数学中考试题北京市西城区初三代数综合题例题分析

北京市西城区2013年初三数学中考代数综合题例题分析
初中代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要是以方程、函数这两部分为重点，因此牢固的掌握方程、不等式的解法，一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识是解好代数综合题的关键. 解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．
注意知识间的横向联系，在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，这就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口.通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.
解代数综合题用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．
一、中考对代数内容的C 级要求：
1.C 能运用有理数的运算解决简单问题.
2.C 能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值；能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题；能选用恰当的方法进行代数式的变形；能根据需要，运用公式进行变形；能运用因式分解的知识进行代数式变形，解决有关问题.
3.C.会运用一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程解决简单的实际问题.
4.C 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围.
5.C 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题.
6.C 能探索具体问题中的数量关系和变化规律并用函数加以表示；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
7.C 能用一次函数解决实际问题.
8.C 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题.
二、代数综合题的主要类型：
（一）方程与根的判别式
例1．(西城07期末)当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程
22244044450mx x x mx m m -+=-+--=与的根都是整数.
注：分别讨论得范围，验证.
例2．（学探诊基础与综合P9页12题）如果要使关于x 的方程
3
123+=+--m m
m x x 有唯一解，那么m 需要满足 .（m ≠1且m ≠3）
注：此分式方程有唯一解需要所化的整式方程有唯一解且唯一解不是增根.
例3．（总复习指导P128页例2）关于x 的方程()(1)(1)2()a c x x bx c -+-=+有两个相等实根，其中a ，b ，c 为ΔABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若222240a ac b c +-+=，求sinB 和tanA 的值.
注：得到a 、b 、c 的两个方程后，一般可以通过消元和降次来得到两个字母之间的关系．
例4．（总复习指导P128页例3）已知：关于x 的方程(n -1)x 2+mx+1=0①有两个相等的实数根． （1）求证：关于y 的方程m 2x 2-2my - m 2-2n 2+3=0②必有两个不相等的实数根；
（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m 2
n +12n 的值.
注：第（1）问中的证明需抓住隐含条件，适当变形．
（二）实际问题
例1．甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球，球拍一副定价60元，乒乓球每盒定价10元.今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商店品9折优惠.某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）。

设该校要买乒乓球x 盒，所需商品在甲商店购买需用y 1元，在乙商店购买需用y 2元。

（1）请分别写出y 1 、y 2与x 之间的函数关系式（不必注明自变量x 的取值范围）； （2）对x 的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜；
（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。

解：（1） 由题意知，在甲商店购买2副乒乓球拍可获赠4盒乒乓球，因此还需再购买（x -4）盒乒乓球. 所以 y 1=10 (x -4)+60 ×2 , y 1=10x + 80.
因为乙商店规定所有商品9折优惠，所以 y 2=0.9(10x +60×2), y 2=90x +108. (2) 假设y 1>y 2, 即 10x + 80>90x +108, 得x >28.
所以购买乒乓球盒数超过28盒时，在乙商店购买所需商店比较便宜.
当x =28时，y 1= y 2=360. 所以购买28盒乒乓球时，在甲商店购买所需商品和乙商店购买所需商品同样便宜.
从而可知购买乒乓球盒数少于28盒时，在甲商店购买商品比较便宜.
（3）若所需商品全部在一个商店购买，由（2）知购买2副球拍20盒乒乓球时，在甲商店购买比在乙商店购买便宜，在甲商店购买需10×20+80=280元.
若所需商品在两个商店购买，可以到甲商店购买2副球拍，需2×60=120元，同时获赠4盒乒乓球；到乙商店购买16盒乒乓球，需要16×10×90%=144元，共需 120+144=264元.
综上：因为264<280, 所以最佳的购买方案是：到甲商店购买2副乒乓球拍，获赠4盒乒乓球，到乙商店购买16盒乒乓球.
注：第（3）问易漏掉在两个商店购买的可能性.
