新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(有答案解析)(2)

一、选择题
1．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =
（ ）
A ．6
B ．12
C ．15
D ．30 2．已知正方形ABCD 中，对角线4AC =，这个正方形的面积是（ ） A ．8 B ．16 C ．82 D ．162 3．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，A
E 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB B
F =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．①②④ 4．下列命题为假命题的是（ ）
A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
B ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等．
C ．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合．
D ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
5．下列命题中，错误的是 （ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；
B ．对角线相等的菱形是正方形；
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；
D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 6．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A ．90D ∠=；
B ．AB CD =；
C ．A
D BC =； D ．BC CD =． 7．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，
E 、
F 分别为AP 、RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长不变
C ．线段EF 的长逐渐减小
D ．线段EF 的长与点P 的位置有关 8．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O D
E 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝6，BE ＝2，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）
A ．60
B ．30
C ．20
D ．16
10．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．如图，将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①BDF 是等腰三角形 ②12DE BC =
③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）
A ．3
B ．423
C ．2
D ．352
二、填空题
13．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．
14．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______． 15．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．
16．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．
17．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．
18．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有
__________．
①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．
19．如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是AB 上一动点，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是________．
20．如图，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，
（1）若18cm,24cm AC BD ==，则AO =_______，BO =_______．又若13AB =厘米，则COD △的周长为________．
（2）若AOB 的周长为30cm ，12cm AB =，则对角线AC 与BD 的和是________．
三、解答题
21．如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝3，延长AC 到E ，使得CE ＝CD ，连接BE ．
（1）求证：∠ACB ＝90°；
（2）求线段BE 的长度．
22．已知：线段,a b ，α∠（如图），用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段,a b ，且两条对角线所成的一个角等于α∠．
23．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．
（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；
②作边AC 的中点E ，连接DE ；
（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．
24．已知：AB ⊥CD 于点O ，AB=AC=CD ，点I 是∠BAC ，∠ACD 的平分线的交点，连接IB ，ID
（1）求证：IA ID =且IA ID ⊥；
（2）填空：
①∠AIC+∠BID=_________度；
②S IBD ∆______S AIC ∆(填“﹥”“﹤”“=”)
（3）将（2）小题中的第②结论加以证明．
25．已知点()0,6B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，连接BC ，分别以OC 和BC 为边长作等边ODC △和EBC ，连接DE ．
（1）如图（a ），当D 点在OBC 内部时，求证：BO DE =；
（2）如图（b ），当D 点在OBC 外部时，上述结论是否还成立？请说明理由．
（3）当D 点恰好落在EBC 的边上时，利用图（c ）探究分析后，直接写出ODC △的高的长度为______．
26．下图所示的三种拼块A ，B ，C ，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A 的拼块的面积为3个单位．
现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．
（1）若用1个A 种拼块，2个B 种拼块，4个C 种拼块，则拼出的正方形的面积为 个单位；
（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A 种拼块和1个B 种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A ，B ，C 三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，
BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得22
2
462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．
【详解】
解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，
在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒，
ADG ABE(SAS)∴△≌△，
,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，
45EAF ∠=︒ ，
45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，
GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒，
GAF=EAF ∴∠∠，
又AF=AF ，
AFG AEG ∴△≌△(SAS)，
EF=FG ∴，
设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，
在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，
()()22
246=2x x ∴+-+，
解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，
AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522
∴⨯⨯△△， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.
