高中数学复习提升椭圆面积最大值和中点弦问题.
高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。
高中数学椭圆定值、最值大题解题方法汇总
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c
c
，依题意
a
6， 3
a 3，
b 1，所求椭圆方程为 x2 y2 1． 3
（Ⅱ）设 A(x1，y1) ， B(x2，y2 ) ．（1）当 AB⊥ x 轴时， AB 3 ．
（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m ．
由已知 m 3 ，得 m2 3 (k 2 1) ．
3(m2 4k 2 ) 3 4k 2
.
Q 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), kAD kBD 1 ，
y1 x1
2
y2 x2
2
1，
y1 y2
x1x2
2( x1
x2 )
4
0，
3(m2 4k 2 ) 3 4k 2
4(m2 3) 3 4k 2
16mk 3 4k 2
4
且∠AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的
取值范围.
解：（Ⅰ）易知 a 2 ， b 1， c 3 ．
∴ F1( 3,0) ， F2( 3,0) ．设 P(x, y) (x 0, y 0) ．则
uuur uuuur PF1 PF2 (
3 x, y)(
3 x, y) x2 y2 3 5 ， 4
又
x2 4
y2Βιβλιοθήκη 1，联立x2 x2
4
y2 y2
7 4
1
x2
，解得
y
2
1 3
4
x y
1 3
2
，
P(1, 3 ) 2．
山东省青岛第二中学
（Ⅱ）显然 x 0 不满足题设条件．可设 l 的方程为 y kx 2 ，
椭圆中点弦问题
椭圆中点弦问题椭圆中点弦问题是一个关于椭圆的数学问题，也可以被称为“椭圆中心弦”或“椭圆最大弦”问题。
它涉及如何找出椭圆上一条最长的弦，该弦以椭圆的中心为中点。
椭圆是一种广泛使用的几何图形，可以用来描述许多天然景观和人造物体的形状。
椭圆的形状可以表示为一个复杂的方程，它的形状取决于该方程的参数。
对于椭圆来说，椭圆中心弦问题就是找到以椭圆中心为中点的最长弦。
要解决椭圆中点弦问题，首先要了解椭圆的方程形式。
椭圆的方程可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，a和b分别代表椭圆的长轴和短轴，可以用来描述椭圆的形状。
椭圆的中心是 (h，k)，它可以使用以下方程表示：$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$其中，r 是椭圆的半径，它是由a和b决定的。
要求椭圆中心弦的长度，可以使用另一种方程来描述椭圆：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$该方程将椭圆和中心弦结合起来，可以用来求解椭圆中心弦的长度。
使用这种方程，可以将椭圆中心弦问题转化为求解一元二次方程的问题，即：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$求解该方程，可以得到椭圆中心弦的端点，即：$$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$$当椭圆中心弦的端点确定时，可以使用勾股定理求解椭圆中心弦的长度：$$L=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$椭圆中点弦问题是一个重要的几何问题，也是一个相当有趣的数学难题。
它不仅考验几何基础知识，还考验学生的推理能力。
本文介绍了椭圆中心弦问题的基本思想，并详细介绍了解决该问题的方法，希望能够对学生的学习有所帮助。
苏教版高中数学高考二轮复习专题：椭圆中面积最值问题
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
典例剖析
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
先画图 线参数
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典例剖析
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椭圆中面积最值问题
高三 数学
考点概述
椭圆背景下的面积问题，是椭圆性质的进一步应用．解 决这类问题的基本思路是根据问题中几何元素在变化过程中 互相制约的关系，找到构建面积的合理路径，构建可解出范 围的函数．这节课主要以椭圆中的三角形面积为例．
典例剖析
斜率参数
典例剖析
建立面积关于斜率的函数
典例剖析
点参数
建立面积关于坐标分量 的二元(或一元)函数
也可以三角换元 求此最值
典例剖析
先画图
典例剖析
线参数
D
参数m, n的关系
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典例剖析
D
建立面积函数
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
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苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
