【优质文档】【2019届新高一数学衔接课程】2.7对数与对数函数(苏教版)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
当 x＞1 时， y＞ 0； 当 0＜ x＜ 1 时， y＜ 0 在 (0，＋∞ )上是增函数
当 x＞1 时， y＜0； 当 00＜ x＜ 1 时， y>0 在 (0 ，＋∞ )上是减函数
4．反函数 指数函数 y＝ ax(a>0，且 a≠ 1)与对数函数 y＝ log ax(a>0 ，且 a≠1)互为反函数，它们的图象
（ 1） lg 6 ； （ 2） lg 3 ； （ 3） lg32 . 2
4．比较下列各题中两个值的大小：
（1） log 6 9, log 7 5 ；
（ 2） log 3 , log 2 0.6 ；
（3） log 2 0.7,log 3 0.7 ；
5．计算下列各式的值 （ 1） log 8 9 log 3 32 ； （ 2） log 2 2 log 27 9 ．
5
6．求下列函数的定义域：
（1）y log a x 1 (a 0, a 1) ； （ 2）y
1
2
； （3）y log(2 x 1) ( x 2x 3) ．
log 2 x
7．将函数 f x 2 x 的图象向左平移一个单位得到图象 C1，再将 C1向上平移一个单位得图
象 C2 ，作出 C2 关于直线 y x 对称的图象 C 3 ，则 C 3 对应的函数的解析式为（
五、巩固训练
1．把下列各题的对数式写成指数式：
（1） x = log 5 27 ： ______________；
（ 2） x = log 8 7 ： ______________；
（3） x = log 4 3 ： ______________；
1 （ 4） x log 7 ： ________________ ；
lg 3
（ 3）
2lg 2 1 ；
lg1.2
（4） log 2 8 4 3 log 2 8 4 3 ．
【例 3】求下列各式的值．
（1） log 5 35 ＋ 2 log 1 2 － log 5 1 － log 5 14 ；
2
50
（2）
log 36
4
＋ log
2 6
3．
log18 6
2
【例 4】已知 log 2 3 a ， log3 7 b , 用 a , b 表示 log 42 56 ．
5．【答案】（ 1）原式
．
lg8 lg3 3lg 2 lg 3 3
（ 2）原式
log 2 ( 2) 2
log 3 9 log3 27
2 2
3
8． 3
6．【答案】（ 1） { x x 1} （ 2） { x 0 且 x 1 } 【解析】（ 1）由 x 1 0 得 x 1 ，
1 （ 3） ( ,1) (1,3)
）
A ．[0， 1]
B ．[1， 2]
10．计算 lg 5 lg 8000 (lg 2 3 ) 2 ．
1
1
lg 600 lg 0.036 lg 0.1
2
2
C． [2， 4]
D． [4， 16]
11．（1）已知 log 18 9 a,18b 5,求 log 30 36 值 .
（ 2）已知 log 7 ( 2 2 1) log 2 ( 2 1) a ，求 log 7 (2 2 1) log 2 ( 2 1) ．
12．求函数 y log 1 (x 2 2x 3) 的单调递增区间．
2
13．函数 y = log 1 (x 2－ ax + a) 在 ( , 2] 上是增函数，求实数
2
a 的取值范围 .
参考答案
1．【答案】（ 1） 5 x = 27 ； （ 2） 8 x = 7 ；
（ 3） 4 x = 3 ；
（ 4） 7 x
log 2
3 ，求
2 3x 2x
2 2
3x x
的值．
【例 7】求下列函数的定义域：
（1） y log 0.2 (4 x) ； （2） y
log7 1 ； 1 3x
（3） y
log2 (4x 3) ．
3
【例 8】对于函数 f ( x) log 1 (x 2 2ax 3) ，解答下述问题：
2
（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； （2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围； （3）若函数在 [ 1, ) 内有意义，求实数 a 的取值范围；
）
A ． y log 2 x 1 1
B． y log2 x 1 1
C． y log 2 x 1 1
D． y log 2 x 1 1
2 8．若 log a
3 A．1 a
2 C． a
3
1，则 a 的取值范围是（ 3 2 1
）
B． 0 a 1或1 a 3 2
D． 0
a
2 或a 1
3
9．函数 y f (2 x ) 的定义域为 [1， 2]，则函数 y f (log 2 x) 的定义域为（
（3）求 f ( x) 的反函数 f 1( x) ；
（4）当 f ( x) 定义域区间为 (1, a 2) 时， f ( x) 的值域为 (1, ) ，求 a 的值 .
