柯西不等式各种形式的证明及其应用_4028

柯西不等式各样形式的证明及其应用
柯西不等式是由大数学家柯西
(Cauchy) 在研究数学分
n
n
n
2
析中的“流数”问题时获得的。

但从历史的角度讲，该不等 a k 2 b k
2
a k
b k
式应该称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz
不等式，由于，
k 1
k 1 k
1
正是后两位数学家相互独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完美的地
步。

柯西不等式特别重要，灵巧奇妙地应用它，能够使一些较为困难的问题水到渠成。

柯
西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面获得应用。

一、柯西不等式的各样形式及其证明
二维形式
在一般形式中， 令 n 2, a 1 a, a 2 b,b 1 c,b 2
d ，得二维形式
a 2
b 2
c 2
d 2
ac bd 2
等号成立条件： ad bc a / b c / d
扩展： a 1
2
a 22 a 32
a n 2
b 12
b 22
b 32 b n 2
a 1
b 1 a 2b 2 a 3b 3
a n
b n 2
当 a i
或
时， a i 和 b i 都等于 ， 等号成立条件：
0 b
a 1 :
b 1 a 2 : b 2
a n
: b n
不考虑 a i : b i ,i
1,2,3, , n
二维形式的证明：
a 2
b 2
c 2
d 2
a, b, c, d R
a 2 c 2
b 2 d 2 a 2 d 2 b 2
c 2
a 2 c 2
2abcd
b 2 d 2 a 2d 2 2abcd
b 2
c 2
ac
bd 2
ad
2
bc
ac bd 2
等号在且仅在 ad bc 0
即 ad =bc 时成立
三角形式
a 2
b 2
c 2
d 2
2 2
a c
b d
等号成立条件： ad bc
三角形式的证明 ：
a 2
b 2
c 2 2
a 2
b 2
c 2
d 2 2 a 2 b 2 c 2 d 2
d 2
a 2
b 2
c 2
d 2 2 ac
bd
注： 表示绝对值
a 2 2ac c 2
b 2 -2bd d 2
a 2
b d 2
c
两边开根号，得
a 2
b 2
c 2
d 2
a 2
2
c b d
向量形式
， = a 1, a 2 , a 3 ,a n ,
b 1, b 2 ,b 3 , b n
n N , n 2
等号成立条件：
为零向量，或
=
R
向量形式的证明 ：
r ur
令 m= a 1, a 2 , a 3 ,L , a n , n b 1, b 2 ,b 3,L , b n
ur r ur r L ur r
m n a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 a n b n m n cos m, n
a 12 a 22
a 32 L a n 2
b 12 b 22 b 32 L
b n 2 ur r
cos m , n
ur r 1 Q cos m, n
ab a b a b L a b
a 2 a 2
a 2 L a 2
b 2
b 2 b 2 L b 2
1 1
2 2
3 3
n n
1
2
3
n
1
2
3
n
一般形式
n
n
n
2
2
2
a k
b k
a k
b k
k 1
k 1
k 1
等号成立条件： a 1 : b 1 a 2 : b 2
a n :
b n ，或 a i 、 b i 均为零。

一般形式的证明：
n
n
n
2
2
2
a k
b k
a k
b k
k 1
k 1 k 1
证明：
不等式左侧
2 2
2 2
L L
共 2 项
= a i b j
a j
b i n / 2 不等式右侧 = a i b i
a j
b j
a j
b j a i b i L L
共 n 2 / 2项
用均值不等式简单证明，
不等式左侧 不等式右侧，得证。