例2．(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
解：（1）2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）；
（2）210( 5.5)2402.5y x =--+．
100a =-<，∴当 5.5x =时，y 有最大值2402.5．
015x <≤，且x 为整数，
当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． （3）当2200y =时，21011021002200x x -++=，解得：12110x x ==，．
∴当1x =时，5051x +=，当10x =时，5060x +=． ∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．
注：关注对整数的处理.
例3．(2010年山东宁阳一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数
b kx y +=，且65=x 时，55=y ；75=x 时，45=y ．
（1）若该商场获利为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，售价定为多少元时，商
场可以获利最大，最大利润为多少元？
（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
答案：（1）将⎩⎨⎧==55
65
y x
⎩⎨
⎧==45
75
y x 代入b kx y +=中 ⎩⎨
⎧+=+=b
k b
k 75456555 ⎩⎨
⎧=-=120
1
b k ∴120+-=x y ∴W =)60)(120(-+-x x
W =72001802-+-x x W =900)90(2+--x
又∵60≤x ≤60×（1+45%） 即60≤x ≤87 则x =87时获利最多 将x=87代入，得W =－（87-90）2
+900=891元 （2）50072001802≥-+-x x
077001802≤+-x x 0)110)(70(≤--x x
110700110070≤≤⎩⎨
⎧≤-≥-x x x ⎩
⎨⎧≤≥⎩⎨
⎧≥-≤-70110
110070x x x x （舍去）
则11070≤≤x ，但8760≤≤x ∴8770≤≤x
答：（1）x 为87元有最大利润为891元；
（2）范围为8770≤≤x ．
注：第（1）问中因范围的限制最值点并不是顶点．
（三）数形结合思想的应用 例1．比较x 和
x
1
的大小； 利用图像进行函数值大小比较.
注：此题也可改为：一个数与它的倒数相等（大或小），则这个数的取值（范围）是多少？ 还有类似于判断“一个数越大它的倒数就越小”就是判断函数x
y 1
=
的增减性，等等。

例2． (学探诊 P15第4题)平面直角坐标系内，点A （n ,1-n ）一定不在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
例3．（总复习书P30第3题）对任意实数x ，点P （x,x 2-2x ）一定不在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
例4．（2009天津26）
已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点),(T t M 在函数2y 的图象上．
（Ⅰ）若11
32
αβ==
，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为
3
121时，求t 的值；
（Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．
解：（Ⅰ）
212120y x y x bx c y y ==++-=，，，
()210x b x c ∴+-+=.
将1
132
αβ==
，分别代入()2
10x b x c +-+=，得 ()()2
2
111110103322b c b c ⎛⎫⎛⎫
+-⨯+=+-⨯+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，， 解得11
66
b c ==，.
∴函数2y 的解析式为2y 251
66
x x =-+．
方法二：212120y x y x bx c y y ==++-=，，，
()210x b x c ∴+-+=.
∵α、β为方程120y y -=的两个根
∴)31)(21())(()1(2--=--=+-+x x x x c x b x βα=6
1652+-
x x ∴651-
=-b ，61
=c ∴1166
b c ==，
（Ⅱ）由已知，得2
6
AB =，设ABM △的高为h ，
3121
21212
ABM S AB h h ∴===△·，即12144h =. 根据题意，2t T h -=，
由2
1166T t t =+
+，得251166144t t -+-=. 当2
51166144t t -+=-时，解得12512t t ==；
当2
51166144t t -+=时，解得3452521212
t t -+==
，. t ∴的值为55252
121212
-+，
，. （Ⅲ）由已知，得
222b c b c T t bt c αααβββ=++=++=++，，. ()()T t t b ααα∴-=-++，
()()T t t b βββ-=-++，
()()22b c b c αβααββ-=++-++，
化简得()()10b αβαβ-++-=.
01αβ<<<，得0αβ-≠， 10b αβ∴++-=.
有1010b b αββα+=->+=->，.