四、自主归纳 （1）对数函数与指数函数的关系
对数函数 y ＝ log a x （ a ＞ 0 且 a ≠１， x ＞ 0）是指数函数 y a x ( a 0,且a 1) 的
a
对数函数 y ＝ log a x （ a ＞ 0 且 a ≠１， x ＞ 0）都以 y 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向
上无限接近 y 轴，当 a 1 时，图象向下无限接近 y 轴）．
（3）利用对数函数比较大小问题的处理方法：
①看类型
②同底用单调性
③其它类型找中间量．
零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．
【例 5】计算
（1） log 4 9 log 27 25 log125 16 ；
（2） (log 4 3 log 8 3)(log3 2 log9 2) log 1 4 32 ．
2
【例 6】计算：
（1）设 10 a
4 ，b
lg 5 ，求10 2a
b
的值 ．
（2） 2a
5b
10 ，求 1
1
的值．
ab
（3）设 2x
关于直线 y＝ x 对称．
二、释疑拓展
【例 1】填空：
（1） log 2 6 － log 2 3
； （ 2） log3 5 － log 315
；
（3） log 5 75
1 log 5
； （ 4） log 2－ 3（2 + 3）=
．
3
【例 2】求下列各式的值：
（1） log 2 23
45 ；
（ 2） log 5 125 ；
2．对数的运算性质 （1）如果 a＞ 0 且 a≠ 1， M ＞ 0，N＞ 0，那么
① loga(MN )＝ log aM ＋ log aN； M
② loga N ＝ logaM －log aN； ③ logaM n＝nlog aM(n∈ R)； （2）对数的重要公式
log aN ①换底公式： log bN＝ log ab (a，b 均大于零且不等于 1)；
2
所以函数 y log a x 1 ( a 0, a 1) 的定义域是 { x x 1} ．
（2） log 2 x 0 ，且 x 0 ，解得 x 0 且 x 1，
所以函数 y
1 的定义域是 { x 0且 x 1 } ．
log 2 x
2x 1 0 （3） 2x 1 1
x2 2x 3
，得 1
2 0
x 1或1 x 3，
∴ l o g7 ( 2 2 1) l o g2 ( 2 1) 1 a ．
12．【答案】 (－ ∞，－3）
13．【答案】 2 2 ≤a < 2 2 + 2
1
【解析】 因为对数的底为 ，问题转化为在 (
2 且 u( x) = x 2－ ax + a 在 ( , 2] 上是减函数．
1 =
；
3
（5） 2－2 = 1 ； 4
（ 6） 3－4 = 1 ． 81
2．【答案】 C
3．【答案】（ 1） lg 6 lg 2 lg3 0.7781；
6
（ 2） lg 3 lg3 lg 2 0.1761； 2
（ 3） lg32 5lg 2 1.5050 .