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1． 生 活 在 新 时代的 我们， 除了认 真学习 ，提高 自己的 知识水 平之外 ，社会 上的一 些热点 问题也 不容忽 视，这 是我们 应该思 考探究 的。1． 史料 一论述 了唐诗 的成就 及地位 。史料 一方面 说明唐 代诗人 和作品 众多， 另一方 面说明 唐代诗 歌内容 的广泛 ，全面 反映了 社会各 阶层人 物的生 活状况 和精神 面貌。 2． 史 料 二 反 映了宋 词的特 点及盛 行的原 因。史 料主要 说明宋 词具有 世俗化 的特点 ，其盛 行源于 民间市 民阶层 娱乐的 需要。
高中数学：中点弦问题
⾼中数学：中点弦问题
⼀、⽤点差法求斜率及常⽤公式
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常⽤点差法求斜率，关于点差法求斜率的⽅法，证明过程如下：
这是⼀个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，
因为⽅法过程简单但是繁琐，在⼩题⾥⾯可以直接利⽤结论来求
出相关的斜率，常⽤结论如下：
⼆、利⽤导数法求解中点弦问题
探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中⼜有两个量，能不能减少未知量的个数，利⽤中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：
从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，⽽过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式⼦相减得到公共弦，这跟两个圆⽅程相减得到相交弦⽅程⼀样。
那么如果点A的位置不在椭圆内⽽在椭圆上的话，从上⾯可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置关系相切，如上图右。
所以上⾯的结论可以直接⽤来写出椭圆的切线⽅程，当然先⽤导数求得斜率，再⽤点斜式写出切线⽅程也可以，只不过没有上⾯的结论简洁直接，但是这跟⽤导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：
很多学⽣问点A⼜不在椭圆上，为什么求导可以直接代⼊点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭圆上，但是⼀定在把椭圆按⽐例缩⼩的椭圆上，此时对缩⼩之后的椭圆进⾏求导可以发现不改变原椭圆⽅程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆⽅程进⾏求导，代⼊点求得过点A的直线的斜率。
椭圆弦中点公式
椭圆弦中点公式椭圆弦中点公式是一种用于计算椭圆上两点之间弦的中点坐标的公式，它在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
本文将介绍椭圆弦中点公式的推导、应用以及相关的定理和公式。
一、椭圆弦中点公式的推导椭圆弦中点公式的推导基于椭圆的参数方程：x=a*cosθy=b*sinθ其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴，θ为椭圆上的参数。
假设椭圆上有两点A和B，它们的参数分别为θ1和θ2。
我们可以通过参数方程求出这两点的坐标：Ax=a*cosθ1Ay=b*sinθ1Bx=a*cosθ2By=b*sinθ2接下来，我们可以求出两点之间的弦的中点坐标。
首先，我们可以求出弦的中点坐标的x坐标：Mx=(Ax+Bx)/2=(a*cosθ1+a*cosθ2)/2接着，我们可以求出弦的中点坐标的y坐标：My=(Ay+By)/2=(b*sinθ1+b*sinθ2)/2因此，椭圆弦中点的坐标为：(Mx,My)=((a*cosθ1+a*cosθ2)/2,(b*sinθ1+b*sinθ2)/2) 这就是椭圆弦中点公式的推导过程。
二、椭圆弦中点公式的应用椭圆弦中点公式在物理和工程领域中有广泛的应用。
例如，它可以用于计算椭圆形轨道上的物体的运动轨迹，以及计算两个椭圆形物体之间的相对位置和速度。
在物理学中，椭圆弦中点公式可以用于计算行星在椭圆形轨道上的运动轨迹。
根据开普勒第二定律，行星在椭圆形轨道上的面积速率是恒定的。
因此，我们可以通过椭圆弦中点公式计算行星在不同位置的速度和位置。
在工程学中，椭圆弦中点公式可以用于计算两个椭圆形物体之间的相对位置和速度。
例如，当一个椭圆形物体绕另一个椭圆形物体旋转时，我们可以使用椭圆弦中点公式计算它们之间的相对位置和速度，以便设计合适的控制系统。
三、相关的定理和公式除了椭圆弦中点公式之外，还有一些与椭圆相关的定理和公式。
这些定理和公式可以帮助我们更好地理解和应用椭圆弦中点公式。
1. 椭圆的离心率椭圆的离心率定义为椭圆的焦距长度与长轴长度之比。
一轮复习大题专练56—椭圆(面积最值问题1)—2022届高三数学一轮复习
