福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题 理 新人

福建省三明一中2013-2014学年高三上学期第一次月考 理科数学
（ 满分：150分） ＿ 班 姓名＿＿＿＿
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．下列各小题中，所给出的四个
答案中有且仅有一个是正确的）
1. 若R a ∈，则“2-=a ”是“2=a ”的( )
A. 必要而不充分条件
B. 充分而不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件 2．将函数1
2
-=x y 的图象（ ），可得到函数x
y 2=的图象（ ）
A ．向下平行移动1个单位
B ．向右平行移动1个单位
C ．向左平行移动1个单位
D ．向上平行移动1个单位
3.已知集合{}m A ,1,0=，02B x x {|}=<<，若{
}m B A ,1=I ，则m 的取值范围是( )
A ．01(,)
B ．12(,)
C ．0112(,)(,)U
D ．02(,) 4.若R c b a ∈,,，b a >则下列不等式成立的是 （ ）
A ．
b a 11< B ．1
122
+>+c b c a C ．2
2b a > D ．c b c a >5．计算：
=+⎰
-2
2
)2(sin dx x （ ）
A ．－1
B ．1
C ．8
D ．－86．已知变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤-1521
x y x y x ，则y x z +=3的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．6
7．方程21
log x x
=的实根所在区间为( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,
0 B. ⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 C.()2,1 D. ()3,2 8． 已知不等式9)1)(
(≥++y
a
x y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值是
（ ）
A ．2
B ． 4
C ．8
D ．69．当)2,1(∈x 时不等式x x a log )1(2
<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),2[+∞
B ．)2,1(
C ．]2,1(
D ．)1,0(
10. 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ）
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
第II 卷（非选择题，共１００分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 11．曲线13
-=x y 在点)0,1(P 处的切线方程为___________； 12．m
x m x f 1)1()(-=是幂函数，则=m ；
13．设向量)1,(),2,1(x ==，)(2,2R k ∈-=+=，若d c //，则=x 14．已知函数))((R x x f y ∈=，满足)()2(x f x f =+，]1,1[-∈x 且时，2
)(x x f =，
则x y x f y 5log )(==与的图象的交点个数为＿＿＿个； 15．给出以下四个命题：
①命题:,tan 2p x R x ∃∈=；命题2
:,10q x R x x ∀∈-+≥.则命题“p 且q ”是真命
题；
②求函数⎩⎨⎧>+-≤-+=0
,ln 20
,32)(2x x x x x x f 的零点个数为3；
③函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域相同； ④函数2lg(1)y x x =+
+是奇函数．
其中不正确的．．．．
命题序号是__________（把你认为不正确的命题序号都填上）．
三、解答题(本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分13分)
已知集合{})(1m -1R m m x x A ∈+≤≤=，集合{}
2x ≥=x B ． （1）若2=m ，求B A I ；
（2）若全集U=R ，且B C A U ⊆，求实数m 的取值范围． 17．（本小题满13分）
已知平面上三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角为ο
120， （1）求证：a c b ⊥-)( ；
（2）若1>++b a t )(R t ∈，求t 的取值范围. 18．（本小题满分13分）
设[).,0,1
)(+∞∈++
=x x b
x x f （1）求当2=b 时，求函数)(x f 的最小值； （2）当10<<b 时，求函数)(x f 的最小值. 19．（本小题满分13分）
已知函数),(),()(2
R b a b ax x x f ∈+=在2=x 时有极值，其图象在点))1(,1(f 处的切线与直线03=+y x 平行．
（1）求b a 、的值和函数)(x f 的单调区间；
（2）若当[]4,1∈x 时，方程()0=-t x f 恰有一实根，试确定t 的取值范围． 20. （本小题满分14分）
已知定义域为R 的函数b
a
x f x x ++-=+122)(是奇函数.
（1）求b a ,的值； （2）判断)(x f 的单调性；
（3）若对任意的R x ∈，不等式0)3()3(2
2
>+-+-+m mx x f x mx f 恒成立，求m 的取值范围.
21.（本小题满分14分）
设函数)1ln()(2
++=x b x x f ，其中0≠b . （1）若12b =-，求)(x f 在[]3,1的最小值；
（2）如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围； （3）是否存在最小的正整数N ，使得当N n ≥时，不等式311
ln
n n n n
+->恒成立.
三明一中2013—2014学年上学期月考二
高三理科数学试题参考答案
一选择题 BCCBCC ，CBCD 二、填空题
11、033=--y x 12、2 13、 2
1
14、4 15、② 三、解答题 16、解：
（1）当2=m 时，{}31|≤≤-=x x A ，∴ {}
32≤≤x x B A ＝I ． ………4分 （2）{}2|<=x x B C U ， ∵ B C A U ⊆，
∴ 当m m +≤11－ 即0≥m 时，Φ≠A ，结合数轴得10＜m ≤；
当m m +>11－ 即0<m 时，Φ=A 符合B C A U ⊆．
∴ 综上所述，m 的取值范围()1，
－∞．…………13分 17.