4．【答案】（ 1） log 6 9 > 1 ， log 7 5 < 1 ，∴ log 6 9 > log 7 5 ；
1 ② logab＝log ba，推广 log ab·log bc·logcd＝log ad.
n ③ logamM n＝mlog aM (m， n∈ R，且 m≠ 0)．
3．对数函数的图象与性质
a＞ 1
0＜ a＜1
图象
性质
定义域： (0，＋∞ ) 值域： R
当 x＝ 1 时， y＝ 0，即过定点 (1,0)
4
反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线 （2）对数函数图象特征
y = x 对称．
a 0, a 1时， y log a ( x) 与 y log a x 的图象关于 y 轴对称；
1
y log 1 x log a
a
x
log a x ， y log 1 x 与 y log a x 的图象关于 x 轴对称；
一、问题概述
课题 2.7 对数与对数函数
二、知识梳理
1．对数的概念 一般地，如果 ax＝ N(a＞0，且 a≠ 1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝ log aN，
其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．注意：
（1）负数和零没有对数；
（2） log a1＝ 0(a＞ 0，且 a≠ 1)； log aa＝ 1(a＞0，且 a≠1) （3）以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lgN （4）以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 lnN （5）对数恒等式： alogaN＝ N
3
（5） log2 1 =-2： _______________ ； 4
（6） log3 1 =-4 ： _________________ ． 81
2．函数 y
1
x
a
(0＜ a ＜ 1)的反函数的图象大致是（
）
A
B
C
D
3．已知 lg 2 ＝ 0.3010 ， lg 3 ＝ 0.4771，求下列对数的值 (精确到小数点后第四位 )
所以函数 y log (2 x 1) ( x2
7．【答案】 B 8．【答案】 C． 9．【答案】 D
1 2x 3) 的定义域是 ( ,1)
2
(1,3) ．
【解析】∵函数 y f (2 x ) 的定义域为 [1， 2]，即 y f (2 x ) 中的 2 ≤2 x ≤4 ；
再由 2 ≤log 2 x ≤4 ，得 4 ≤x ≤16 ，∴函数 y f (log 2 x) 的定义域为 [4， 16] ． 3
（1） log 0.5 1.8 ， log 0.5 2.1 ； （ 2） log 7 5 ， log 6 7 ；
5．已知 f ( x)
1 log a
mx 是奇函数
（其中 a
0, a
1) ，
x1
（1）求 m 的值；
（3） log2 3 ， log4 5 ， 3 ． 2
（2）讨论 f (x) 的单调性；
∴ log 30 36
log 18 18 log 18 2 log 18 5 log 18 6
1 (log 18 18 log 18 9) b (log 18 18 log 18 3)
2(2 a)
.
2 2b a
（2）∵ l o g7 (2 2 1) l oБайду номын сангаасg2 ( 2 1)
＝ 1 log 7 (2 2 1) log 2 ( 2 1) a
（4）若函数的定义域为 ( ,1) (3, ) ，求实数 a 的值；
（5）若函数的值域为 ( , 1] ，求实数 a 的值；
（6）若函数在 ( ,1] 内为增函数，求实数 a 的取值范围 .
【随堂练习】
7
2lg 2 lg 3
1．计算：（1） lg 14 2lg
lg 7 lg 18 ； （2）
.
3
2 lg 0.36 2lg 2
2．已知 log 3 12 a ，试用 a 表示 log 3 24 ． 3．（ 1）已知 log 2 3 a ， log 3 7 b ，用 a ， b 表示 log 42 56 ；
（ 2）已知 log x a 2, log x b 3,log x c 6, 求 log abc x 的值． log
4．比较下列各组数中两个数的大小：
（ 2） log 3 > 0 ， log 2 0.6 < 0 ，∴ log 3 > log 2 0.6 ；
1
1
（ 3） log 0.7 3 < log 0.7 2 < 0 ，∴ log 3 0.7 = log 0.7 3 > log 0.7 2 = log 2 0.7 ．
lg9 lg32 2lg 3 5lg 2 10
10．【答案】
4 【解析】分子＝ lg 5(3 3 lg 2) 3(lg 2) 2 3lg 5 3lg 2(lg 5 lg 2) 3；
7
36 分母＝ (lg 6 2) lg
1
6 lg 6 2 lg
4；
1000 10
100
∴
原式＝
3
.
