高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程211直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2(2)

【解题指南】利用斜率公式求出直线PA，PB的斜率， 根据l与线段AB有公共点，求出l的斜率k的取值范围.
【解析】如图所示：因为点A(-1，2)，B(3，0)，
P(-2，-3)，
所以 kP A 2 3 2 15,kP B 3 2 0 35 3，
由图可知kPB≤k≤kPA， 所以 3 ≤k≤5.
【方法总结】直线斜率公式的应用技巧 求直线斜率的取值范围，当斜率恒正或恒负时，可直 接得出直线斜率的范围；当斜率有正有负时，一般借 助于图形判断，斜率的取值范围一般是小于(或等于) 负的，或大于(或等于)正的.
【跟踪训练】 已知点A(-1，2)，B(3，0)，P(-2，-3)，经过点P的 直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
03 73, x2 52
解得x= 1
10
，所以P的坐标为 (
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
直线AB的倾斜角为 ( )
A.0°
B.45° C.90° D.180°
【解析】选A.因为A，B两点纵坐标相等，所以直线AB
平行于x轴，倾斜角为0°.
类型二 直线的斜率
【典例2】(1)(2018·天津高二检测)过两点A(m，
4)，B(0，3)的直线的倾斜角为60°，则实数m的值
为( )
A . 23 3
A . 2 2
B .1 C .1 D . 3
2
2
()
【解析】选C.k=tan α=tan 45°=1.
3.若直线x=0的倾斜角为α，则α ( )
A.等于0°
B.等于180°
C.等于90°
D.不存在
【解析】选C.直线x=0(即y轴)与x轴垂直，斜率不存
在，倾斜角为90°.
主题2 直线的斜率公式 1.在平面直角坐标系中画出过点P1(1，2)和P2(2，3) 的直线l，并求出其倾斜角与斜率. 提示：直线l如图所示：
主题1 直线的倾斜角和斜率 1.我们知道，两点确定一条直线.一点能确定一条直线 的位置吗？ 提示：不能.
2.如图，过一点P可作无数条直线l1，l2，l3…它们都 经过点P，这些直线的区别在哪里呢？
提示：它们相对x轴正方向的倾斜程度不同.
3.怎样描述这些直线的倾斜程度呢？ 提示：可以以x轴正方向与直线向上方向的夹角大小 来描述直线的倾斜程度. 4.倾斜角确定后，倾斜角的正切值是否确定？ 提示：当倾斜角不等于90°时，其正切值都是确定的.
所以5<m< 1 3 .
2
【方法总结】 1.求直线斜率的两种方法 (1)已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可根据斜率 的定义，利用k=tan α求得.
(2)已知直线经过的两点时，可利用两点连线的斜率
公式k=
y x
2 2
y1 x1
，要注意前提条件x1≠x2.若x1=x2，则
斜率不存在.当两点的横坐标含有字母时，要先讨论
横坐标是否相等再确定直线的斜率.
2.三点共线的应用 (1)若已知三点共线，则可利用过两点的直线斜率相 等，建立关系式，求解有关问题. (2)若判定三点共线，可利用三点坐标计算出两点所 在直线的斜率，若斜率相等，则三点共线.
【拓展】斜率与直线的倾斜程度的对应关系 (1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾 斜(呈上升趋势)，直线的倾斜角为锐角，斜率随着倾 斜角的增大而增大.
【解析】(1)选B.由已知，k=tan α=tan 60°= 3，
又k=
3－4 0－ m
1 ，所以
m
1 m
3，m 3. 3
(2)选D.由题意知， 8 m >1，
m 5
得 8 m 1 >0，
m 5
即 2 m 1 3 <0，
m 5
2 m m 51 30 0， 或 2 m m 5130， 0，
(2)因为直线l的倾斜角为α，所以0°≤α<180°，当 0°≤α+30°<180°，即0°≤α<150°时，直线m的倾 斜角为α+30°，当150°≤α<180°时，直线m的倾斜 角为α-150°.
【方法总结】求直线倾斜角的方法及关注点
【跟踪训练】
(2018·北京高二检测)若A，B两点的纵坐标相等，则
(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾 斜(呈下降趋势)，直线的倾斜角为钝角，斜率随着倾 斜角的增大而增大. (3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合(呈水 平状态)，直线的倾斜角为0°.
【跟踪训练】 已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，C(2， 3 +1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率. (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的 变化范围.
【解析】(1)由斜率公式得kAB=
1
1
1
1
=0.kBC=
3 . kAC=
3
2
11
1
3. 3
3 11 2 1
(2)如图所示：当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转， 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒 有交点，即D在线段AB上时，此时k由kCA增大到kCB， 所以k的取值范围为[ 3 , 3 ] .
