上海复旦初级中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

上海复旦初级中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
一、压轴题
1．如图1，与为等腰直角三角形，与 重合，，．固定，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点
，如图2． （1）证明：；
（2）当为何值时，
是等腰三角形？
2．将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()2,0A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点,O B 重合）．
（1）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．
①如图②，若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分为四边形，,O P O Q ''分别与边AB 相交于点,C D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；
②若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分的面积为S ，当13t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．
3．如图，抛物线214
y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．
①求证：EA ED =．
②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长． 4．已知：如图，抛物线2134
y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：3
4y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，
ACE △的外心是P ．
（1）求m ，n 的值．
（2）当点E 移动到点B 时，求ACE △的面积．
（3）①是否存在点E ，使得点P 落在ACE △的边上，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．
②过点A 作直线AD x ⊥轴交直线l 于点D ，当点E 从点D 移动到点B 时，圆心P 移动的路线长为_____．（直接写出答案）
5．如图，过原点的抛物线y=﹣12
x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ．
（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；
（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
6．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．
7．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．点D 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ．设点D 的横坐标为(04)m m <<．
（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；
（2）线段DE 的长用含m 的式子表示为 ；
（3）以DE 为边作矩形DEFC ，使点F 在x 轴负半轴上、点G 在第三象限的抛物线上． ①如图2，当矩形DEFC 成为正方形时，求m 的值；
②如图3，当点O 恰好是线段EF 的中点时，连接FD ，FC ．试探究坐标平面内是否存在一点P ，使以P ，C ，F 为顶点的三角形与FCD ∆全等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
8．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．
（1）如图，函数1F 为
1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____； （2）函数1F 为3y x
=，当6PQ =时，t 的值为______； （3）函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，
①当b t b
=时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当
1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()2
11110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．
（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．
11．已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ，过D 作DH ⊥AE 于H ，设直线DH 交AC 于N ．
(1)如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO=NO ；
(2)如图2，当M 在线段OD 上，连接NE 和MN ，当EN//BD 时，
①求证：四边形DENM 是菱形；
②求证：BM ＝AB ；
(3)在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ，当NE ⊥BC 时，求证：AN 2＝NC AC ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=
12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12
x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；
①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2， 求12
S S 的最大值；
②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由
13．如图，在平面直角坐标系中，函数(0)k y x x
=>的图象经过点A （1，4）和点B ，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA ，点B 的横坐标为a （a ＞1）
（1）求k 的值
（2）若△ABD 的面积为4；
①求点B 的坐标，
②在平面内存在点E ，使得以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E 的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝
12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝32
-
且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线解析式．
（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
15．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BCD 面积最大时，求点P 的坐标；
（3）若M （m ，0）是x 轴上一个动点，请求出CM+12
MB 的最小值以及此时点M 的坐标.
16．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC 是“近直角三角形”，∠B ＞90°，∠C ＝50°，则∠A ＝ 度；
（2）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若BD 是∠ABC 的平分线， ①求证：△BDC 是“近直角三角形”；
②在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)k y k x
=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；
②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，
根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数(0)k y k x
=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．
18．在平面直角坐标系xoy 中，点A (-4,-2)，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .
（1）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 经过点A ,B ，求此时抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C ，点D 是直线BC 上一动点（不与B ，C 重合），是否存在点D ，使△ABC 和以点A ,B ,D 构成的三角形相似？若存在，请求出此时D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y ＝x ＋2上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．
19．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．
(1) a= ；
(2)求矩形DEFG面积的最小值；
为等腰三角形时，求t的值．
(3)当CDG
20．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出
△PMN面积的最大值．
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一、压轴题
1．（1）证明见解析（2）当或或时，△AGH是等腰三角形
【解析】
试题分析：（1）根据∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，即可证出相似；（2）以∠GAH＝45º这个角为等腰三角形的底角还是顶角进行分类讨论，从而得到本题答案.