4
2( 2 a)
11．【答案】（ 1）
（2） 1-a
2 2b a
【解析】（ 1） 18b 5 ，∴ log18 5 b,
当 x＞1 时， y＞ 0； 当 0＜ x＜ 1 时， y＜ 0 在 (0，＋∞ )上是增函数
当 x＞1 时， y＜0； 当 00＜ x＜ 1 时， y>0 在 (0 ，＋∞ )上是减函数
4．反函数 指数函数 y＝ ax(a>0，且 a≠ 1)与对数函数 y＝ log ax(a>0 ，且 a≠1)互为反函数，它们的图象
（ 1） lg 6 ； （ 2） lg 3 ； （ 3） lg32 . 2
4．比较下列各题中两个值的大小：
（1） log 6 9, log 7 5 ；
（ 2） log 3 , log 2 0.6 ；
（3） log 2 0.7,log 3 0.7 ；
5．计算下列各式的值 （ 1） log 8 9 log 3 32 ； （ 2） log 2 2 log 27 9 ．
5
6．求下列函数的定义域：
（1）y log a x 1 (a 0, a 1) ； （ 2）y
1
2
； （3）y log(2 x 1) ( x 2x 3) ．
log 2 x
7．将函数 f x 2 x 的图象向左平移一个单位得到图象 C1，再将 C1向上平移一个单位得图
象 C2 ，作出 C2 关于直线 y x 对称的图象 C 3 ，则 C 3 对应的函数的解析式为（
五、巩固训练
1．把下列各题的对数式写成指数式：
（1） x = log 5 27 ： ______________；
（ 2） x = log 8 7 ： ______________；
（3） x = log 4 3 ： ______________；
1 （ 4） x log 7 ： ________________ ；
lg 3
（ 3）
2lg 2 1 ；
lg1.2
（4） log 2 8 4 3 log 2 8 4 3 ．
【例 3】求下列各式的值．
（1） log 5 35 ＋ 2 log 1 2 － log 5 1 － log 5 14 ；
2
50
（2）
log 36
4
＋ log
2 6
3．
log18 6
2
【例 4】已知 log 2 3 a ， log3 7 b , 用 a , b 表示 log 42 56 ．
5．【答案】（ 1）原式
．
lg8 lg3 3lg 2 lg 3 3
（ 2）原式
log 2 ( 2) 2
log 3 9 log3 27
2 2
3
8． 3
6．【答案】（ 1） { x x 1} （ 2） { x 0 且 x 1 } 【解析】（ 1）由 x 1 0 得 x 1 ，
1 （ 3） ( ,1) (1,3)
）
A ．[0， 1]
B ．[1， 2]
10．计算 lg 5 lg 8000 (lg 2 3 ) 2 ．
1
1
lg 600 lg 0.036 lg 0.1
2
2
C． [2， 4]
D． [4， 16]
11．（1）已知 log 18 9 a,18b 5,求 log 30 36 值 .
（ 2）已知 log 7 ( 2 2 1) log 2 ( 2 1) a ，求 log 7 (2 2 1) log 2 ( 2 1) ．
12．求函数 y log 1 (x 2 2x 3) 的单调递增区间．
2
13．函数 y = log 1 (x 2－ ax + a) 在 ( , 2] 上是增函数，求实数
2
a 的取值范围 .
参考答案
1．【答案】（ 1） 5 x = 27 ； （ 2） 8 x = 7 ；
（ 3） 4 x = 3 ；
（ 4） 7 x
log 2
3 ，求
2 3x 2x
2 2
3x x
的值．
【例 7】求下列函数的定义域：
（1） y log 0.2 (4 x) ； （2） y
log7 1 ； 1 3x
（3） y
log2 (4x 3) ．
3
【例 8】对于函数 f ( x) log 1 (x 2 2ax 3) ，解答下述问题：
2
（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； （2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围； （3）若函数在 [ 1, ) 内有意义，求实数 a 的取值范围；
）
A ． y log 2 x 1 1
B． y log2 x 1 1
C． y log 2 x 1 1
D． y log 2 x 1 1
2 8．若 log a
3 A．1 a
2 C． a
3
1，则 a 的取值范围是（ 3 2 1
）
B． 0 a 1或1 a 3 2
D． 0
a
2 或a 1
3
9．函数 y f (2 x ) 的定义域为 [1， 2]，则函数 y f (log 2 x) 的定义域为（
（3）求 f ( x) 的反函数 f 1( x) ；
（4）当 f ( x) 定义域区间为 (1, a 2) 时， f ( x) 的值域为 (1, ) ，求 a 的值 .