一轮复习大题专练56—椭圆（面积最值问题1）（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)D的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求OAB∆面积的最大值．解：（1）设椭圆C的方程：22221(0) x ya ba b+=>>，由直线0xmy+=恒过点，所以c=，由24b=，2b=，所以2229a b c=+=，所以22194x y+=；（2）由(1,0)D在椭圆内部，故直线l与椭圆必有两个不同的交点，由题意可知，当直线l垂直于y轴时，显然部成立，设直线l的方程为1x my=+，1(A x，1)y，2(B x，2)y，则221194x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，整理得22(49)8320m y my++-=，则122894my ym+=-+，1223294y ym=-+，所以121211||||||22OABS OD y y y y∆=⨯⨯-=-，所以121 OABS∆====，t ，2t，由14ytt=+在)+∞单调递增，所以14422tt++=，所以92AOBS∆=0m=时，取“=”，所以OAB∆面积的最大值3．满足002P T P P =，且点（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F ，2F 分别作平行直线1l 和2l ，设1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点D ，E ，求四边形ABDE 的面积的最大值．解：（1）设点(,)T x y ，0(P x ，0)y ，则点00(P x ，0)，00(,)PT x x y =-，00(0,)P P y =， 002P T P P=，∴000x x y -=⎧⎪⎨⎪⎩，∴00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点0(P x ，0)y在椭圆C 上，∴222212x y a b+=，即为点T 的轨迹方程． 又点T 的轨迹是过Q 的圆， ∴2222212a b b⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+， 联立方程22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(2)210t y ty ++-=．设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则△28(1)0t =+>，且1221222212t yy t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以||DE ==，同理||AB =，又1l 与2l的距离为d =所以，四边形ABDE的面积为||S DE d =⨯=u =，则1u ，且2421112S u u u u===++⋅当且仅当1u =，即0t =时等号成立． 所以，四边形ABDE 的面积最大值为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆C 相交的交点A 、B 与右焦点2F 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 解：（1）P 到焦点的最大值和最小值分别为：a c +，a c -， 由题意可得13a c a c -=+，① 1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为223b a=②， 又222a b c =+③，由①②③可得24a =，23b =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得左焦点1(1,0)F -，假设存在这样的直线AB ，由于直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：1x my =-， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理可得：22(43)690m y my +--=，可得：122643m y y m +=+，122943y y m=-+， 所以2221212122223636121||()4(43)43m m y y y y y y m m +-=+-=+=++，令211m t +=，可得：221m t =-，所以22111313m t t t t+==++，1t 时1()13f t t t =+单调递减，所以1t =时，()f t 最大为14，所以12||y y -的最大值为：11234⨯=， 所以2121211||||23322ABF SF F y y c =⋅-⋅⋅=， 设2ABF ∆的内切圆的半径为r ， 因为2ABF ∆的周长为4428a =⨯=， 21442ABF Sa r r =⋅⋅=， 所以43r ，r 的最大值为34，这时内切圆的半径最大．且2916S r ππ=内切圆， 即存在这样的内切圆的面积的最大值为916π． 4．如图所示，1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上一动点，当点P 在椭圆C 的上顶点时，123cos 5F PF ∠=且2122PF F F ⋅=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线2PF 与椭圆C 的另一交点为Q ，过1F 作直线PQ 的垂线l ，l 与圆222x y b +=交于A 、B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．