＝________.
解：由题意知TS99＝llgg（ （ab11· ·ab22· ·… …· ·ab99） ）＝llggba5599 ＝llggab55＝log b5a5＝199.故填199.
(3)a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1⇒a1＝1，a2＝3，再由 an＋1＝2Sn＋1，an
＝2Sn－1＋1(n≥2)⇒an＋1－an＝2an⇒an＋1＝3an(n≥2)，又 a2＝3a1，所以
an＋1＝3an(n≥1)，所以{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 S5 ＝11－－335＝121.故填 1；121.
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解：设等比数列{an}的公比为 q，则
S3＝a1＋a2＋a3＝a21＋q＋1q＝1＋q＋1q，
当 q>0 时，S3＝1＋q＋1q≥1＋2 q·1q＝3(当且仅当 q＝1 时取等
号)；
当 q<0 时，S3＝1－－q－1q≤1－2
（－q）·－1q＝－1(当且
＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比 q＝( )
A．2
1 B.2
C．2 或12
D．3
解：由题意得 2an＋2anq2＝5anq，化简得 2q2－5q＋2 ＝0，解得 q＝2 或 q＝12，由题意知 q>1.所以 q＝2.故选 A.
设首项为 1，公比为23的等比数列{an}的前 n 项和
为 Sn，则( ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
(2015·湖南)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项 和．若 a1＝1，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 an＝ ________．
解：由 3S1，2S2，S3 成等差数列，得 4S2＝3S1＋ S3，即 3S2－3S1＝S3－S2，也即 3a2＝a3，得公比 q＝3， 所以 an＝a1qn－1＝3n－1.故填 3n－1.
an＋m，an＋2m，…仍为等比数列，公比为
．
(4)公比不为－1 的等比数列前 n 项和为 Sn(Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…
构成等比数列，且公比为
．
(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式 an＝a1qn－1 中，an 是 n 的函数， 这个函数由正比例函数 an＝aq1·u 和指数函数 u＝qn(n∈N*)复合而成．
a与b的
，且 G2＝
或 G＝
.
3．等比数列的通项公式
(1)若{an}是等比数列，则通项 an＝
或 an＝
.当 n
－m 为大于 1 的奇数时，q 用 an，am 表示为 q＝
；当
n－m 为正偶数时，q＝
．
(2)an ＝ a1qn － 1 可 变 形 为 an ＝ Aqn ， 其 中 A ＝
； 点 (n ， an) 是 曲 线
集数合与常用列逻辑用语 章章
6．3 等比数列
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的
等
于同一
，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列
的
，通常用字母 q 表示(q≠0)．
2．等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做
解得 λ＝－1.
【点拨】等比数列的四种常用判定方法
定义法
若aan＋n 1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n 1＝q(q 为非 零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公 若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则
式法 {an}是等比数列
通项公 若数列{an}的通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均是 式法 不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
所
以
a1q2＝4， a1q4＝16，
解
得
a1＝1，

q＝2.
所 以 S5 ＝
1×（1－1－225）＝31.故选 A.
(3)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6∶S3＝1∶2，则 S9∶S3＝________.
解：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9 －S6 仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－ S6)，不妨令 S3＝2，则 S6＝1，代入解得 S9＝32，
2.故选 D.
(2)设等比数列{an}的公比为 q，a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则 a1q2×
a1q4＝4(a1q3－1)，所以116×q6＝414×q3－1，所以 q6－16q3＋64＝0，
所以(q3－8)2＝0，所以 q3＝8，所以 q＝2，所以 a2＝a1q＝12.故选 C.
－1)＝λan.由 a1≠0，λ≠0 得 an≠0.所以aan＋n 1＝λλ－1. 因此{an}是首项为1－1 λ，公比为λλ－1的等比数列，于是 an＝
1－1 λλλ－1n－1. (2)由(1)得 Sn＝1－λλ－1n， 由 S5＝3312得 1－λ－λ 15＝3321，即λλ－15＝312，
①当 a1＞0，
或 a1＜0，
②当 a1＞0，
或 a1＜0，
③当
时，它是一个常数列；
时，等比数列{an}是递增数列； 时，等比数列{an}是递减数列；
④当
时，它是一个摆动数列．
自查自纠
1．比 常数 公比
2．等比中项 ab ± ab
3．(1)a1qn－1 amqn－m
4．na1
a1（1－qn） 1－q
【点拨】(1)在等比数列中，若 Sn≠0，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列．(2)等比数列 中，依次 m 项积仍为等比数列，但公比发生改 变．(3)性质“当 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*) 时，有 am·an＝ap·aq”常用来转化条件．
上一群孤立的点．
4．等比数列的前 n 项和公式
等比数列{an}中，Sn＝

，q＝1，
＝
，q≠1求. 和公式的推导方法是：
为解题的方便，有时可将求和公式变形为 Sn＝Bqn－B(q≠1)，其中 B＝
， 且 q≠0，
q≠1.
5．等比数列的性质
(1)在等比数列中，若 p＋q＝m＋n，则 ap·aq＝am·an；
仅当 q＝－1 时取等号)．所以 S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选 D.
(3)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 6Sn ＋1＝9an(n∈N*)．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn＝a1n，求数列
{bn}前 n 项和 Tn.
解：(Ⅰ)当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝13.
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
解：an＝23n－1，Sn＝11－－2323an＝31－23an＝3－2an.
故选 D.
等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＋3S2＝0，则公比 q＝________.
解：设数列{an}的公比为 q.由 S3＋3S2 ＝0，得 4a1＋4a2＋a3＝0，则 4a1＋4a1q＋a1q2 ＝0.显然 a1≠0，所以 4＋4q＋q2＝0，解得 q ＝－2.故填－2.
(1)(2016·绵阳一模)设各项均不为 0 的数列{an}满足 an＋1＝
2an，Sn 是其前 n 项和，若 a2a4＝2a5，则 S4＝( )
A．4 2
B．8 2
C．3－3 2
D．6＋6 2
(2)已知等比数列{an}满足 a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则 a2＝ (
)
A．2
B．1
1 C.2
(2) 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an>0，q>1，
a3＋a5＝20，a2a6＝64，则 S5＝( )
A．31
B．36
C．42
D．48
解：由等比数列的性质，得 a3a5＝a2a6＝64，于
是由a3＋a5＝20， a3a5＝64，
且 an>0，q>1，得 a3＝4，a5＝16，
前n项 和公式
法
若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－k(k 为常数且 k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列
已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ ，an＋1＝23an ＋n－4，其中 λ 为实数，n 为正整数．是否存在实数 λ，使得 数列{an}是等比数列？
解：假设存在一个实数 λ，使{an}是等比数列，则有
类型三 等比数列的性质
(1)已知各项均不为 0 的等差数列{an}， 满足 2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7，则 b6b8＝________.
解：因为{an}为等差数列，所以 a3＋a11＝2a7， 所以已知等式可化为 4a7－a27＝0，解得 a7＝4 或 a7＝0(舍去)，又{bn}为等比数列，所以 b6b8＝b27＝ a27＝16.故填 16.
若 2m＝p＋q，则 am2 ＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．
(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2，则数列a1n，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，abnn仍为等比数列且公比源自别为，，，
.
(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即 an，