又01t <<，0t b α∴++>，0t b β++>，
∴当0t a <≤时，T αβ≤≤； 当t αβ<≤时，T αβ<≤； 当1t β<<时，T αβ<<．
方法二：图象法
∵α、β为方程120y y -=的两个根
∴))(()1(2
βα--=+-+x x c x b x
∴βα⋅=c ∵10<<<βα ∴α<c
∴由2y 的图象可知：
∴当0t a <≤时，T αβ≤≤； 当t αβ<≤时，T αβ<≤；
当1t β<<时，T αβ<<．
又：（2007天津26）
已知关于x 的一元二次方程x c bx x =++2有两个实数根21,x x ，且满足01>x ，112>-x x ． （1）试证明0>c ； （2）证明)2(22c b b +>；
（3）对于二次函数c bx x y ++=2，若自变量取值为0x ，其对应的函数值为0y ，则当
100x x <<时，试比较0y 与1x 的大小
解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式 即0)1(2=+-+c x b x ∵ 21,x x 是该方程的两个实数根 ∴ )1(21--=+b x x ，c x x =⋅21 而01,0121>+>>x x x ∴ 0>c （2）212122124)()(x x x x x x -+=-
1424)1(22+--=--=c b b c b ∵ 112>-x x ∴ 1)(212>-x x
于是11422>+--c b b ，即0422>--c b b ∴ )2(22c b b +>
（3）当100x x <<时，有10x y >
∵ c bx x y ++=02
00，1121x c bx x =++
∴ )(12102010c bx x c bx x x y ++-++=-
))((1010b x x x x ++-= ∵ 100x x << ∴ 010<-x x
又∵ 112>-x x ∴ 112+>x x ，12121+>+x x x ∵ )1(21--=+b x x ∴ 12)1(1+>--x b
于是021<+b x （即12
x b
>-） ∵ 100x x << ∴ 010<++b x x
由于010<-x x ，010<++b x x
∴ 0))((1010>++-b x x x x ，即010>-x y ∴ 当100x x <<时，有10x y >．
此题第（3）问亦有相应的图象解法
例5．(2010武汉) 如图．抛物线212y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （2，
3
2
）两点，与x 轴交于另一点B ．
(1) 求此地物线的解析式； (2) 若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点 (不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，
且∠MPQ=45°，设线段OP=x ，MQ=
22
2
y ，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图象交于点F ，H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形? 若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．
解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，
2
3
)两点， ∴⎪⎩
⎪⎨⎧==++2302b b a a ， ∴a = -21，
b =2
3
，
∴拋物线的解析式为y 1= -
21x 2+x +2
3． (2) 作MN ⊥AB ，垂足为N ．由y 1= -21x 2+x +2
3
易得M (1，2)，
N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，
∴AB =4，MN =BN =2，MB =22，∠MBN =45︒．
根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2．
∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ，
P
M Q A B O y
x
N
∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =2
2
y 2⨯22… ． 由 、 得y 2=
21x 2-x +2
5． ∵0≤x <3，
∴y 2与x 的函数关系式为y 2=
21x 2-x +2
5
(0≤x <3) ．
方法二：连接AM 得“一线三等角”的几何背景，由△A MP ∽△BPQ 很快得y 2与x 的函数关系式，可少用一次勾股定理。

(3) 四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是 m +n =2(0≤m ≤2，且m ≠1) ．
∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +2
3
分别与直线x=m ，x=n 的交点， ∴点E 、G 坐标为 E (m ，-
21m 2+m +23)，G (n ，-21n 2+n +2
3
)． 同理，点F 、H 坐标为
F (m ，