四、自主归纳 （1）对数函数与指数函数的关系
对数函数 y ＝ log a x （ a ＞ 0 且 a ≠１， x ＞ 0）是指数函数 y a x ( a 0,且a 1) 的
a
对数函数 y ＝ log a x （ a ＞ 0 且 a ≠１， x ＞ 0）都以 y 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向
上无限接近 y 轴，当 a 1 时，图象向下无限接近 y 轴）．
（3）利用对数函数比较大小问题的处理方法：
①看类型
②同底用单调性
③其它类型找中间量．
零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．
【例 5】计算
（1） log 4 9 log 27 25 log125 16 ；
（2） (log 4 3 log 8 3)(log3 2 log9 2) log 1 4 32 ．
2
【例 6】计算：
（1）设 10 a
4 ，b
lg 5 ，求10 2a
b
的值 ．
（2） 2a
5b
10 ，求 1
1
的值．
ab
（3）设 2x
关于直线 y＝ x 对称．
二、释疑拓展
【例 1】填空：
（1） log 2 6 － log 2 3
； （ 2） log3 5 － log 315
；
（3） log 5 75
1 log 5
； （ 4） log 2－ 3（2 + 3）=
．
3
【例 2】求下列各式的值：
（1） log 2 23
45 ；
（ 2） log 5 125 ；
2．对数的运算性质 （1）如果 a＞ 0 且 a≠ 1， M ＞ 0，N＞ 0，那么
① loga(MN )＝ log aM ＋ log aN； M
② loga N ＝ logaM －log aN； ③ logaM n＝nlog aM(n∈ R)； （2）对数的重要公式
log aN ①换底公式： log bN＝ log ab (a，b 均大于零且不等于 1)；
2
所以函数 y log a x 1 ( a 0, a 1) 的定义域是 { x x 1} ．
（2） log 2 x 0 ，且 x 0 ，解得 x 0 且 x 1，
所以函数 y
1 的定义域是 { x 0且 x 1 } ．
log 2 x
2x 1 0 （3） 2x 1 1
x2 2x 3
，得 1
2 0
x 1或1 x 3，
∴ l o g7 ( 2 2 1) l o g2 ( 2 1) 1 a ．
12．【答案】 (－ ∞，－3）
13．【答案】 2 2 ≤a < 2 2 + 2
1
【解析】 因为对数的底为 ，问题转化为在 (
2 且 u( x) = x 2－ ax + a 在 ( , 2] 上是减函数．
1 =
；
3
（5） 2－2 = 1 ； 4
（ 6） 3－4 = 1 ． 81
2．【答案】 C
3．【答案】（ 1） lg 6 lg 2 lg3 0.7781；
6
（ 2） lg 3 lg3 lg 2 0.1761； 2
（ 3） lg32 5lg 2 1.5050 .
