高中数学第2章 第1课时直线与圆的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册

核心素养
通过研究直线与圆的位置关系， 提升逻辑推理、数学运算、直观 想象的数学素养.
NO.1
情境导学·探新知
知识点
在日常生活中，可以见到很多有关直线与 圆位置关系的形象，如图所示．
我们已经知道，在平面直角坐标系中，直 线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直 线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可．那么， 能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？
类型3 直线与圆相交问题 【例3】 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截 得的弦长|AB|. (2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两 点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
直线和圆相交有两个交点，在求弦长时，可先求出两个交点坐 标再求弦长，若不求交点坐标，可用什么方法求弦长？
A．1
B．2 2
C． 7
D．3
(1)B (2)C [(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， kPC＝12，∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0. (2)圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝|3－02＋1|＝2 2. 所以切线长的最小值为l＝ 2 22－12＝ 7.]
圆O相切或相离．]
类型2 直线与圆的相切问题 【例2】 (1)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，则 切线方程为________． (2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于 点P(－1,2)，求直线l的方程．
(1)15x＋8y－36＝0或x＝4 [因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系
学习任务 1.掌握直线与圆的三种位置关 系：相交、相切、相离．(重点) 2.会用代数法和几何法来判断直 线与圆的三种位置关系．(难点) 3.能用直线与圆的方程解决一些 简单的数学问题．(难点)
设圆心为C， 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－185. 所以切线方程为－185x－y＋125－3＝0， 即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在， 圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.]
直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
A [圆心到直线的距离d＝ 325＋42＝1<4，所以直线与圆相交， 故选A．]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型1 直线与圆的位置关系 【例1】 (对接教材P91例题)已知直线方程mx－y－m－1＝0， 圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为( )
A．2x－y＋9＝0
B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0
D．2x－y－9＝0
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切
线长的最小值为( )
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦， ∵|CA|＝ 2－32＋2－12＝ 2， ∴半弦长为 r2－|CA|2＝ 4－2＝ 2. ∴最短弦的长为2 2.
(2)设圆的半径为r，由条件， 得圆心到直线y＝x－1的距离d＝|2＋12－1|＝ 2. 又由题意知，半弦长为 2， ∴r2＝2＋2＝4，得r＝2. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.]
知识点 直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关
系及判断
位置关系
相交 相切
相离
公共点个数
两个 一个
零个
判定 几何法：设圆心到直线的距离
方法 d＝|Aa＋A2B＋b＋B2C|
d＜r d＝r
d ＞r
位置关系
相交
代数法：由
判定
Ax＋By＋C＝0， x－a2＋y－b2＝r2
法二：(构造直角三角形)圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，
则圆心C(0,1)，半径r＝ 5，圆心C(0,1)到直线l：3x＋y－6＝0的
距离d＝|0＋321＋－162|＝ 210，则弦长|AB|＝2
52－12
102＝
10.
(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝ 252－822＝3. ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k ＝0.
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理 得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－ 43 时，直线与圆相交，即直线与圆 有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0时，即－43<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
B [∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝|0－02＋1|＝ 22<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝234 5
3．过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两
点，若|AB|＝ 2，则该直线的斜率为( )
A．±1
B．± 2
C．± 3
D．±2
1234 5
A [由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，因为圆(x－1)2＋(y－1)2
＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝ 2 ，所以圆心到直线
由点到直线的距离公式，得3＝|－k－1＋2＋k24k|， 解得k＝－152，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
求圆的弦长的两个方法
圆的性质 交点坐标
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间 的关系r2＝d2＋2l 2解题 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标 后，直接用两点间距离公式计算弦长
(2)[解] 根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0， 即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2,0)， 直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)， 则P在直线l上且MP与直线l垂直． kMP＝－12－ －0－2＝2，则有－ab＝－21，则有b＝2a， 又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2， 则直线l的方程为x＋2y－3＝0.
程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x ＝x0.
(2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离 等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消 去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
2．(多选题)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，
则b的值是( )
A．－2
B．－12
C．2
D．12
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CD [圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为|7－5 b|＝1， 得b＝2或12.]
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5．过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直 线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．
[跟进训练]
1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能
(2)设m>0，则直线l： 2 (x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位
的距离为d＝
r2－|A2B|2 ＝
1－12 ＝
2 2
，所以有
|k| k2＋1
＝
2 2
，解
得k＝±1.]
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4．过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为______．
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x＝2或y＝3 [∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外， ∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条． 当斜率存在时，设切线的斜率为k， 则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0， ∴|k－2k＋2＋3－1 2k|＝1，∴k＝0， ∴切线方程为y＝3， 当斜率不存在时，切线方程为x＝2.]
方法
消元得到一元二次方程，计算
Δ ＞0
方程的判别式 Δ
相切 Δ＝0
相离 Δ ＜0
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各 有什么特点？
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系， 是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于 “形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于 “数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
(1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－
[跟进训练] 3．(1)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长 为________． (2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2 2 的圆的方程 为________．
(1)2 2 (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4 [(1)设点A(3,1)，易知圆心 C(2,2)，半径r＝2.
4 3
时，直线与圆相切，即直线与
圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－43<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点．
判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
[提示] (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根 据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组 相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．
[解] (1)法一：(求交点坐标)联立直线l与圆C的方程，得
3x＋y－6＝0， x2＋y2－2y－4＝0，
解得 xy11＝＝13，，
xy22＝＝20，，
所以交点为A(1,3)，
B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长
|AB|＝ 1－22＋3－02＝ 10.
若本例(1)中的条件不变，如何求其切线长？ [解] 设圆心C(3,1)，则|AC|＝ 4－32＋－3－12＝ 17， 则切线长d＝ 172－1＝4.
圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的
斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－
1 k
，由点斜式可得切线方
置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相交或相切
(1)A (2)C [(1)将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9 －12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)圆心到直线l的距离为d＝
1＋m 2
，圆的半径为r＝
m ，∵d－r
＝1＋2 m－ m＝12(m－2 m＋1)＝12( m－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和