试题解析：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，
∴∠B=∠EDF=45°
在△AGC和△HAB中
∵∠ACG=∠B=45°，
∠HAB=∠BAG+∠GAH =∠BAG+45°=∠CGA
∴△AGC∽△HAB
（2）①当∠GAH＝45º是等腰三角形的底角时，
如图可知：；
②当∠GAH＝45º是等腰三角形的顶角时，如图：
在△HGA和△AGC中，
∵∠AGH＝∠CGA，∠GAH＝∠C＝45º，
∴△HGA∽△AGC，∵AG＝AH，
∴
③如图，G与B重合时，符合要求，
此时CG=BC=
∴当或或时，
△AGH是等腰三角形．
点晴：本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形（等腰直角三角形）的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，在第（2）中，要利用在旋转的过程中，△AGH中始终不变的角∠GAH＝
45º为切入点，以这个角是等腰三角形的底角还是顶角为分类点进行分类讨论，要注意当∠GAH＝
45º为底角时有两种情况，不要漏掉其中的任何一种，要做到不重不漏，才能做好分类讨论这一问题.
2．（1）点P的坐标为
13
2
⎛
⎝⎭
；（2）①34
O D t
'=-，t的取值范围是
4
2
3
t<<；
343
S
≤≤
【解析】
【分析】
（1）过点P 作PH x ⊥轴，则90OHP ∠=︒，因为90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，可得60BOA ∠=︒，进而得30OPH ∠=︒，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得
11
22OH OP =
=，进而用勾股定理可得HP ==，点P 的坐标即求出； （2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，所以O P OP '=，O Q OQ '=；再根据OQ OP =，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形OQO P '为菱形，所以//QO OB '，可得30ADQ B ∠=∠=︒；根据点A 的坐标可知2OA =，加之OP t =，从而有2QA OA OQ t =-=-；而在Rt QAD 中，242QD QA t ==-，
又因为O D O Q QD ''=-，所以得34O D t '=-，由34O D t '=-和2QA t =-的取值范围可得t 的范围是423
t <<； ②由①知，'POQ 为等边三角形，由（1）四边形OQO P '为菱形，所以'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，从而11(34)22
CQ DQ t ==-，
(34)22CD DQ t =
=-,进而可得
222''3124))48877
POQ CDQ S S S t t =-=--=--+，又已知t 的取值范
围是13t ≤≤S ≤≤ 【详解】
解：（1）如图，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，则90OHP ∠=︒．
90OAB ∠=︒，30B ∠=︒
9060BOA B ∴∠=︒-∠=︒．
9030OPH POH ∴∠=-∠=︒．
在Rt OHP △中，1OP =，
11
22OH OP =∴=，HP =．
∴点P 的坐标为12⎛ ⎝⎭
．
（2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，
O P OP '∴=，O Q OQ '=．
又OQ OP t ==，
O P OP OQ O Q t ''∴====．
∴四边形OQO P '为菱形．
//QO OB '∴．可得30ADQ B ∠=∠=︒．
点()2,0A ，
2OA ∴=．有2QA OA OQ t =-=-．
在Rt QAD 中，242QD QA t ==-．
O D O Q QD ''=-，
34O D t '∴=-，其中t 的取值范围是423t <<． ②由①知，'POQ 为等边三角形， ∵四边形OQO P '为菱形， ∴'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，
∴11(34)22CQ DQ t ==-，33(34)22
CD DQ t ==-, ∴222''33731243(34)()48877
POQ CDQ S S S t t t =-=--=--+， ∵13t ≤≤，
∴34387
S ≤≤． ，
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．
3．（1）2134y x x =-++
；（2）（32
，0）；（3）①见解析；②CM =231-或CM =123+
【解析】
【分析】
（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；
（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点
M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134
y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．
（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =及旋转的性质，证明△EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长．
【详解】
（1）∵点()6,0C 在抛物线上，
∴103664
b c =-⨯++， 得到6=9b c +，
又∵对称轴2x =，
∴2122()4
b b x a =-=-=⨯-， 解得1b =，
∴3c =，
∴二次函数的解析式为2134
y x x =-++； （2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：
∵抛物线的解析式为2134y x x
=-++，对称轴为2x =，()6,0C
∴点A （2，0），顶点B （2，4），
∴AB=AC=4，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠1=45°；
∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，
∴FM=CM ，∠2=∠1=45°，
设点M 的坐标为（m ，0），
∴点F （m ，6-m ），
又∵∠2=45°，
∴直线EF 与x 轴的夹角为45°，
∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，
把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ，
直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，
∵直线EF 与抛物线2134
y x x =-++只有一个交点， ∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩
， 整理得：213204
x m +-=， ∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=
32， 点M 的坐标为（32
，0）． 当点M 在点C 的右侧时，如下图：