解：（1）由题意设(0,)P b ，则由余弦定理可得：22212(2)3cos 25a a c F PF a a +-∠==⋅①，212(PF F F c ⋅=，)(2b c -⋅，20)22c ==②，由①②得21c =，25a =，于是2224b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程是：22154x y +=；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，||4AB =，||PQ = 则四边形APBQ， 当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y ，将(1)y k x =-与22154x y +=联立并消去y ，整理得2222(54)105200k x k x k +-+-=，△0>恒成立，则21221054k x x k +=+，212252054k x x k -⋅=+，则||PQ ，由于直线l 与直线PQ 垂直，且经过点1F ，∴直线l 的方程为10x ky ++=，∴点O 到直线l，∴||2AB =，则四边形APBQ的面积：1||||2S AB PQ =⨯⨯===，∴5)2，于是S ∈（当0k =时取得最大值）， 综上可知，四边形APBQ面积的最大值为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知A 、B 、C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积． 解：（1）因为△12PF F的周长是4+12||F F =， 所以12||||4PF PF +=，所以24a =，解得2a =， 又c =，所以222431b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，则222122212216(41)44144414k m m x x k m x x k ⎧⎪=-+⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，又0OA OB OC ++=，所以12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩， 又12121222(2)14my y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+，所以3232814214km x k m y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，将点3(x ，3)y 代入椭圆方程，可得222282()4()41414km m k k +-=++， 化简，可得22414m k =+，又点O 到直线AB 的距离为d =，所以12OABS ∆==，因为0OA OB OC ++=，则点O 为ABC ∆的重心， 所以3ABC OAB S S ∆∆=⋅ 当直线AB 的斜率不存在时，根据坐标关系，可得直线AB的方程为1x=±，此时A，因为点O为ABC∆的重心，所以13312ABC OABS S∆∆==⨯综上所述，ABC∆．点分别为E和F，求EOF∆面积的最小值．解：（1）因为上顶点A坐标为(0,1)，则2221bcaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1,a b c===所以椭圆的方程为2214xy+=，设(,)M x y，则2222222116||(1)4(1)213253()33 MA x y y y y y y y=+-=-+-+=--+=-++，故当13y=-时，||MA（2）设(M x，)y，1(P x，1)y，2(Q x，)y，由题意可知PQ斜率存在，且不为0，所以00x y≠，则直线MP和MQ的方程分别为2113bx x y y+=，2223bx x y y+=，因为点M在MP和MQ上，所以有210103bx x y y+=，220203bx x y y+=，则P，Q两点的坐标满足方程2003bx x y y+=，所以直线PQ的方程为2003bx x y y+=，可得20(,0)3b E x 和20(0,)3b F y ， 所以4001||||218||EOFb S OE OF x y ∆=⋅=， 因为22222200b x a y a b +=，222200002||b x a y ab x y +， 所以00||2abx y ， 故430018||9EOFb b S x y a ∆=，当且仅当222222002a b b x a y ==时取“=”， 故EOF ∆面积的最小值为39b a．。
【高中数学】秒杀秘诀MS03椭圆的弦长公式与中点弦问题
椭圆的弦长公式与中点弦问题1.k 为何值时,直线y=kx+2和曲线2x +3y =6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦）椭圆()222210,0x y a b a b+=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将y kx m =+代入22221x y a b +=得：()22222222220b k a x a km x a m a b +++-=()212222222122222a kmx x b k a a m b x x b k a ⎧-+=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩()22222222221121222221141ab b k a m AB k x x k x x x x kb k a +-∴=+-=++-=++例1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A、B 两点，求AB 的弦长解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将12y x =+代入2212x y +=得：233202x x +-=12122312x x x x ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩222121113AB k x x ∴=+-=椭圆与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=+-用来判断是否有交点问题。