2．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．
【详解】
∵正方形ABCD 中，对角线4AC =，
∴AB 2＋BC 2＝AC 2，
∴2AB 2＝42，
∴AB 2＝8．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM ＝EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ，进而可对各选项进行判断．
【详解】
解：延长AD ，交FE 的延长线于点M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠M ＝∠EFC ，
∵E 是CD 的中点，
∴DE ＝CE ，
在△DEM 和△CEF 中，
M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DEM ≌△CEF （AAS ），
∴EM ＝EF ，
∵AE 平分∠FAD ，
∴AM ＝AF ，AE ⊥EF ．
即AF ＝AD +DM ＝CF +AD ；故③，④正确，②错误．
∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，
∴AB 不一定等于BF ，故①错误．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 4．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；
B 、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意．
C 、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意；
D 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题
的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．A
解析：A
【分析】
根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．
【详解】
解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；
B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；
D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．
6．D
解析：D
【分析】
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【详解】
解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD为矩形，
因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的判定．掌握相关判定定理正确推理论证是解题关键．
7．B
解析：B
【分析】
因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．
【详解】
解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选：B．
【点睛】
主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边
不变，则中位线的长度也不变．
8．C
解析：C
【分析】
求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =A D•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．
【详解】
解：在ABCD 中，
∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，
∴△ADE 是等边三角形，
12
AD AE AB ∴==， ∴E 是AB 的中点，
∴DE=BE ，
1302
BDE AED ︒∴∠=∠=， ∴∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，
∴S ▱ABCD =AD•BD ，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，
∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE ，
∴DB 平分∠CDE ，故②正确；
∵Rt △AOD 中，AO ＞AD ，
∵AD=DE ，
∴AO ＞DE ，故③错误；
∵O 是BD 的中点，
∴DO=BO,
∵E 是AB 的中点，
∴BE=AE=DE
∵OE =OE
∴△DOE ≌△BOE(SSS)
∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°
∴∠BOE=90°
∴OE 垂直平分BD ，故④正确；
正确的有3个，
故选择：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据翻折的性质，可得当Q与D重合时，A1B最小，根据勾股定理，可得A1C，从而可得答案．
【详解】
解：由折叠可知：
当Q与D重合时，A1B最小，
A1D=AD=10，
由勾股定理，得：
A1=8，
∴A1B=10-8=2，
故选A．
【点睛】
本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q与D重合时，A1B最小是解题的关键．11．C
解析：C
【分析】
根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【详解】
解：①∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，
又∵△ADE≌△FDE，
∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BFD，
∴△BDF是等腰三角形，故①正确；
同理可证，△CEF是等腰三角形，
∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
BC，故②正确；
2
∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，
∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．
而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．
所以一定正确的结论个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
12．D
解析：D
【分析】
首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG
的长，继而求得答案．
【详解】
解：设AG＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝4，AD＝3，
∴BD
5，