由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134
y x x =-++不可能只有一个交点．
综上，点M
的坐标为（32
，0）． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，
∵2PC 2）知∠BCA=45°，
∴PG=GC=1，
∴点G （5，0），
设点M 的坐标为（m ，0），
∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，
∴EM=PM ，
∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，
∴∠HEM=∠GMP ，
在△EHM 和△MGP 中，
EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ），
∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1，
∴点H （m-1，0），
∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；
∴22(12)(50)m m --+--221634m m -+
又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），
∴点D （4，2），
∴22(14)(52)m m --+--221634m m -+
∴EA= ED ．
当点M 在点C 的右侧时，如下图：
同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ．
②当点E 在（1）所求的抛物线2134
y x x =-++上时， 把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0，
解得：m=523+m=523-，
∴CM =231或CM =123+．
【点睛】
本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．
4．（1）3,5m n =-=；（2）30ACE S =；（3）①点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②圆心P 移动的路线长=2558
【解析】
【分析】
（1）令2130,4
y x x =--=求出点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B （0，-3）代入34
y x m =-+，从而可得答案； （2）记AC 与y 轴的交点为H ，利用()1.2
ACE A C S BH x x =••-即可求解； （3）①分当点P 落在CA 上时，点P 落在AE 上时，点P 落在CE 上时三种情况讨论即可； ②分E 在D 和B 点两种情况，求出圆心12,P P 点的坐标，则圆心P 移动的路线长=12PP ，即可求解．
【详解】
解：（1）令2130,4
y x x =--= 24120,x x ∴--=
()()260,x x ∴+-=
122,6,x x ∴=-=
∴ 点A （6，0），
把点C （-4，n ）代入在抛物线方程， 解得：()()214435,4
n =⨯----= ()4,5C ∴-，
把点B （0，-3）代入34
y x m =-+， 解得：3m =-，
则：直线l ：334
y x =--，…① 3,5,m n ∴=-=
（2）由（1）知：A （6，0）、B （0，-3）、C （-4，5）、 AC 中点为51,,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
设AC 为：,y kx b =+
6045k b k b +=⎧∴⎨-+=⎩
解得：123
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ AC ∴所在的直线方程为：132
y x =-+， 如图，AC 与y 轴交点H 坐标为：（0，3），
()1161030.22
ACE A C S BH x x ∴=••-=⨯⨯=
（3）如下图： ①当点P 落在CA 上时， 圆心P 为AC 的中点51,,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
其所在的直线与AC 垂直， 1,2
AC k =- AC ∴的垂直平分线即圆心P 所在的直线方程为：2,y x a =+ 把51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：52,2a =+ 1,2
a ∴= 122
y x ∴=+…②， 334122y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩
①② 解得：1611,53
22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
E 的坐标为1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝
⎭； 当点P 落在AE 上时， 设点3,3,4E m m ⎛
⎫-
- ⎪⎝⎭ 则点P 的坐标633,2
82m m +⎛⎫--
⎪⎝⎭， 则PA=PC ，
2222633633645282282m m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 解得：64,11m =-
故点6415,.1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
当点P 落在CE 上时， 则PC=PA ，
同理可得：36,11
m = 故点3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
综上，点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当E 在D 点时，作AD 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于1P 点，
则156,2D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，1P 的纵坐标为15,4- 代入②式，解得：11715,,8
4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 同理当当E 在B 点时， 作AB 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于2P 点， ()()6,0,0,3,A B -
AB ∴的中点为：33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
设AB 为：y ex f =+， 603e f f +=⎧∴⎨=-⎩
解得：123
e f ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴ AB 直线方程为：132
y x =-， 设AB 的垂直平分线方程为：12,y x b =-+
1323,2
b ∴-⨯+=- 192b ∴=，
∴AB的垂直平分线方程为：
9
2,
2 y x
=-+
1
2
2
9
2
2
y x
y x
⎧
=+
⎪⎪
∴⎨
⎪=-+
⎪⎩
解得：
1
5
2
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
2
5
1,,
2
P
⎛⎫
∴ ⎪
⎝⎭
则圆心P移动的路线长=
22
12
1751525
1 5.
