辽宁省大连市2020届高三下学期第二次模拟考试数学试题理 含答案

辽宁省大连市2020届高三下学期第二次模拟考试
数学试题 理
第I 卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
(1)已知集合2
{|430},{|24}A x x x B x x =-+<=<<则(
)A B =U
()()()()()()()()1,42,32,41,3A B C D
(2)已知,,i a b ∈R 为虚数单位，若a-i 与2+bi 互为共轭复数，则(a+bi)2为( ) (A)5-4i (B)5+4i (C)3-4i (D)3+4i
(3)双曲线2
2
14
x y -=的渐近线方程是( ) 1
()()()2()442
1A y x B y x C y x D y x =±=±=±=±
(4)瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式cos sin (ix
e x i x i =+为虚数单位)”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥
”，
根据欧拉公式可知，e 3i 表示的复数在复平面中位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(5)设函数()()21log 2,1
,1x
x x f x x e ⎧+-<⎪=⎨⎪⎩…
则()()2ln6f f -+=( )
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
(6)已知各项均为正数的数列{a n }为等比数列153416,12,a a a a ⋅=+=则7()a =
(A)16 (B)32 (C)64 (D)256
(7)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是( )
()()
()sin ()sin x x x x A y e e B y e e --=+=- ()
()
()cos ()cos x x
x x C y e e D y e e --=-=+
(8)已知关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：
由上表可得线性回归方程$0.08,y bx
=+$，若规定当维修费用12y >时该设备必须报废，据此模型预报该设
备使用的年限不超过为( ) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10
(9)已知点P 在抛物线C ：2
4,y x =上过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为-1，则点P 坐标为( )
()
)()(1,2)
()1-2()2,22()(2,22)A B C D -，
(10)下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥
平面MNP 的图形的序号是( )
(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④ (11)已知函数()()sin 0,||2f x x πϕωϕω⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
，其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若对,,243x ππ∀⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭不等式()21f x >恒成立，则φ的取值范围是
()()()()3
[,]
,
,126
12362[
,]6A B C D ππ
ππππππ
⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
(12)已知三棱锥,P ABC -面,4,,43PAB ABC PA PB AB ===⊥面，
120,ACB ︒=∠则三棱锥P-ABC 外接球的表面积( )
(A)20π (B)32π (C)64π (D)80π
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上) (13)设向量()2,4=a 与向量(),6x =b 共线，则实数x= ▲
(14)已知5
a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含x 3的项的系数为30，则a 的值为 ▲
(15)数列()1{},1,n
n n n a a a n ++-=则{}n a 的前8项和为 ▲ (16)已知函数()ln
2ex
f x x
=-，则()()2f x f x +-值为 ▲ ;
若
∑
k ＝1
19
f ⎝
⎛
⎭
⎫k 10=19(a+b)，则22
a b +的最小值为 ▲ . 三解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (17)(本小题满分
12分)
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()
222(2)2cos .a c a b c abc C --+= (1)求角B 的大小；（Ⅱ）1,3a b ==若求ABC ∆的面积。

(18)(本小题满分12分)
如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点,,PA CD AB ⊥∥AB ，且PA=CD=2AB=4．将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P-DC-B 连接PA PB BD 、、. (Ⅰ)证明：平面PBD ⊥平面PBC ；
(Ⅱ)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值。

(19)(本小题满分12分)
在创建“全国卫生文明城”的过程中，环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示：
(Ⅰ)已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布()2
,14.5N
μ，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组中的
数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <…；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： (i)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费：
(ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如右表。

现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列概率及数学期望。

附： ()2~)0.6827,P X μσμσμσ-<≤+=若X N(,，则
()()220.9545,330.9973.P X P X μσσμσσμμ-<+=≤=≤-<+
(20)(本小题满分12分)
已知函数()()ln 1,1f x x x a a x =--++ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；
1,x >(Ⅱ)若不等式()1f x >恒成立，求整数a 的最大值
(21)(本小题满分12分)
已知离心率为e ＝2
2的椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的上下顶点分别为()(0,1)0,1,A B -直线I ：
()0x ty m m =+≠与椭圆Q 相交于C ，D 两点，与y 相交于点M ．
(Ⅰ)求椭圆Q 的标准方程；
（Ⅱ）,OC OD ⊥若求OCD 面积的最大值;
(Ⅲ)设直线AC ，BD 相交于点N ，求OM ON ⋅u u u u r u u u r
的值
请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的
极坐标方程为2sin 34ρπθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭曲线C 的参数方程为2cos 3x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
(Ⅱ)求曲线C 上的动点到直线l 距离的最大值. (23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||2|,,.f x x a x b a b =-+∈+R (Ⅰ)若2
1
1,a b ==-
，求()2f x …的解集； ()0,ab >Ⅱ若且f(x)的最小值为2，求2
1
a b
+的最小值
11。