2021版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档 专题5 数列、推理与证明 第24练

第24练 归纳推理与类比推理
[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以填空题的形式考查．题目难度不大，只要把握合情推理的基础理论学问和基本方法即可解决．
体验高考
1．(2021·陕西)观看下列等式： 1－12＝12
， 1－12＋13－14＝13＋14
， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，
据此规律，第n 个等式可为_______________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋1
2n
解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交叉，故第n 个等式左边有2n 项且正负交叉，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－1
2n
；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，
第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发觉第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n .
2．(2022·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 答案 1和3
解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．
3．(2022·陕西)观看分析下表中的数据：
多面体 面数(F ) 顶点数(V )
棱数(E ) 三棱柱
5
6
9
五棱锥 6 6 10 立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是__________________________． 答案 F ＋V －E ＝2
解析 观看F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.
高考必会题型
题型一 利用归纳推理求解相关问题 例1 观看下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …
照此规律，第n 个等式可为______________________．
(2)(2022·山西怀仁一中期中)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是________．
答案 (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋
1n 2
＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)
2
(2)①
解析 (1)观看等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其确定值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2
.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋
1·
n (n ＋1)
2
. (2)第一个图，左下角为黑，然后顺时针旋转，变为其次个图；接下来，相邻的黑块顺时针旋转；所以之后全
部图就应当是相邻的黑块顺时针旋转，故填①. 点评 归纳推理的三个特点
(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；
(2)由归纳推理得到的结论具有猜想的性质，结论是否精确 ，还需要经过规律推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；
(3)归纳推理是一种具有制造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步争辩的起点，挂念发觉问题和提出问题．
变式训练1 已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝1
4，
cos π7cos 2π7cos 3π7＝1
8
，
依据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________． 答案 cos
π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝1
2
n ，n ∈N * 题型二 利用类比推理求解相关问题
例2 半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请写出类比①的等式：________________.上式用语言可以叙述为__________________________． 答案 (4
3
πR 3)′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
解析 圆的面积类比为球的体积，圆的周长类比为球的表面积，那么语言可以叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数，故填(4
3πR 3)′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．
点评 类比推理的一般步骤
(1)定类，即找出两类对象之间可以精确 表述的相像特征；
(2)推想，即用一类对象的已知特征去推想另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简洁推理之中，在不断的推理中提高自己的观看、归纳、类比力量．
变式训练2 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1
4
.推广
到空间可以得到类似结论：已知正四周体P ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1
V 2＝________.
答案
127
解析 从平面图形类比到空间图形，从二维类比三维，可得到如下结论：正四周体的内切球与外接球半径之比为13，所以正四周体的内切球的体积V 1与外接球的体积V 2之比等于V 1V 2＝(13)3＝127
.
高考题型精练
1．设0<θ<π
2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n (n ∈N *)，猜想a n ＝________.
答案 2cos θ2n
－1
解析 a 2＝2＋a 1＝
2＋2cos θ＝
4cos 2θ2＝2cos θ2
，
同理a 3＝
2＋2cos θ2＝2cos θ
4
，
a 4＝2cos θ8，猜想a n ＝2cos θ
2n －
1.
2．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S
k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面
的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 4
4＝K ，
则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝________. 答案
3V K
解析 依据三棱锥的体积公式V ＝1
3SH 得：
13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋1
3S 4H 4＝V ， 即S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4＝3V ， ∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V K
.
3．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
n )也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列
{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为________________． 答案 d n ＝n
c 1·c 2·…·c n
解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)
2d ，
∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d
2，即{b n }为等差数列；
若{c n }是等比数列，
则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q
1＋2＋
…＋(n －1)
＝c n 1
·q n (n －1)2
， ∴d n ＝n
c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12
，即{d n }为等比数列．
4．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m 、n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有： ①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2； ②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；
给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16； (3)f (5,6)＝26.其中正确的个数为________． 答案 3
解析 由题意f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋2＋2 ＝f (1,2)＋2＋2＋2＝f (1,1)＋2＋2＋2＋2＝9，
f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，f (5,6)＝f (5,5)＋2＝f (5,4)＋4＝…＝f (5,1)＋10＝16＋10＝26. 所以三个都正确．
5．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将全部这些乘积的和记为T n ，如： T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝1
2
[62－(12＋22＋32)]＝11；
T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝1
2[102－(12＋22＋32＋42)]＝35；
T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5 ＝1
2[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85， 则T 7＝________.(写出计算结果) 答案 322
解析 由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝1
2[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，
则T 7＝1
2[282－(12＋22＋…＋72)]，
又12＋22＋…＋72＝1
6
n (n ＋1)(2n ＋1)，
∴T 7＝1
2(784－140)＝322.
6．已知下列四个等式 21×1＝2， 22×1×3＝3×4， 23×1×3×5＝4×5×6，
24×1×3×5×7＝5×6×7×8， …
依此类推，猜想第n 个等式为______________________．
答案 2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )
解析 观看给出的四个等式可以发觉第n 个等式的左边是2n 乘上从1开头的n 个奇数， 右边是从(n ＋1)开头的n 个连续正整数的积， 依据这一规律即可归纳出第n 个等式为
2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )．
7．如图1有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图2有体积关系：V P －A ′B ′C ′
V P －ABC
＝________.
答案
P A ′·PB ′·PC ′
P A ·PB ·PC
解析 这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质． 8．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观看下列等式： [1]＋[2]＋[3]＝3，
[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，
[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21. …
依据此规律，第n 个等式的等号右边的结果为________． 答案 2n 2＋n
解析 依据此规律第n 个等式为n 2＋n 2＋1＋…＋
(n ＋1)2－1＝n [(n ＋1)2－1－n 2＋1]＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ，
第n 个等式的右边为2n 2＋n .
9．有以下三个等式：
(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2； (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2； (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.
请观看这三个不等式，猜想出一个一般性的结论______________________． 答案
(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2
解析 依据题意，观看各式得其规律，用式子将规律表示出来，再利用规律进行作差比较进行证明即可． 10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有________________． 答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2
解析 由在长方形中，设一条对角线与其一顶点动身的两条边所成的角分别是α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1，我们依据长方体性质可以类比推理出空间性质，
∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与过A 点的三个面ABCD ，AA 1B 1B 、AA 1D 1D 所成的角分别为α，β，γ，
∴cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝AD 1
AC 1
，
∴cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝AC 2＋AB 21＋AD 2
1
AC 21
＝2(AB 2＋AD 2＋AA 21)
AB 2＋AD 2＋AA 2
1
＝2. 故答案为cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.
11．若P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，则抛物线在点P 处的切线的斜率可以通过如下方法求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，即y ′＝p y ，所以抛物线在点P 处的切线的斜率k ＝p
y 0，请类比
上述方法，求出双曲线x 2－
y 2
2
＝1在点P (2，2)处的切线的方程为________________． 答案 2x －y －2＝0
解析 ∵x 2
－y 2
2
＝1，∴两边同时对x 求导，
得2x －yy ′＝0，即y ′＝2x
y ，∴双曲线在点P (2，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝
2＝2，
∴切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0. 12．设f (x )＝a x ＋a －
x 2，g (x )＝a x －a －
x
2(其中a >0，且a ≠1)．
(1)5＝2＋3，请你推想g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)假如(1)中获得了一个结论，请你推想能否将其推广．
解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －5
2，
因此g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． (2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 于是推想g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明：由于f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x
2，
所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y
2，
f (y )＝a y ＋a －y
2
，
所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a －(x ＋y )
2＝g (x ＋y )．。