推行形式 ( 卡尔松不等式 ) ：
卡尔松不等式表述为： 在 m*n 矩阵中，各行元素之和的几何均匀数不小于各列元素之积的几何均匀之和。

m
L x 1n
L x 2n L
L x mn
x
12
x
12
x
21
x
21 x
m1
x
m1
m
1 m
1 m
1
m
1 m
m m
m
x
i 1
x
i 2
x
i 3
L
x
in
i 1
i 1
i
1
i
1
此中， m, n
N
或许 ：
1
1
m
n
m
n
m m
x
ij
x
ij
j 1
j 1
i 1
i 1
此中， m, n N ， x ij R
或许
x 1
y 1 L
x 2
y 2 L L x n y n L
1
1
n
x n
y n
L
注： x 表示 x 1， y 1，L ， x n 的乘积，其他同理
推行形式的证明： 推行形式证法一：
记 A 1 x 1 y 1 L , A 2
x 2 y 2 L ,L A n x n
y n L
由均匀不等式得
x 1 x 2
L
x n
1 x
1
A 1 A 2 A n x 1x 2 L x n n
n
n
A 1 A 2L A n
A 1 A 2 L A n
y 1
y 2
y n
1
1
L
n
y n
同理可得 A 1 A 2
A n
y 1 y 2 L y n
n
A 1 A 2 L A n A 1 A 2 L A n
L L
上述 个不等式叠加，得
n
1
1 1
x
n
y n
+
+L
A 1 A 2 L A n
A 1 A 2 L A n
1
1
x n y n 1
即 A 1 A 2 L A n n L
x
1 1 n
n y n L
即 x 1 y 1
L x 2 y 2 L L x n y n L
1
1
n
L
x n y n ，证毕
或许
推行形式证法二：
事实上波及均匀值不等式都能够用均值不等式来证，
这个不等式其实不难，能够简单证明以下：
m
x
j 1
1
由均值不等式
n
m
m j 1
x ji
i 1
m
x
j1
j 1 n
xji
i 1
m
x
j 2
1
同理有
n m m j 1
x ji
i 1
m
x
j 2
j 1
n xji
i 1
L L
m
x
jn
1
m j 1
n m
x ji
i 1
m
x
jn
j 1
n x ji
i 1
1
m
n m
x
jk
1
以上各式相加得
k 1
j 1
n x
ji
i 1
1
m
x
jk
m
n
j 1
上式也即
该式整理，得：
m
n
1,
k 1
x ji
j 1
i 1
1
n
m
1
x jk
k 1
j 1
m
m
n
m
j 1 i 1 x ji
得卡尔松不等式，证毕
付：柯西（ Cauchy ）不等式有关证明方法：
a 1
b 1 a 2b 2 a n b n
2
a 12 a 22
a n 2 2
b 12 b 22 b n 2 2 a i b i R, i 1,2 n
等号当且仅当 a 1 a 2 a n 0 或 b i
ka i 时成立（ k 为常数， i
1,2 n ）现将它的证
明介绍以下：
证明 1：结构二次函数 f ( x)
a 1 x
b 1 2 a 2 x b 2
2
a n x
b n
2
= a 12 a 22
L a n n x 2 2 a 1b 1 a 2b 2 L a n b n x b 12
b 22 L b n n
Q a 12 a 22 L a n n
f x0 恒成立
Q 4 a1b1a2b2 L a n b n2 4 a12a22 L a n n b12b22L b n n0即 a b a b L a b2a2a2 L a n b2b2L b n
1 1
2 2n n12n12n
当且仅当
a i x
b i x0i1,2 L n即a
1a2L a n时等号成立b1b2b n
证明（ 2）数学概括法
（ 1）当n 1时左式=
a1b1
22
右式 = a1b1
明显左式 =右式
n 2 时，a12a22b12b222
a2b2
2
a12b22
当右式a1b1a22b12
22
2a1a2b1b22
a1b1a2 b2a1b2 a2 b2右式
仅立即 a2 b1a1b2即a
1a2时等号成立b1b2
故 n1,2时不等式成立
（2）假定n k k, k2时，不等式成立
即 a1b1a2b2L a k b k 2
a12a22 L a k k b12b22L b k k
当 b i ka i，k为常数， i1,2L n或 a1a2L a k0时等号成立设a12a22L a k2b12b22L b k2
C a1b1a2 b2L a k b k
则a k21b k21b k21a k21b k21
C22Ca k 1b k 1a k21b k2C a
k 1
b
k 1
2
1
a12a22L a k2a k21b12b22 L b k2b k21
a1b1a2b2L a k b k
2 a
k 1
b
k 1
当 b i ka i，k为常数， i1,2L n或 a1a2L a k0时等号成立
即 n k 1时不等式成立综合（ 1）
（2）可知不等式成立
二、柯西不等式的应用 1、巧拆常数证不等式
例 1：设 a 、 b 、 c 为正数且互不相等。