21m 2-m +25)，H (n ，21n 2-n +25)． ∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +23
)=m 2-2m +1，
GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +2
3
)=n 2-2n +1．
∵四边形EFHG 是平行四边形，EF =GH ． ∴m 2-2m +1=n 2-2n +1， ∴(m +n -2)(m -n )=0．
由题意知m ≠n ，∴m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1) ． 因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，
m 、n 之间的数量关系是m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)
方法二：利用图象的对称性求解
关于第（3）问的一点想法：
1、两函数图象开口大小方向不同什么时候有解？结果是什么？
2、两函数图象开口大小方向对称轴不同什么时候有解？如果有，结果是什么？
（四）常见解题技巧 1.因式分解与配方：
例1、（2007四川绵阳）已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根．
（1）求x 1，x 2 的值；
O
E F G
H x
y
（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1） 原方程变为：x 2
－（m + 2）x + 2m = p 2
－（m + 2）p + 2m ，
∴ x 2
－p 2
－（m + 2）x +（m + 2）p = 0， （x －p ）（x + p ）－（m + 2）（x －p ）= 0， 即 （x －p ）（x + p －m －2）= 0， ∴ x 1 = p ， x 2 = m + 2－p ．
（2）∵ 直角三角形的面积为
)2(212121p m p x x -+==p m p )2(2
1
212++- =)]4)2(()22(
)2([212
22+-+++--m m p m p =8
)2()22(212
2+++--m m p ，
∴ 当2
2
+=m p 且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为8
)2(2+m 或2
21p ．
例2、已知抛物线22y x mx m =-+-.
（1）求证抛物线与x 轴有两个不同的点；
（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值； 解：（1）证明：令0=y ，则022=-+-m mx x .
因为842+-=∆m m
=04)2(2>+-m ，
所以此抛物线与x 轴有两个不同的交点.
（2）因为关于x 的方程022
=-+-m mx x 的根为2
4
)2(2+-±=
m m x ，
由m 为整数，当4)2(2+-m 为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点. 设224)2(n m =+-（其中n 为整数）， 则4)]2()][2([=---+m n m n
因为)2(-+m n 与)2(--m n 的奇偶性相同，
所以⎩⎨⎧=+-=-+；，2222m n m n 或⎩
⎨⎧-=+--=-+；，
2222m n m n
解得 2=m .
经过检验，当2=m 时，方程022=-+-m mx x 有整数根.
所以2=m .
2.作差与作商比较大小
例1、（2007昌平一模）
（1）请你比较43与2(23)+的大小； （2）已知a 、b 为实数，且1=ab ，设11+++=
b b a a M ，1
1
11+++=b a N ，试比较M 、N 的大小； 解：（1）
()()
24323
4
3443370-+=-++=-<
()2
4
323∴<+
（2）
111111a
b M N a b a b ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
()()()()11221111ab a ab b b a ab a b a b +++-----==++++
又1ab =
0M N ∴-= 即M N =.
例2（2009西城二模）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点为A (0,1)，与x 轴的一个交点B 的坐标为(2,0)．点P 在抛物线上，它的横坐标为2n (01)n <<，作PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明
PD CD 与OC
OB
的大小关系； （3）若将原题中“01n <<”的条件改为“1n >”，其它条件不变，请通过计算说明
（2）中的结论是否仍然成立．
解：（1）如图．
∵ 抛物线2y ax bx c =++的顶点为A (0,1)，经过(2,0)点， ∴ 21y ax =+，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分 又410a +=． 解得14
a =-．
∴ 抛物线的解析式为21
14
y x =-+．- - - - - - -2分
（2）设直线AB 的解析式为y kx b =+．
∵ A (0,1)，B (2,0)，
∴ 1,20.
b k b =⎧⎨+=⎩ 解得
1,
21.