8248
PP
⎛⎫⎛⎫
=+++=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
255
【点评】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目．
5．（1）2
1
2
2
y x x
=-+，点B（2，2）；（2）m=2或
20
9
m=；（3）存在；n=2
7
时，抛物线向左平移．
【解析】
【分析】
（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；
（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；
（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】
解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12
-
x 2
+bx+c ． 得040c b b c =⎧
⎨-++=⎩，
∴02c b =⎧⎨=⎩
．
∴2211
2(2)222
y x x x =-
+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．
∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．
∵O′P=OP=m ． ∴C′D=
12O′P=1
2
m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3
2m ，2
m ）．
当点O′在y=12
-x 2
+2x 上． 则−
12
m 2
+2m ＝m ．
解得：
12
m=，
20
m=（舍去）．∴m=2．
当点C′在y=
1
2
-x2+2x上，
则
1
2
-×(3
2
m)2+2×
3
2
m＝
1
2
m，
解得：
120 9
m=，
20
m=（舍去）．
∴m=20 9
（3）存在n=2
7
，抛物线向左平移．
当m=20
9
时，点C′的坐标为（
10
3
，
10
9
）．
如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．
以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（10
3
，
10
9
），点B（2，2）．
∴点A′（8
3
，
8
9
）．
∴点A″的坐标为（8
3
，
28
9
）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39
k=，
解得：k=7
6
．
∴直线OA″的解析式为y=7
6 x．
将y=2代入得：7
6
x=2，
解得：x=12
7
，
∴点B′得坐标为（12
7
，2）． ∴n=212277
-
=． ∴存在n=2
7
，抛物线向左平移．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
）以及点B′的坐标是解题的关键．
6．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）49
2
【解析】 【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；
（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】
（1）PM PN =，PM PN ⊥；
已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得
12PM EC =
，1
2
PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒ 即得PM PN =，PM PN ⊥ 故答案为：PM PN =；PM PN ⊥． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得BAD CAE ∠=∠， 又AB AC =，AD AE = ∴BAD CAE ∆∆≌
∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点 ∴PM 是DCE ∆的中位线
∴1
2
PM CE =
，且//PM CE ， 同理可证1
2
PN BD =
，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠， ∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，
DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，
∴
90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，
即PMN ∆为等腰直角三角形．
（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，
此时1()72PN AD AB =
+=，1
()72
PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为149
7722
⨯⨯=． 【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系． 7．（1）211433=
--y x x ， (0,4)C -；（2）4m -；（3）①m 的值为5
4
；②存在；点P 的坐标为(4,2)--或1422(,)55-
-或42
(,)55
． 【解析】 【分析】
（1）将(3,0)A -、(4,0)B 代入24y ax bx =+-，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组即可求出a 、b 的值，进而可得到抛物线的表达式和点C 的坐标；
（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+即可求出解析式的表达式，令x=m ，即可得到线段DE 的长用含m 的式子表示为4m -；
（3）①由点D 的横坐标为m ，且04m <<，可得OE m =，再根据四边形DEFG 是正
方形求出点G 的坐标，代入函数解析式即可求出m 的值；
② 利用①中的方法求出点D 的坐标、CF 、CD 的值，再分不同情况讨论，利用两点间距离公式和全等三角形对应边相等列方程组求解即可. 【详解】
（1）将(3,0)A -、(4,0)B 代入24y ax bx =+-中，
得934016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解，得13
