2015-2016年湖北省天门市渔薪高中高二(上)期中数学试卷和答案

2015-2016学年湖北省天门市渔薪高中高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．）
1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）
A．B．C． D．
2．（5分）边长为a的正四面体的表面积是（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣1
4．（5分）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）
A．a2B．2a2C．a2D．a2
5．（5分）直线3x+4y﹣13=0与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法判定
6．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+
7．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）
A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥n
C．若α∥β，m⊥n，则m⊥αD．若m∥n，m⊥α，则α⊥β
8．（5分）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为（）
A．﹣1 B．+1 C．D．2
9．（5分）球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A．B．C．D．π
10．（5分）已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）ABC ﹣A1B1C1体积为，底面边长为．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC 所成角的大小为（）
A．B．C．D．
11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]
12．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
其中恒成立的为（）
A．①③B．③④C．①②D．②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）
13．（5分）已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．若l1∥l2，则a=．14．（5分）已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．
15．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为．
16．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角为60°；
其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
18．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD 的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．
19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求证：A1C⊥CC1；
（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．
22．（14分）已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；
（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；
（Ⅲ）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．
2015-2016学年湖北省天门市渔薪高中高二（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．）
1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）
A．B．C． D．
【解答】解：直线y+1=0 即y=x+1，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于α，
则0≤α＜π，且tanα=，故α=60°，
故选：B．
2．（5分）边长为a的正四面体的表面积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，
∴表面积为：4×a=a2，
故选：D．
3．（5分）已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣1
【解答】解：∵直线经过两点A（2，4），B（1，m），
∴直线AB的斜率k==4﹣m，
又∵直线的倾斜角为450，
∴k=1，
∴m=3．
故选：A．
4．（5分）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）
A．a2B．2a2C．a2D．a2
【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于=2a2．
故选：B．
5．（5分）直线3x+4y﹣13=0与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法判定
【解答】解：由圆的方程得到：圆心坐标为（2，3），半径r=1，
所以圆心到直线3x+4y﹣13=0的距离d==1=r，
则直线与圆的位置关系为相切．
故选：C．
6．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+
【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱
由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π
棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为
由此知其体积为=
故组合体的体积为2π+
故选：C．
7．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）
A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥n
C．若α∥β，m⊥n，则m⊥αD．若m∥n，m⊥α，则α⊥β
【解答】解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，知：若m∥n，m⊂α，则α与β相交或平行，故A错误；
若α∥β，m⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；
若α∥β，m⊥n，则m与α相交、平行或m⊂α，故C错误；
若m∥n，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
故选：D．
8．（5分）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为（）
A．﹣1 B．+1 C．D．2
【解答】解：由于圆心C（1，1）到直线l：x﹣y+4=0的距离为d==2，而圆的半径为，故C上各点到l距离的最小值为2﹣=，
故选：C．
9．（5分）球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A．B．C．D．π
【解答】解：设：正方体边长设为：a
则：球的半径为
所以球的表面积S1=4•π•R2=4πa2=3πa2
而正方体表面积为：S2=6a2
所以比值为：
故选：C．
10．（5分）已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）ABC ﹣A1B1C1体积为，底面边长为．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC 所成角的大小为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵==．
=AA1，解得AA1=．
∴V
三棱柱ABC﹣A1B1C1
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P=DA1=1，
在Rt△AA1P中，tan∠APA1==，
∴∠APA1=．
故选：B．
11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]
【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y≥0）
表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4
表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线
结合图形可得
，
∵解得
∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是
故选：B．
12．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
其中恒成立的为（）
A．①③B．③④C．①②D．②③④
【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM ∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；
对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）
13．（5分）已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．若l1∥l2，则a=2．【解答】解：已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，
l2：4x+6y﹣1=0．
l1∥l2，，
则a=2
14．（5分）已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为相离．
【解答】解：根据题意，得
⊙O1的半径为r=1，⊙O2的半径为R=3，O1O2=5，
R+r=4，R﹣r=2，
则4＜5，
即R+r＜O1O2，
∴两圆相离．
故答案为：相离．
15．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为6．
【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B（1，2，3），
点A（1，﹣2，3）关于x轴的对称点为C（1，2，﹣3），
则B、C间的距离为：=6．
故答案为：6
16．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角为60°；
其中正确结论是①②④（写出所有正确结论的序号）
【解答】解：作出如图的图象，其中A﹣BD﹣C=90°，E是BD的中点，可以证明出∠AED=90°即为此直二面角的平面角
对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；
对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD 是等边三角形，此命题正确；
对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°，故AB与平面BCD 成60°的角不正确；
对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB 与CD所成的角为60°；
综上知①②④是正确的
故答案为①②④
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．
则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．
把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．
所求直线l的方程为2x+y+2=0．
（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
18．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD 的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE．
∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP，
又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，
PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．
∵BD⊂平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y ﹣6=0．
（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．
圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：
∵BA=BD=，PA=PD=，又E为AD的中点，
∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴AD⊥平面PBE；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，
又在Rt△PDE中∠PED=90°，PD=，DE=1
∴PE=2 同理可得BE=1
∴在△PBE中，由余弦定理得PB=．
∴BE2+PB2=PE2
∴∠PBE=90°
∴EB⊥PB
又EB⊥AD，BC∥AD
∴EB⊥BC
∴EB⊥平面PBC，
∴∠EFB为EF与面PBC所成的角
又在Rt△PBC中∠PBC=90°，PB=，BC=2
∴PC=
又F为PC中点∴
∴而EB=1
∴在Rt△EFB中由勾股定理有
∴∴sin∠EFB=
即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．…（12分）
21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求证：A1C⊥CC1；
（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∴A1A∥CC1∥BB1，
∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，
∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，
∵BC∩BA1=B，
∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C
∴A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC于O，连结A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，
BC=，∴AB⊥AC，
∴AO=，
设A1A=h，A1O==，
∴三棱柱ABC﹣A 1B1C1体积V===，
当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，
最大值为：．
22．（14分）已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；
（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；
（Ⅲ）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．
【解答】解：（Ⅰ）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2．
即：（a2+b2）﹣12=（a﹣2）2+（b﹣1）2．
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b﹣3=0．
（Ⅱ）由2a+b﹣3=0，得b=﹣2a+3.==，
故当时，．即线段PQ长的最小值为．
（Ⅲ）设圆P 的半径为R，∵圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，∴|R﹣1|≤|OP|≤R+1．即R≥||OP|﹣1|且R≤|OP|+1．
而，
故当时，．
此时，，．
得半径取最小值时圆P的方程为．。