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩ ∴ 直线AB 的解析式为1
12
y x =-+．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
∵ 点P 在抛物线上，它的横坐标为2n (01)n <<，
x
y
1
1
D C
B
O A P
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∴ 点P 的坐标为2(2,1)n n -，且点P 在第一象限． 又∵ PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D ，
∴ 2D x OC n ==，12112
D y n n =-⨯+=-，且点D 在第一象限．
∴ 1CD n =-．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分
22(1)(1)(1)P D PD y y n n n n n n =-=---=-=-．- - - - - - - - - - - - - - - - -5分 ∵ 01n <<，
∴
(1)
1PD n n n CD n -==-． ∵ 22OC n
n OB ==，
∴ PD OC
CD OB
=
．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分 （3）当1n >时，P 、D 两点在第四象限，且P 点在D 点下方（如图7），D P y y >． 点P 的坐标为2(2,1)n n -． ∵ 2D x OC n ==， ∴ 12112
D y n n =-⨯+=-．
∵ D 点在第四象限， ∴ 1D CD y n =-=-， 2(1)(1)(1)D P PD y y n n n n =-=---=-．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7
分 ∵ 1n >，
∴
(1)
1PD n n n CD n -==-． ∵ 22OC n
n OB ==，
∴ PD OC
CD OB
=
仍然成立．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分
3.高中简单知识点的的渗透：
（Ⅰ）互相垂直的两直线k 之积为-1（有时可用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和两点间距离公式解决）
例、（西城07期末24题）抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过点A （
330-，），B （30，）
与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ，在BCD ∆中，边CD 的高为h. （1） 若 c=ka , 求系数k 的值；
（2） 当90ACB ︒
∠=，求a 及h 的值；
（3） 当90ACB ︒
∠≥时,经过探究、猜想请你直接写出h 的取值范围（不
要求书写探究、猜想的过程）. 解：（2）可有互相垂直的直线k 之积为-1，求出 BE 解析式，求出E 点坐标，可求出BE 长.
（Ⅱ）简单高次多项式的因式分解
例、（2007上海24题）如图，在直角坐标平面内，函数m
y x
=
（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ．
图7
x
y
1
1
D C B
O
A
P 4
2
-2
-4
-5
y
x E
D
C B
A
O
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12 （1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标； （2）求证：DC AB ∥；
（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式． 解：（3）A(1,4)、D(0,b)、B(a,b)、C(1,0)
222
1(4)(1)b a b +-=-+且4ab = 322123216320
(2)16(2)0(2)(4)(4)02,4()4
a a a a a a a a a a a a --+=---=-+-===-=舍，
（Ⅲ）抛物线和双曲线的几何定义
例、已知：矩形纸片ABCD 中，26AB =厘米，18.5BC =厘米，点E 在AD 上，且6AE =厘米，点P 是AB 边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图1所示）；
步骤二，过点P 作PT AB ⊥，交MN 所在的直线于点Q ，连接QE （如图2所示）
（1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ _________QE （填“>”、“=”、“<”号）； （2）如图3所示，将纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点11Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ②当6PA =厘米时，PT 与MN 交于点22Q Q ，点的坐标是（_______，_________）；
③当12PA =厘米时，在图3中画出MN PT ，（不要求写画法），并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；
（3）点P 在运动过程，PT 与MN 形成一系列的交点123Q Q Q ，，，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．
解：（1）“=”
（2）①(03)，； ②(66)，
③画图，如图所示．
过点E 作3EG Q P ⊥，垂足为G ，则四边形APGE 是矩形． 6GP =∴，12EG =．
设3Q G x =，则336Q E Q P x ==+．
在3Rt Q EG △中，22233EQ EG Q G =+∵．
x
C
O D
B
A y
A P
B C
M D (P )E B
C 图1 0(A )
B
C
D
E
6
12
18
24 x
y 6
12
18 1Q
2Q
图3
A N P
B
C M
D
E Q
T 图2
0(A ) B C
D
E
6
12
18
24 x
y 6
12
18 1Q
2Q
3Q
F
M G P
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222(6)12x x +=+∴． 9x =∴． ∴Q 3P=15 3(1215)Q ∴，．
（3）这些点形成的图象是一段抛物线．
函数关系式：21
3(026)12
y x x =+≤≤．
抛物线：到定点与到定直线距离相等的点的轨迹
可能考到的还有双曲线：到两定点距离差为定值的点的轨迹，如果学生对这些知识有所了解将很快找到解题的方向。