（1）证明：
由已知得：2
1-
=⋅=⋅=⋅， 故0)(=⋅-⋅=⋅-，⊥-∴)(…………5分 （2）解：
112122222222
222
>+-=--+=⋅+⋅+⋅+++=++t t t t c b c a t b a t c b a t b a t ，
0,022<>-∴t t t 或2>t ，故t 的取值范围为0<t 或2>t ……13分
18.解：
（1）把2=b 代入.1)(++=x b x x f 中，得11
2112)(-+++=++=x x x x x f ， 因为[).,0+∞∈x 所以，.01
2
,01>+>+x x 所以，122)(-≥x f
当且仅当12,1
2
1-=+=+x x x 时，函数)(x f 取得最小值，最小值为122-.…………
6分
（2）,)
1()1()1(1)(2
22/
+-+=+-=x b x x b x f 由,0≥x 故1)1(2≥+x ，又10<<b ，0)(/
>x f 所以)(x f 在[)+∞,0上单调递增，b f x f ==)0()(min ………13分.
19．解：（1）,)()(2
3
2
bx ax b ax x x f +=+=Θ ∴()bx ax x f
232'
+=．
由已知可得： ⎩⎨⎧-==⇒⎩
⎨⎧-=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==3132304123)1(0
)2('
'
b a b a b a f f ∴ 由020)2(363)(2
'≤≥⇒≥-=-=x x x x x x x f 或
∴)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-和[)+∞,2；单调递减区间为[]2,0． …………6分 （2）[]4,1∈x 由（1）得：)(x f 在[]2,1上单调递减，在[]4,2上单调递增，
∴ 当2=x 时取得极小值－4，又,2)1(-=f 16)4(=f ， ∴ 当[]4,1∈x 时，方程()0=-t x f 恰有一实根，结合图象得， ∴ t 的取值范围是162≤<-t 或4-=t ．………13分 20．解：
（1）因为b a x f x x ++-=+122)(是R 上的奇函数.，0)0(=f 即02
1
=+-b a 所以1=a
b x f x x ++-=+1212)(，又)1()1(--=f f ，1
21
1421+-
-=+-b b ，所以2=b ，经检验符合题意，
所以，2,1==b a …………4分
（2）由（1）可知
121212
212)(1++-=++-=+x x x x f ，设21x x <，
)
12)(12(22)()(2
1
1221++-=-x x x x x f x f ，因为x y 2=在R 单调递增，02212>>x
x )()(21x f x f >，所以)(x f 在),(+∞-∞上为减函数…………8分
（3）因为)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，且为奇函数，故原不等式等价
)3()3()3(222m mx x f m mx x f x mx f -+-=+-->-+
所以，0)1(3)1()1(2
<-+-++m x m x m
① 1-=m 时，不等式062<-x ，即3<x ，不符合题意 ②
1-≠m 时，⎩
⎨
⎧<∆<+001m 所以1113
-<m 综上，11
13
-<m …………13分 21.解：
（1）由题意知，)(x f 的定义域为),1(+∞-，当12b =-时，
由2/
122212
()2011
x x f x x x x +-=-==++，得2x =（3x =-舍去）， 当[1,2)x ∈时，/
()0f x <，当(2,3]x ∈时，/
()0f x >，
所以当[1,2)x ∈时，()f x 单调递减；当(2,3]x ∈时，()f x 单调递增， ∴ min ()(2)412ln 3f x f ==-． …………4分
（2）由题意2/
22()2011
b x x b f x x x x ++=+
==++在),1(+∞-有两个不等实根， 即2220x x b ++=在),1(+∞-有两个不等实根，设()g x =222x x b ++，
又对称轴∈-=2
1
x ),1(+∞-，
则480(1)0
b g ∆=->⎧⎨->⎩，解之得102b <<．…………8分
（3）对于函数())1ln(2
+-=x x x f ，令函数())1ln()(2
3
3
++-=-=x x x x f x x h ，
则()1
)1(31123232
/
+-+=++-=x x x x x x x h ，()0),0[/
>+∞∈∴x h x 时，当， 所以函数()x h 在),0[+∞上单调递增，又),0(,0)0(+∞∈∴=x h 时，恒有()0)0(=>h x h ，
即)1ln(3
2++<x x x 恒成立.取),0(1+∞∈=n x ，则有23111ln n n n n +>-31
n
n -=恒成
立.
显然，存在最小的正整数1=N ，使得当N n ≥时，不等式311
ln n n n n
+->恒成立. …………13分。