面积问题：椭圆与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
设C 到l 的距离为d ，则22220000222211221ABCkx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅+-===++例2：已知椭圆C :22221x y a b +=22221(0)x y a b a b+=>>A B 、的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M 、N .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解：(Ⅰ)22;2,22c a e c b a ===⇒==；故椭圆方程为22142x y +=；(Ⅱ)12AMN S MN d ∆=，设()()1122,,,M x y N x y 则()()()22222121121214MN x x y y k x x x x =-+-=++-；将y kx k=-代入22142x y +=得：()2222428480k x k x k +---=212221228424842k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨--⎪⋅=⎪+⎩；222011k k k d k k --==++；22422222411072502243AMN k k k S MN d k k k ∆⋅⋅+-===⇒--=+，即()()2275101k k k +-=⇒=±。
椭圆的最值问题
椭圆的最值问题椭圆的最值问题是指在一个给定的椭圆内，找出某个函数的最大值或最小值。
为了解决这个问题，可以利用椭圆的性质和数学方法进行分析。
首先，我们需要确定椭圆的方程。
一个标准的椭圆方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴的长度。
接下来，我们需要确定要求最值的函数。
假设要求椭圆内的某个函数f(x, y) 的最大值或最小值。
有两种常见的方法可以解决椭圆的最值问题：1. 极值点法：我们可以计算函数f(x, y) 在椭圆边界上的极值点，并比较它们的函数值，找到最大值或最小值。
这可以通过拉格朗日乘数法等方法来实现。
2. 参数化法：我们可以将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t)，其中t 是一个参数。
然后将函数f(x, y) 在参数t 的取值范围内进行优化，找到最大值或最小值。
这可以通过微积分的方法来实现。
需要注意的是，在解决椭圆的最值问题时，我们还需要考虑函数f(x, y) 的定义域是否在椭圆内。
如果定义域超出了椭圆的范围，则需要对其进行限制或者使用其他方法进行求解。
椭圆的最值问题可以通过极值点法或参数化法来解决，具体的方法取决于具体的问题和函数形式。
通过合理选择方法并利用数学工具，我们可以有效地求解椭圆内函数的最大值或最小值。
当使用参数化法解决椭圆的最值问题时，以下是一些常见的步骤：1. 将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t)，其中(h,k) 是椭圆的中心坐标，a 和b 分别是椭圆在x 轴和y 轴上的半长轴和半短轴的长度。
2. 将函数f(x, y) 表示为f(t) 的形式，即将函数中的x 和y 替换为参数t 的表达式。
这样，问题就被转化为在参数t 的取值范围内寻找f(t) 的最大值或最小值。
3. 确定参数t 的取值范围。
最新江苏省届高考数学二轮复习专题26椭圆中定值和最值问题精品课件
专题二十六 │ 要点热点探究
► 探究点三 椭圆和圆的综合问题
椭圆和圆的综合问题中，题目中存在多种曲线混合的现 象，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及
例 4 如图 26－2，已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别 为 F1、F2，其右准线 l 与 x 轴的交点为 T，过椭圆的上顶点 A 作椭圆 的右准线 l 的垂线，垂足为 D，四边形 AF1F2D 为平行四边形．
∵B→F＝3F→C，∴CE＝13b，EF＝13c，则 C43c，b3，代入①得：
43ac22＋b3b22＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.
专题二十六 │ 要点热点探究
设 P(x0，y0)，则 x20＋2y20＝2c2，
此时 C43c，3c，AC＝23 5c，S△ABC＝12·2c·43c＝43c2， 直线 AC 的方程为：x＋2y－2c＝0，
(1)求椭圆的离心率； (2)设线段 F2D 与椭圆交于点 M，是否存在实数 λ，使T→A＝λT→M？ 若存在，求出实数 λ 的值；若不存在，请说明理由； (3)若 B 是直线 l 上一动点，且△AF2B 外接圆面积的最小值是 4π， 求椭圆方程．
图 26－2
专题二十六│ 要点热点探究
【解答】 (1)依题意：AD＝F1F2，即ac2＝2c，所以离心率 e＝ 22.