求证：
2
2
2
2
a b b
f
b c
.
Q a 、b 、c 均为正数 c a c a
为证结论正确，只要证 :
2 a b c
1
1 1 f
9 为证结论正确，只要证：
a b
b
c a
c
而 2 a b c = a b
b c
a c
又 Q 9
(1 1 1)2
只要证 :
2 a
b c
1
1 1
a b b c a c
a b
b
c
a
c
1 1 1
a b
b c
a c
1 1 2
9
1
又Q a 、 b 、c 互不相等，所以不可以取等
原不等式成立，证毕。

2、求某些特别函数最值
例 2： 求函数 y
3 x 5
4 9 x 的最大值。

函数的定义域为 [
5 ，9],
y f 0
y 3 x 5 4 9 x
32 42 2 x 5 2 9 x
5*2 10
函数仅在 4 x 5=3 9 x ，即 x 6.44时取到
3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

已知点
x 0 , y 0 及直线 l : x
y
C
0 2 2
设点 p 是直线 l 上的随意一点，
则
x
x C
（ 1）
p 1 p 2
x 0
2
y 0 y 1 2
x 1
（ 2）
点 p 1 p 2 两点间的距离 p p 就是点 p 到直线 l 的距离，求（ 2）式有最小值，有
1
2
2
2
x 0 2 y 0 2
x 0 x 1
y 0 y 1
x 1
y 1 x 0 y 0 C x 1 y 1 C
由（ 1）（ 2）得：
2
2 gp1 p2x0y0C即
p1 p2x0y0C
（ 3）22
当且仅当y0y1: x0x1
p1 p2 l（ 3）式取等号即点到直线的距离公式即
p1 p2x0y0C
22
4、证明不等式
例 3已知正数 a, b, c 知足a b c1证明a3b3c3a2b2c2
3证明：利用柯西不等式
23131312
a2b2c2 a 2 a 2b2 b 2 c 2 c2
323232
a2 b 2c2a b c
a3b3c3 a b c2Q a b c 1
又由于a2b2c2ab bc ca在此不等式两边同乘以2，再加上a2b2c2得： a b c 3 a2b2c2
Q a 2
b
2
c
2233
c
3
? 3 a
222
a b b c
故 a3b3c3a2b2c2
3
5、解三角形的有关问题
例 4设 p 是 VABC 内的一点， x, y, z 是 p 到三边a,b, c的距离， R 是 VABC 外接圆的半径，证明x y z1a2b2c2
2R
证明：由柯西不等式得，
x
y
z
ax 1
by 1
cz
1
ax by czg 1
1
1
a
b c
a b
c
记 S 为 VABC 的面积，则
ax by cz 2S
2g abc
abc
4R
2R
x
y
z
abc ab bc ca 1 ab bc ca 1
a 2
b 2
c 2
2R abc
2R
2R
故不等式成立。

6、 求最值
例 5 已知实数 a,b, c , d 知足 a
b c d
3 ， a 2 2b 2 3c 2 6d 2 5 试求 a 的最值
解：由柯西不等式得，有
2b
2
3c
2
6d
2
1 1 1
2
b c d
2 3 6
即 2b
2
3c
2
6d
2
b c d
2
5
a 2
3 2
由条件可得， a
解得， 1
a
2当且仅当
2b
3c 6d
1 2
1 3
时等号成立，
1 6
代入 b
1,c
1 , d 1 时， a
max
2
3 6
b 1,c
2
, d 1 时 a min
1
3
3
7、利用柯西不等式解方程 例 6 在实数集内解方程
x 2
y 2 z 2
9
4 8x
6 y 24 y 39
解：由柯西不等式，得
x 2 y 2
z 2
2 62
2
8x 6 y 24 y
2
①
8
24
Q
x
2
y
2
z
2
8 2
6
2
24 2
9 64 36
4 144 392
4
又
8x
6 y 24y 2
392
x 2
y 2 z 2
8
2
2
2
62
24 8x 6 y 24 z
即不等式①中只有等号成立
进而由柯西不等式中等号成立的条件，得
x y z
8 6
24
它与 8x 6 y 24 y 39 联立，可得
x 6
y
9 z
18
13
26
13
8、用柯西不等式解说样本线性有关系数
n
(x i x ) y i
y
在线性回归中，有样真有关系数
r=
i 1
，并指出 r
1 且 r 越靠近
n
n
2
(x
x ) 2
y
i
y
i
i
1
i 1
于 1，有关程度越大， r 越靠近于 0，则有关程度越小。