13a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
∴抛物线的表达式为211
433
=
--y x x ． 将0x =代入，得4y =-， ∴点(0,4)C -．
（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+， 将点(4,0)B 、(0,4)C -代入可得，
40
4k b b +=⎧⎨
=-⎩
， 解得1
4k b =⎧⎨
=-⎩
， ∵直线BC 的表达式为4y x =-， 当x=m 时，4y m =-，
即线段DE 的长用含m 的式子表示为4m -. 故答案为：4m -；
（3）①∵点D 的横坐标为m ，且04m <<， ∴OE m =，
∵四边形DEFG 是正方形， ∴4DE EF FG m ===-，
∴442OF EF OE m m m =-=--=-， ∵点G 在第三象限，
∴点G 的坐标为(24,4)m m --， ∵点G 在抛物线211
433
=
--y x x 上， ∴2
11(24)(24)4433
m m m ----=-，
解14m =（不符合题意，舍去），254m =
， ∴当矩形DEFG 成为正方形时，
m 的值为54
． ②存在；理由如下： 由①可知FG=DE=4-m ， ∵点O 是线段EF 的中点， ∴点G 的坐标为（-m ，m -4）， ∵点G 在抛物线211
433
=
--y x x 上， ∴2
11(24)(24)4433
m m m ----=-，
解10m =（不符合题意，舍去），22m =， ∴点D 的坐标为（2，-2）， ∴222425CF =+=，22(20)(24)22CD =
-+-+=，
如图，设点的坐标为（x ，y ），分以下三种情况：
I 、当位于点P 时，可得PF=CD ，PC=CF ， ∴22(2)25PF x y =
++=22(4)22PC x y =++=
解得1142x y =-⎧⎨=-⎩，224525x y ⎧
=-
⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
（不合题意，舍去），
∴点P 的坐标为(4,2)--；
II 、当位于点P '时，方法同I 可得点P 的坐标为1422
(,)55
-
-； III 、当位于点P ''时，方法同I 可得点P 的坐标为42(,)55
；
综上，点P 的坐标为(4,2)--或1422(,)55--或42(,)55
． 【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定解析式，两点间的距离公式，全等三角形的性质，解本题的关键是确定函数关系式． 8．（1）4；（2）1；（3）①1OPQ S ∆=；②322169
(02)
555
2(2)c c c c h c c c ⎧++<≤⎪=⎨⎪+>⎩
． 【解析】 【分析】
（1）由题意，先求出2F 的解析式，再求出P 、Q 两点的坐标，即可求出PQ 的长度； （2）由题意，先求出2F 的解析式，结合PQ 的长度，即可求出t 的值；
（3）①根据题意，先求出2F 的解析式，然后求出点P 和点Q 的纵坐标，得到PQ 的长度，利用三角形的面积公式即可求出面积；
②根据题意，先求出函数1F 和2F 的解析式，然后求出两个函数的对称轴，利用二次函数的对称性和增减性进行分类讨论：当02c <≤时，以及当2>c 时，分别求出h 与c 的关系式即可． 【详解】
解：（1）∵函数1F 为1y x =+，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，
∴函数2F 为1y x =-+， 当2x t ==时，有 121=3y =+； 2211y =-+=-；
∴点P 为（2，3），点Q 为（2，1-）， ∴PQ 的长为3(1)4PQ =--=； 故答案为：4； （2）∵函数1F 为3
y x
=，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称， ∴函数2F 为3y x
=-； ∵(0)x t t =>，
∴点P 在第一象限，点Q 在第四象限， 设点P 为（t ，3t
），点Q 为（t ，3
t -），
∵6PQ =， ∴
33
()6t t
--=，
解得：1t =； 故答案为：1；
（3）①∵函数1F 为2
(0)y ax bx c a =++≠，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，
∴函数2F 为：2()()y a x b x c =•-+•-+，即2y ax bx c =-+；
∵t b
=
，
∴把t b
=代入函数1F
，则2(
a y a
b
c c b b b =•+•+=+；
把t b
=
代入函数2F
，则2a y a b c c b =•+=-；
∴()a a
PQ c c b b
=+-=
∴112OPQ S ∆=
=； ②由①可知，函数1F 为2y ax bx c =++，函数2F 为2
y ax bx c =-+，
∵函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，
∴25500a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩
，
解得：15
45a c b c ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
， ∴函数1F 可化为：2455c c y x x c =-
++，函数2F 可化为：2455
c c
y x x c -=-+； ∴函数1F 的对称轴为：45
22()
5c x c
=-
=⨯-，
函数2F 的对称轴为：4522()
5
c
x c -
=-
=-⨯-， ∵0c >，则05
a c
=-<，
则函数1F ，函数2F 均是开口向下；
∴函数1F 在02x <<上，y 随x 增大而增大，在2x >上是y 随x 增大而减小； 函数2F 在2x >-上，y 随x 增大而减小；
∵1c x c ≤≤+，0c >， 当02c <≤时，则
函数1F 在2x =时取到最大值；函数2F 在1x c =+时取到最小值，则 ∴244(42)[(1)(1)]5555
c
c c c
h c c c c =-⨯+⨯+--•+-•++， 即32169
555
h c c c =
++（02c <≤）； 当2>c 时，则
函数1F 在x c =时取到最大值；函数2F 在1x c =+时取到最小值，则
2244()[(1)(1)]5555
c c c c
h c c c c c c =-•+•+--•+-•++，
即22h c c =+（2>c ）；