结论： 1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交 的直线l，把x轴(正方向)按__逆_时__针__方向绕着交点旋 转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角.
(2)特殊情况：当直线l与x轴平行时，_倾__斜__角__为__0_°__. (3)范围：倾斜角α的取值范围为_0_°__≤__α__<_1_8_0_°__. 2.直线的斜率 (1)概念：倾斜角α的_正__切__值__，即_t_a_n__α__.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
提示：能.如图，过P1作P1Q平行于x轴，过点P2作P2Q
垂直于x轴，交P1Q于Q点，则在Rt△P1P2Q中，
tan∠P2P1Q=xy
2 2
y 1 ，即k=
x1
y 2 .y 1
【解题指南】(1)先求出斜率，再由斜率得直线的倾斜 角. (2)直线l按逆时针旋转，旋转后的角的范围不能确定， 因此不一定是m的倾斜角，需对倾斜角α进行讨论.
【解析】(1)如图，在△ABC中，∠BAC=α，AC=1， BC= 3 ，所以tan α= B C 3 , 所以α=60°.
AC
答案：60°
B . 3 C .3 D .2 3
(2)已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率大于1，
则m的取值范围是 ( )
A.(5，8)
B.(8，+∞)
C. ( 1 3 , 8 )
2
D. ( 5 , 1 3 )
2
【解题指南】(1)运用斜率公式，列出方程求解. (2)求出直线斜率，得到关于m的不等式，求出m的 范围即可.
x2 x1
结论：过两点P1，P2的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线斜率 公式：k___xy_22__xy_11_.
【对点训练】
1.过点(0，0)，(2，2)的直线斜率为_________.
【解析】由斜率公式得，k= 2 0 =1.
20
答案：1
2.斜率为1的直线过点(2，1)，(-3，a)，则
a=_________.
【解析】由斜率公式得： a 1 =1，解得a=-4.
3 2
答案：-4
3.若直线l经过原点和(-1，1)，则直线l的倾斜角大小 为_________. 【解析】由已知，k=tan α=-1，又0°≤α<180°，所 以α=135°. 答案：135°
类型一 直线的倾斜角 【典例1】(1)过点(3，0)和点(4， 3 )的直线的倾斜 角是_________. (2)已知直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点 沿逆时针方向旋转30°，得到直线m，则得到的直线m 的倾斜角为多少？
5
【补偿训练】一条光线从点A(-2，3)射入，经过x轴 上点P反射后，通过点B(5，7)，求点P的坐标.
【解析】因为点A在入射光线上，所以点A关于镜面x
轴的对称点A′在反射光线的反向延长线上，设P点的
坐标为(x，0)，A′的坐标(-2，-3)，则A′，P，B三
点在同一条直线上，即kA′P=kA′B，就是
(2)斜率与倾斜角的对应关系.
图示
倾斜角 (范围)
斜率 (范围)
α= 0°
_k_=_0_
0°<α <90°
_k_>_0_
α=_9_0_°_ 不存在
90°<α <180°
_k_<_0_
【对点训练】 1.下列标出的角α是直线倾斜角的是 ( )
【解析】选A.根据直线倾斜角的概念可知A选项正确.
2.已知直线l的倾斜角α=45°，则直线l的斜率为
3
【补偿训练】(2018·天津高二检测)经过两点A(4，
a)，B(2，3)的直线的倾斜角为45°，则a=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.由已知，k=tan 45°=1，又k= 3－a a－3，
2－4 2
所以a=5.
类型三 直线斜率公式的应用 【典例3】直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)， B(0， 3 )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取 值范围是_________.
复习课件
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.1直线的倾斜角和
斜率课件北师大版必修2(2)
2021/4/17
高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程211直
1
线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2(2)
第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1.1 直线的倾斜角和斜率
一条直线
过点P1作P1Q平行于x轴，过点P2作P2Q垂直于x轴交P1Q 于Q点，则Q点坐标为(2，2)，所以|P1Q|=1， |P2Q|=1，所以∠P2P1Q=45°，即直线l的倾斜角为 45°，所以直线l的斜率k=tan 45°=1.
2.已知直线l的斜率存在，且过P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，能否根据P1和P2的坐标求出直线l的斜率？
【解题指南】数形结合，求出直线与线段有交点和没 有交点分界的地方的斜率，即直线PA与PB的斜率， 进一步得到斜率的取值范围.
【解析】如图，因为 kA P ＝ 1 2 0 1＝ 1， kB P ＝ 0 3 1 0＝ － 3 ， 所以l斜率的取值范围是(-∞，- 3 ]∪[1，+∞).
答案：(-∞，- 3 ]∪[1，+∞)