高考数学(文)大一轮复习课件 选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式

考点一 绝对值不等式的解法 [题组练透]
1．不等式|2x－1|＞3 的解集为________．
解析：由|2x－1|＞3 得， 2x－1＜－3 或 2x－1＞3，即 x＜－1 或 x＞2． 答案：{x|x＜－1 或 x＞2}
2．解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6． 解：法一：当 x>12时，原不等式转化为 4x≤6⇒12<x≤32； 当－12≤x≤12时，原不等式转化为 2≤6，恒成立； 当 x<－12时，原不等式转化为－4x≤6⇒－32≤x<－12． 综上知，原不等式的解集为x|－32≤x≤32．
1．对形如|f(x)|>a 或|f(x)|<a 型的不等式求其解集时，易忽视 a 的符号直接等价转化造成失误．
2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的 条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≤0 时等号成立，其 他类似推导．
[小题纠偏]
1．设 a，b 为满足 ab<0 的实数，那么
3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集是________．
－3，x≤－1， 解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1，－1<x<2，
3，x≥2.
当－1<x<2 时，由 2x－1≥1，解得 1≤x<2．
又当 x≥2 时，f(x)＝3>1 恒成立．
所以不等式的解集为x|x≥1
．
答案： x|x≥1
()
A．|a＋b|>|a－b|
B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b||
D．|a－b|<|a|＋|b|
解析：∵ab<0，
∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|．
答案：B
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值 范围是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4． 答案：[－2,4]
选修 4－5 不等式选讲
第一节
绝对值不等式
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤_|a_|_＋__|b_|_，当且仅 当_a_b_≥__0__时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么_|_a_－__c|_≤__|a_－__b_|_＋__|b_－__c_|_， 当且仅当_(_a_－__b_)_(b_－__c_)_≥__0__时，等号成立．
f(x)<－1 的解集为xx<13或x>5
．
所以|f(x)|>1 的解集为xx<13或1<x<3或x>5
．
[谨记通法] 解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不 含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的 方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
(2)由题意可知，函数 y＝f(x)的图象恒在直线 y＝32x 的上方， 画出两个函数图象可知，当 a≤－2 时，符合题意，当 a＞－ 2 时，只需满足点(a，a＋2)不在点a，32a的下方即可，所以 a＋2≥32a， 即－2＜a≤4． 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，4]．
(2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3， 即x－a2＋12－x≥3－2 a． 又x－a2＋12－xmin＝12－a2， 所以12－a2≥3－2 a，解得 a≥2． 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
[由题悟法] (1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值 的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化 为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常 用的思想方法． (2)f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max＜a． f(x)>a 恒成立⇔f(x)min＞a．
x－4，x≤－1， 解：(1)由题意得 f(x)＝3x－2，－1<x≤32， －x＋4，x>32， 故 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，
当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5．
故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}，
由 f(x)<2 得－2x<2，解得 x>－1；当－12<x<12时，f(x)<2 恒成立；
当 x≥12时，由 f(x)<2 得 2x<2，解得 x<1． 所以 f(x)<2 的解集 M＝{x|－1<x<1}．
(2)证明：由(1)知，当 a，b∈M 时，－1<a<1，－1<b<1，从而 (a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)·(1－b2)<0． 因此|a＋b|<|1＋ab|．
[即时应用] (2016·长春质检)设函数 f(x)＝|x＋2|＋|x－a|(a∈R)． (1)若不等式 f(x)＋a≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)若不等式 f(x)≥32x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：(1)当 a≥0 时，f(x)＋a≥0 恒成立， 当 a＜0 时，要保证 f(x)≥－a 恒成立， 即 f(x)的最小值|a＋2|≥－a， 解得－1≤a＜0，故 a≥－1． 所以实数 a 的取值范围为[－1，＋∞)．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
x|－a<a x|x>a或x<－a x|x∈R且x≠0
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔_－__c_≤__a_x_＋__b_≤__c_； ②|ax＋b|≥c⇔_a_x_＋__b_≥__c_或___a_x_＋__b_≤__－__c_.
考点三 绝对值不等式的综合应用
[典例引领] (2016·全国丙卷)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a． (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)设函数 g(x)＝|2x－1|．当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2． 解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3． 因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}．
考点二 绝对值不等式的证明 [典例引领]
(2016·全国甲卷)已知函数 f(x)＝x－12＋x＋12，M 为不等式 f(x)<2 的解集． (1)求 M； (2)证明：当 a，b∈M 时，|a＋b|<|1＋ab|．
－2x，x≤－12， 解：(1)f(x)＝1，－12<x<12，
2x，x≥12.
当 x≤－12时，
法二：原不等式可化为x－12＋x＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过 3 的点的集 合，数形结合知，当 x＝32或 x＝－32时，到12，－12两点的距离之 和恰好为 3，故当－32≤x≤32时，满足题意，则原不等式的解集 为x|－32≤x≤32．
3．(2016·全国乙卷)已知函数 f(x)＝|x＋ 1|－|2x－3|． (1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1 的解集．
[由题悟法] 证明绝对值不等式主要的 3 种方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再 证明． (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
[即时应用] 已知 x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14， 求证：|x＋5y|≤1． 证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|． ∴由绝对值不等式的性质，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| ＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1． 即|x＋5y|≤1．
[小题体验]
1．若不等式|kx－4|≤2 的解集为x|1≤x≤3，则实数 k＝________． 解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6． ∵不等式的解集为x|1≤x≤3，∴k＝2． 答案：2
2．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函数 y 的最小值为 8． 答案：8