此刻可用柯西不等式解说样本线性
有关系数。

现记
a i
x i
x ， b i
y i
y ，则，
n
r=
a i
b i
r
1
i 1
，由柯西不等式有，
n
n
a i 2
b i 2
i 1
i 1
n
n
n
当 r
1 时，
a i
b i 2
a i
2
b i
2
i 1
i 1
i 1
此时，
y i
y b i k ， k 为常数。

点 x i , y i
i
1,2 n 均在直线
x i
x
a i
y y
k x x 上， r
n
2
n
n
当 r
1 时，
a i
2
b i
2
a i
b i
i 1
i 1
i
1
n
2 n
n
即
a i
b i
a i
2
b i
2
i 1
i 1 i 1
n 2 n
n
2
而
a i
b i
a i
2
b i
2
a i
b j a j b i
i 1
i 1
i 1
1 i
j n
a i
b j a j b i20a i b j a j b i0
1 i j n
b i
k,k 为常数。

a i
y i y b i k
，k 为常数
此时，此时，
x a i
x i
点 x i , y i均在直线 y y k x x邻近，所以r 越靠近于1，有关程度越大
当 r0时， a i, b i不具备上述特点，进而，找不到适合的常数k ，使得点 x i , y i都在直线 y y k x x 邻近。

所以，r 越靠近于0，则有关程度越小。

9、对于不等式(a2 b 2 )(c2 d 2 )( ac bd )2的几何背景
几何背景：如图，在三角形OPQ 中， P(a,b), Q (c, d), QOP，
则 OP a 2b2 , OQ c 2 d 2 ,Q（ c， d）PQ(a c) 2(b d )2 .O P（ a，b）
将以上三式代入余弦定理
222
2 OP OQ cos ，并化简，可得PQ OP OQ
cos
ac bd
或2
(ac bd) 2
a 2
b 2c2cos(a 2b2 )(
c 2
d 2 )
.
d 2
由于 0cos21，所以，(ac bd )2 1
，
(a2b2 )(c2 d 2 )
于是
(a 2 b 2 )(c2 d 2 ) ( ac bd )2.
柯西不等式的有关内容简介
（ 1）赫尔德(Holder)不等式
11
1 1
p p p p q q q q
1) (a1a2a n ) (b1b2b n )a1 b1 a2b2a n b n (p q
当 p q 2 时，即为柯西不等式。

所以，赫尔德不等式是柯西不等式更加一般的形式，
在剖析学中有着较为宽泛的应用。

（ 2）平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）
a12a22a n2b12b22b n2(a1b1 )2(a2b2 ) 2(a n b n )2
2222
( a1b1 ) 2(a2b2 )2
能够借助其二维形式a1a2b1b2来理解，依据
三角形的两边之和大于第三边，很简单考证这一不等式的正确性。

该不等式的一般形式
111 p p p p p p
( a1a2a n ) p(b1b2b n ) p
[( a1b1 ) p(a2b2 ) p(a n b n ) p ] p 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式。

它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几
何体定义了一种“距离”的基础上获得的，即对于点 x (x1 , x2 , , x n ), y ( y1 , y2 ,, y n ) ，
定义其距离为
n1
p
( x, y) (x i y i ) p.
i
闵可夫斯基立足于这一不等式确定了相应的几何，成立了一种近似于现代胸怀空间的理论，
即实变函数中的赋范空间基础。

这从另一个侧面表现了柯西不等式的丰富数学背景。