4．【答案】（ 1） log 6 9 > 1 ， log 7 5 < 1 ，∴ log 6 9 > log 7 5 ；
1 ② logab＝log ba，推广 log ab·log bc·logcd＝log ad.
n ③ logamM n＝mlog aM (m， n∈ R，且 m≠ 0)．
3．对数函数的图象与性质
a＞ 1
0＜ a＜1
图象
性质
定义域： (0，＋∞ ) 值域： R
当 x＝ 1 时， y＝ 0，即过定点 (1,0)
4
反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线 （2）对数函数图象特征
y = x 对称．
a 0, a 1时， y log a ( x) 与 y log a x 的图象关于 y 轴对称；
1
y log 1 x log a
a
x
log a x ， y log 1 x 与 y log a x 的图象关于 x 轴对称；
一、问题概述
课题 2.7 对数与对数函数
二、知识梳理
1．对数的概念 一般地，如果 ax＝ N(a＞0，且 a≠ 1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝ log aN，
其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．注意：
（1）负数和零没有对数；
（2） log a1＝ 0(a＞ 0，且 a≠ 1)； log aa＝ 1(a＞0，且 a≠1) （3）以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lgN （4）以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 lnN （5）对数恒等式： alogaN＝ N
3
（5） log2 1 =-2： _______________ ； 4
（6） log3 1 =-4 ： _________________ ． 81
2．函数 y
1
x
a
(0＜ a ＜ 1)的反函数的图象大致是（
）
A
B
C
D
3．已知 lg 2 ＝ 0.3010 ， lg 3 ＝ 0.4771，求下列对数的值 (精确到小数点后第四位 )
所以函数 y log (2 x 1) ( x2
7．【答案】 B 8．【答案】 C． 9．【答案】 D
1 2x 3) 的定义域是 ( ,1)
2
(1,3) ．
【解析】∵函数 y f (2 x ) 的定义域为 [1， 2]，即 y f (2 x ) 中的 2 ≤2 x ≤4 ；
再由 2 ≤log 2 x ≤4 ，得 4 ≤x ≤16 ，∴函数 y f (log 2 x) 的定义域为 [4， 16] ． 3
（1） log 0.5 1.8 ， log 0.5 2.1 ； （ 2） log 7 5 ， log 6 7 ；
5．已知 f ( x)
1 log a
mx 是奇函数
（其中 a
0, a
1) ，
x1
（1）求 m 的值；
（3） log2 3 ， log4 5 ， 3 ． 2
（2）讨论 f (x) 的单调性；
∴ log 30 36
log 18 18 log 18 2 log 18 5 log 18 6
1 (log 18 18 log 18 9) b (log 18 18 log 18 3)
2(2 a)
.
2 2b a
（2）∵ l o g7 (2 2 1) l oБайду номын сангаасg2 ( 2 1)
＝ 1 log 7 (2 2 1) log 2 ( 2 1) a
（4）若函数的定义域为 ( ,1) (3, ) ，求实数 a 的值；
（5）若函数的值域为 ( , 1] ，求实数 a 的值；
（6）若函数在 ( ,1] 内为增函数，求实数 a 的取值范围 .
【随堂练习】
7
2lg 2 lg 3
1．计算：（1） lg 14 2lg
lg 7 lg 18 ； （2）
.
3
2 lg 0.36 2lg 2
2．已知 log 3 12 a ，试用 a 表示 log 3 24 ． 3．（ 1）已知 log 2 3 a ， log 3 7 b ，用 a ， b 表示 log 42 56 ；
（ 2）已知 log x a 2, log x b 3,log x c 6, 求 log abc x 的值． log
4．比较下列各组数中两个数的大小：
（ 2） log 3 > 0 ， log 2 0.6 < 0 ，∴ log 3 > log 2 0.6 ；
1
1
（ 3） log 0.7 3 < log 0.7 2 < 0 ，∴ log 3 0.7 = log 0.7 3 > log 0.7 2 = log 2 0.7 ．
lg9 lg32 2lg 3 5lg 2 10
10．【答案】
4 【解析】分子＝ lg 5(3 3 lg 2) 3(lg 2) 2 3lg 5 3lg 2(lg 5 lg 2) 3；
7
36 分母＝ (lg 6 2) lg
1
6 lg 6 2 lg
4；
1000 10
100
∴
原式＝
3
.
4
2( 2 a)
11．【答案】（ 1）
（2） 1-a
2 2b a
【解析】（ 1） 18b 5 ，∴ log18 5 b,