由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∠DA′G＝∠A＝90°，∴∠BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，
∵在Rt△A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，
∴x2+22＝（4-x）2，
解得：x＝3
2
，
∴AG＝3
2
，
∴在Rt△ADG中，DG=．
故选：D．
【点睛】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
二、填空题
13．60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB再以E为圆心EA为半径作圆与正方形的交点即为满足条件的P点分类讨论即可【详解】如图所示在正方形ABCD中∠AEB=105°∵点P在正
解析：60°或90°或150°
【分析】
首先根据题意作出正方形以及∠AEB，再以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，分类讨论即可．
【详解】
如图所示，在正方形ABCD中，∠AEB=105°，
∵点P在正方形的边上，且AE=EP，
∴可以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，
①当P在AD上时，如图，AE=EP1，
∵∠EBA=45°，
∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP1=60°，△EAP1为等边三角形，
∴此时∠AEP1=60°；
②当P 在CD 上时，如图，AE=EP 2，AE=EP 3，
由①可知∠DEP 1=180°-105°-60°=15°，
∴此时∠DEP 1=∠DEP 2=15°，∠CEP 2=∠AEP 1=60°，
∴此时∠AEP 2=60°+15°+15°=90°；∠AEP 3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，
故答案为：60°或90°或150°．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键．
14．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D 是AB 的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键
解析：4．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．
【详解】
∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，
∴2AB CD =， ∴118422
CD AB =
=⨯=． 故答案为：4．
【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 15．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】 解析：103
【分析】
首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．
【详解】
解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴BD=22125+=13，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13-5=8，
设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，
在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，
解得：x=103
． 故答案为：
103
． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．
16．【分析】过点M 作于N 则可得MN 是的中位线利用三角形中位线定理可得MN=AC=3BN=CN=BC=4设CF=x 则NF=4-x 由折叠的性质可得MF=CF 在中利用勾股定理即可求解【详解】解：过点M 作于N ∵
解析：258
【分析】
过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12
BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点M 作MN BC ⊥于N ，
∵90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，
∴//MN AC ，
∵M 是AB 的中点，
∴MN 是Rt ABC △的中位线，
∴MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4， 设CF=x ，则NF=4-x ，
∵将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，
∴MF=CF=x ，
在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，
∴()22234x x +-=，解得258
x =， ∴CF=258
． 故答案为：
258． 【点睛】
本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
17．或2【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形分两种情况画出图形结合勾股定理求出AC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA=OCOB=ODAD=AB=2若∠BAD=60°∴
解析：23或2
【分析】
根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形，分两种情况，画出图形，结合勾股定理求出AC 的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，OA=OC ，OB=OD ，AD=AB=2，
若∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=2，
∴OD=1，
∴OA=22213-=
，
∴AC=23；
若∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC=2；
故答案为：23或2．
【点睛】 此题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定和性质，要记住菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边都相等．
18．②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【 解析：②③
【分析】
利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，从而可得到规律，序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题．