(1)求证：A，C，T 三点共线； (2)如果B→F＝3F→C，四边形 APCB 面积的最大值为 63＋2， 求此时椭圆的方程和点 P 的坐标．
图 26－1
专题二十六 │ 要点热点探究
【解答】 (1)证明：设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，①
AT：ax2＋by＝1，② BF：xc＋－yb＝1，③
苏教版高中数学高考二轮复习专题：椭圆中面积最值问题
参数m, n的关系
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题(共15张 PPT)
典例剖析
D
建立面积函数
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解法提炼
求椭圆中三角形面积的最值： (1)解题方向：建立面积关于某个(某些)变量的函数． (2)实现策略
典例剖析
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典例剖析
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典例剖析
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斜率参数
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椭圆中面积最值问题
高三 数学
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题(共15张 PPT)
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考点概述
椭圆背景下的面积问题，是椭圆性质的进一步应用．解 决这类问题的基本思路是根据问题中几何元素在变化过程中 互相制约的关系，找到构建面积的合理路径，构建可解出范 围的函数．这节课主要以椭圆中的三角形面积为例．
2022届高考数学圆锥曲线重难点专题02 椭圆的焦点弦中点弦弦长问题(解析版)
，当且仅当 ，即 时取“=”.
又 ，所以 .
所以 ，由勾股定理可知： ，所以 .
四、解答题
17．已知椭圆的短轴长为 ，焦点坐标分别是 和 .
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）直线 与椭圆交于 ､ 两点，且 中点为 ，求直线 的方程.
【解析】∵焦点坐标分别是 和 ，
（2）求 面积的最大值，并求此时直线 的方程.
【解析】（1）由题意得 ，解得 ，∴ ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）由 得， .
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
又点 到直线 的距离为 .
所以 的面积为 ，
当且仅当 即 时， 的面积有最大值为1，
此时直线 的方程为 .
21．已知椭圆C: 的离心率 ，直线l过点 和 ，且坐标原点O到直线l的距离为 .
A． B． C． D．
【解析】将 或 代入椭圆的标准方程得 ， ，
解得 ，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是 .故选：D.
3．已知F是椭圆 的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（）
A．6B．15C．20D．12
【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
（2）若 ，过 的直线l交椭圆C于M､N两点，且直线l倾斜角为 ，求 的面积.
【解析】（1）由题设， ，则 ，故 ，
∴椭圆C的标准方程为 .
（2）由题设易知：直线l为 ，联立椭圆并整理得： ，
∴ ， ，则 ，
到 的距离为 ，∴
19．椭圆 经过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为 的直线l与椭圆交于A，B两点，当 时，求直线 的方程
椭圆中的最值问题备考策略 2019高考绝密资料
椭圆中的最值问题备考策略主标题：椭圆中的最值问题备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词:椭圆，最值，备考策略 难度：5 重要程度：5考点一：求离心率的最值问题【例1】若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax y k a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+a x y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或2222)ab a b -，得：0b a <≤，由e =，故136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 考点二：利用椭圆的定义求有关最值【例2】已知点P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动， 求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
高考数学复习专题15解析几何椭圆中的最值问题考点剖析
椭圆中的最值问题主标题： 副标题：为学生详细的分析椭圆中的最值问题的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：椭圆，椭圆中的最值问题难度：5重要程度：4考点剖析：1.理解椭圆中的最值问题；2．会处理有关椭圆中的最值问题，命题方向： 椭圆中的最值问题以及与向量、不等式、方程结合的问题常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度．主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。
能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。
规律总结： 圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。
要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。
知识梳理（1） 设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
（2） 设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。
（3） 椭圆12222=+by a x 上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