综合上述，h 关于c 的函数解析式为：322169
(02)5
552(2)c c c c h c c c ⎧++<≤⎪=⎨⎪+>⎩
． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的对称性、增减性，也考查了一次函数的图像和性质，待定系数法求函数的解析式，以及两点之间的距离，求三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意运用数形结合、分类讨论的思想进行分析，从而进行解题．
9．（1）241y x x =+-；（2）PAB △面积最大值为
27
8
；（3
）存在，1234(12)(34(34(13)E E E E ------，，，，，， 【解析】 【分析】
（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点
(
)
2
,41P a a a +-，则(,1)F a a -，1||2PAB
B A S PF x x ∆=⋅-2
3327
228
a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即可求解；
（3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】
解：（1）∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -
∴934
1b c c -+=-⎧⎨=-⎩
∴4
1b c =⎧⎨=-⎩
∴241y x x =+-
（2）设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y
∴1AB y x =-
过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F
设点()
2,41P a a a +-，则(,1)F a a - 由铅垂定理可得 1||2PAB B A S PF
x x ∆=⋅- ()231412a a a =
---+ ()
2332a a =-- 23327228
a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∴PAB △面积最大值为278
（3）（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2＋4x−1＝（x ＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2−5，
联立上述两式并解得：14x y -⎧⎨-⎩
＝＝，故点C （−1，−4）；
设点D （−2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC 为菱形的边时，
点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），
即−2＋1＝s 且m ＋3＝t ①或−2−1＝s 且m−3＝t ②，
当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2＋（t ＋1）2＝12＋32③，
当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22＋（m ＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s ＝−1，t ＝2或−4（舍去−4），故点E （−1，2）；
联立②④并解得：s ＝-3，t ＝
E （-3，-4
-3，-
②当BC 为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m ＋t ⑤，
此时，BD ＝BE ，即22＋（m ＋1）2＝s 2＋（t ＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s ＝1，t ＝−3，
故点E （1，−3），
综上，点E 的坐标为：（−1，2
）或(34--，
或(34--，或（1，−3）．
∴存在，1234(12)(34(34(13)E E E E ------，，，，，，
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．（1）21(6)33y x =
--；（2
）3）32
【解析】
试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C 点坐标代入求解即可．
（2）由于DE 是⊙A 的切线，连接AE ，那么根据切线的性质知AE ⊥DE ，在Rt △AED 中，AE 、AB 是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A 、D 关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD 的长，进而可利用勾股定理求得切线DE 的长．
（3）若△BFD 与EAD △相似，则有两种情况需要考虑：①△AED ∽△BFD ，
②△AED ∽△FBD ，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF 的长． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x-6）2+k ；
∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9）， ∴90{369
a k a k +=+=， 解得：1 {
33
a k ==- ∴y=13
（x-6）2-3．
（2）连接AE；
∵DE是⊙A的切线，
∴∠AED=90°，AE=3，
∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，∴AB=BD=3，
∴AD=6；
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，
∴DE=33．
（3）当BF⊥ED时；
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴AE AD
BF BD
=，
即
36
3 BF
=，
∴BF=3
2
；
当FB⊥AD时，
∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴AE ED
BF BD
=，
即BF=3
33
=；
∴BF的长为3
2
或3．
考点：二次函数综合题．
11．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）见解析【解析】
【分析】。