【详解】
解： 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，
1111111111//,,//,,22
A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=
∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形，
,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD 1111,A B A D ∴⊥
∴ 四边形1111D C B A 是矩形，
1111,AC B D ∴=
如图，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，
∴ 2211221111,,22
A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形， 2222,A B A D ∴=
∴ 四边形2222A B C D 是菱形，故①不符合题意，
2222,A C B D ∴⊥
同理可得：四边形3333A B C D 是矩形，
四边形4444A B C D 是菱形，故②符合题意，
······
总结规律：
四边形n n n n A B C D ， 当序号n 是奇数时四边形是矩形，
当序号n 是偶数时四边形是菱形，
111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ====== ∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b +
如图， 四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，
222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==
由中位线的性质同理可得：
33332233332211111111,,22242224
A D
B
C B
D a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2
a b + 由规律可得：四边形5555A B C D 是矩形， 同理可得：四边形5555A B C D 的周长是
()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意． 故答案为②③．
【点睛】
本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
19．2【分析】平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O 当OD ⊥AB 时OD 最小即DE 最小根据直角三角形勾股定理即可求解【详解】解：如图∵平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O 又AB=AC=4
解析：22
【分析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小，根据直角三角形勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图
∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，又AB=AC=4
∴OC=OA=1
2
AC=2
当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BA，∠BAC=45°，
∴∠AOD=45°
∴△ADO为等腰直角三角形
在Rt△ADO由勾股定理可知
2
2
∴2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE 最小值的条件是关键．
20．9cm12cm34cm36cm【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分对边相等可得结果；（2）根据△AOB的周长和AB的长度得到AO+BO从而得到
AC+BD【详解】解：（1）在平行四边形ABCD中
解析：9cm 12cm 34cm 36cm
【分析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分，对边相等可得结果；
（2）根据△AOB的周长和AB的长度，得到AO+BO，从而得到AC+BD．
【详解】
解：（1）在平行四边形ABCD中，∵AC=18cm，BD=24cm，
∴AO=1
2AC=9cm=CO，BO=
1
2
BD=12cm=DO，
∵AB=13cm ，
∴CD=13cm ，
∴COD △的周长为CO+DO+CD=9+12+13=34cm ，
故答案为：9cm ，12cm ，34cm ；
（2）∵△AOB 的周长为30cm ，
∴AB+AO+BO=30cm ，
∵AB=12cm ，
∴AO+BO=30-12=18cm ，
∴AC+BD=2AO+2BO=36cm ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边相等．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）11 【分析】 （1）利用勾股定理的逆定理判定AC ⊥BC ；
（2）在直角△BCE 中，利用勾股定理来求BE 的长度．
【详解】
证明：（1）∵在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝22，AB ＝23，
∴AC 2＝4，BC 2＝8，AB 2＝12，
∴AC 2+BC 2＝AB 2．
∴∠ACB ＝90°；
（2）由（1）知，∠ACB ＝90°，则∠BCE ＝90°．
∵D 是AB 的中点，AB ＝23，CE ＝CD ，
∴CE ＝CD ＝12
AB ＝3． ∴在直角△BCE 中，由勾股定理得：BE ＝22BC EC +＝22(22)(3)+＝11．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
22．见解析
【分析】
先作线段a、b的垂直平分线得到1
2
a和
1
2
b，再作∠AOB=∠α，且OA=
1
2
a，OB=
1
2
b，
然后在OA的反向延长线上截取OD=1
2
a，在OB的反向延长线上截取OC=
1
2
b，则利用平
行四边形的判定方法可判断四边形ABCD为平行四边形．
【详解】
解：如图，四边形ABCD为所作．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．（1）①见解析；②见解析；（2）6.5
【分析】
（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到BAC
∠的平分线，再画出它与BC的交点D；
②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；
（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得
1
5
2
BD BC
==，AD BC
⊥，用勾股定理求出AB