（4） 若椭圆12222=+by a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。
（5） 椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
高考数学讲义椭圆之中点弦问题
2014年二轮复习椭圆之中点弦问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455椭圆之中点弦问题高考大纲自检自查必考点圆锥曲线总结：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
中点弦常考题型（1）1||||PQ ABPB PA PQ AB k k =⇔⊥⇔=-设1122(,),(,)A x y B x y ，注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的，其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++=，即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.自检自查必考点P QBAOyx21222212Q kmx x b x k a b+==-+ 22222222222222222111Q Q k m k m m k m m b b a b a y kx m m k k k a b a b a b -++=+=-+==+++ （由Q x 求Q y 分子是可消去的）故中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 定点P 设为(,)s t则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km km k x ss b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b km k k s b a b-+=---+ 2222222211()()km k km k kt s a a b b a b -+=++ 22222111()()()k km kt s a b a b -=++（2）以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y yx y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b ==+=-+1212122()P Q y y y y kx m kx m k x x ==+=+++=++ 222222222222222211k m m k m m b a b a k k a b a b -++==++注意：1.不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ，因为点P 不在直线上. 2.由P x 求P y 分子是可消去的.故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上. 则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b +得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+ 注意：分母不要通分和化简，均采用整体法进行处理. （3）弦AB 的垂直平分线交,x y 轴分别为点,N M中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m km a b y x k k k a b a b-=-+++ 令0x =，得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b -+ 令0y =，得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+【例1】 已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.【例2】 证明在椭圆222210x y a ba b +=（＞＞）中，若直线l 与椭圆相交于M N 、两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.例题精讲【例3】 在直角坐标平面内，已知点(2,0),(2,0)A B -， P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为34-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)2作直线l 与轨迹C 交于E F 、两点，线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.【例4】 设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.【例5】 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A B O 、，为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.。
椭圆过定点的弦的面积的最值
椭圆过定点的弦的面积的最值椭圆是一种特殊的曲线，它具有许多独特的性质和特点。
本文将探讨椭圆上过定点的弦的面积的最值。
椭圆是一个平面上的闭合曲线，它可以由一根固定的线段和一个动点构成。
椭圆的定义是到两个焦点的距离之和是常数。
这个常数定义了椭圆的形状和大小。
我们知道，椭圆上的任意一条弦都可以被看作是椭圆的两个焦点所确定的直径。
而椭圆上过定点的弦的面积则是由这条弦所确定的两个焦点和定点所构成的三角形的面积。
那么如何求这个三角形的面积呢？我们可以利用三角形的面积公式，即面积等于底边乘以高再除以2。
对于椭圆上过定点的弦，我们可以将弦的长度作为底边，并将定点到椭圆的焦点的距离作为高。
根据椭圆的性质，椭圆上过定点的弦的长度是固定的，而定点到椭圆的焦点的距离是可变的。
因此，要使弦的面积最大或最小，就需要使定点到椭圆的焦点的距离最大或最小。
当定点到椭圆的焦点的距离最大时，弦的面积也就最大。
这时，定点到椭圆的焦点的距离等于椭圆的长半轴的长度。
同理，当定点到椭圆的焦点的距离最小时，弦的面积也就最小。
这时，定点到椭圆的焦点的距离等于椭圆的短半轴的长度。
椭圆过定点的弦的面积的最值取决于定点到椭圆的焦点的距离。
当距离等于椭圆的长半轴时，面积最大；当距离等于椭圆的短半轴时，面积最小。
通过对椭圆的性质和弦的面积的分析，我们可以得出椭圆过定点的弦的面积的最值是与椭圆的长半轴和短半轴的长度有关的。
在实际问题中，我们可以通过给定椭圆的长半轴和短半轴的长度，来求解椭圆过定点的弦的面积的最值。
总结起来，椭圆过定点的弦的面积的最值取决于定点到椭圆的焦点的距离，当距离等于椭圆的长半轴时，面积最大；当距离等于椭圆的短半轴时，面积最小。
这个问题涉及到椭圆的性质和三角形的面积公式，通过分析可以得出结论。