的长，再根据中位线的性质得到DE的长．【详解】
解：（1）①如图所示：
②如图所示：
（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴152
BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =
+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点， ∴1 6.52
DE AB =
=， 故答案是：6.5．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．
24．（1）证明见解析；（2）①180；②=；（3）证明见解析．
【分析】
（1）由角平分线的性质，解得ACI DCI ∠=∠，继而证明△ACI ≌△DCI(SAS)，再根据全等三角形的性质可得IA=ID ，AIC DIC ∠=∠，由角平分线性质结合三角形内角和定理可得11=()904522
CAI ACI CAO ACO ∠+∠∠+∠=⨯︒=︒，故135AIC DIC ∠=∠=︒，继而可证90AID ∠=︒据此解题；
（2）①根据题意，由三线合一的性质可证,45AI ID AIH =∠=︒、CI IB =、45BIG CIG ∠=∠=︒，最后再计算+AIC BID ∠∠的值即可；
②将ID 平移至BG ，连接DG IG ，交BD 于点F ，继而证明四边形DIBG 是平行四边形，即可得到+180BID IBG ∠∠=︒，结合①中结论，可得AIC IBG ∠=∠，据此证明
()AIC GBI SAS ≅，可得12AIC GBI DIBG S S S ==，再结合12
BDI DIBG S S =即可解题； （3）将ID 平移至BG ，连接DG IG ，交BD 于点F ，继而证明四边形DIBG 是平行四边形，即可得到+180BID IBG ∠∠=︒，结合①中结论，可得AIC IBG ∠=∠，据此证明()AIC GBI SAS ≅，可得12AIC GBI DIBG S
S S ==，再结合12BDI DIBG S S =即可解题． 【详解】
证明：（1）由点I 是∠BAC ，∠ACD 的平分线的交点
ACI DCI ∴∠=∠
在△ACI 和△DCI 中
CI CI ACI DCI CA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △ACI ≌△DCI(SAS)
IA ID ∴=
由点I 是∠BAC ，∠ACD 的平分线的交点 1
1=()904522
CAI ACI CAO ACO ∴∠+∠∠+∠=⨯︒=︒ 18045135=AIC DIC ∴∠=︒-︒=︒∠
36013513590AID ∴∠=︒-︒-︒=︒
即IA ID ⊥；
（2）①如图，延长CI 交AD 于点H ，延长AI 交BC 于点G
AI ID ⊥
90AID DIG ∴∠=∠=︒
AC CD CI =，平分ACD ∠，
,CH AD AH DH ∴⊥=
,45AI ID AIH ∴=∠=︒
45CIG ∴∠=︒
AC AB AI =，平分BAC ∠，
,AG BC CG BG ∴⊥=
CI IB ∴=
45BIG CIG ∴∠=∠=︒
13545180AIC BID ∴∠+∠=︒+︒=︒
故答案为：180︒，=；
②将ID 平移至BG ，连接DG IG ，交BD 于点F ，如图，
//=ID BG ID BG ，
∴四边形DIBG 是平行四边形
+180BID IBG ∴∠∠=︒
180AIC BID ∠+∠=︒
AIC IBG ∴∠=∠
又,AI ID BG IC IB ===
()AIC GBI SAS ∴≅ 12
AIC GBI DIBG S S S ∴== 12BDI DIBG S
S = AIC BDI S S ∴=
故答案为：=；
（3）将ID 平移至BG ，连接DG IG ，交BD 于点F ，如图，
//=ID BG ID BG ，
∴四边形DIBG 是平行四边形
+180BID IBG ∴∠∠=︒
180AIC BID ∠+∠=︒
AIC IBG ∴∠=∠
又,AI ID BG IC IB ===
()AIC GBI SAS ∴≅ 12AIC GBI DIBG S
S S ∴== 12BDI DIBG S
S = AIC BDI S S ∴=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．
25．（1）证明见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）3或9．
【分析】
（1）利用“SAS”证明BCO ECD ≅△△即可解答；
（2）同（1）利用“SAS”证明BCO ECD ≅△△即可解答；
（3）分当D 点恰好落在EBC 的边BC 上或边BE 上两种情况讨论，利用全等三角形的性质以及三角形中位线或含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
证明：（1）在等边ODC △与等边EBC 中，
CO CD =，CB CE =，
60OCD BCE ∠=∠=︒，
∴OCD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠，
即OCB DCE ∠=∠，
在BCO 与ECD 中，
CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()BCO ECD SAS
≅△△，
∴BO DE =；
（2）还成立．
理由：连接DE ，
与（1）同理，
CO CD =，CB CE =，
60OCD BCE ∠=∠=︒，
∴OCD DCB BCE DCB ∠-∠=∠-∠，
即OCB DCE ∠=∠，
在BCO 与ECD 中，
CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()BCO ECD SAS ≌
△△， ∴BO DE =；
（3）当D 点恰好落在EBC 的边BC 上时，如图，
作DG ⊥OC 于G ，
由（2）知BCO ECD ≌△△，
∴∠EDC=∠BOC=90︒，
∵△EBC 是等边三角形，
∴D 点恰好是边BC 的中点，
∵DG ⊥OC ，
∴DG 是△BOC 的中位线，
∴DG=12
BO=3； 当D 点恰好落在EBC 的边BE 上时，如图，
作DF ⊥OC 于F ，
由（2）知BCO ECD ≌△△，
∴∠EDC=∠BOC=90︒，∠ECD=∠BCO ，
∵△EBC 是等边三角形，
∴D 点恰好是边BE 的中点，
∴∠ECD=∠BCD=∠BCO=30︒，
∴BC=2BO=12，
∴2263BC BO -=
∵△DOC 是等边三角形，
∴DC=OC=3，FC=OF=3
3
∴229DC CF -=，
综上，ODC △的高的长度为3或9．
故答案为：3或9．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 26．（1）25；（2）补图见解析．
【分析】
(1)根据题意，知A 的拼块的面积为 3 个单位，B 的面积为3个单位，C 的面积为4个单位，即可得出；
(2)图1用了3个A ，2个B ，1个C ，图2用了4个A ，1个B ，1个C ，和(1)不同即可．
【详解】
（1）13234425⨯+⨯+⨯=，
∴正方形的面积为25；
（2）答案不唯一，如：
【点睛】
本题主要考查了正方形的面积组合，读懂题意是解题的关键．。