高中数学 2.2.2第2课时 椭圆方程及性质的应用知能演练

2013-2014学年高中数学 2.2.2第2课时 椭圆方程及性质的应用知
能演练 理（含解析）新人教A 版选修2-1
1．(2013·青岛调研)点A (a,1)在椭圆x
2
4＋y
2
2＝1的内部，则a 的取值范围是( )
A ．－2<a < 2
B ．a <－2或a > 2
C ．－2<a <2
D ．－1<a <1
解析：选A.由题意知a 2
4＋1
2
<1，解得－2<a < 2.
2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2
2＝1相切，则斜率k 的值是( )
A.63 B ．－63 C ．±
63
D ．±
33
解析：选C.把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2
2
＝1得
(2＋3k 2)x 2
＋12kx ＋6＝0，
由于Δ＝0，∴k 2
＝23，∴k ＝±63
.
3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 2
2
＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
2
，－172
解析：选C.把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2
＋4x －2＝0，
所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝1
3
.
4．经过椭圆x 2
2＋y 2
＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，O 为坐
标原点，则OA →·OB →
＝( )
A ．－3
B ．－1
3
C ．－13或－3
D ．±13
解析：选B.椭圆右焦点为(1,0)，
设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
把y ＝x －1代入x 2
2
＋y 2
＝1，
得3x 2
－4x ＝0.
∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，13.∴OA →·OB →
＝－13.
5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP →·FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
解析：选C.∵OP →·FP →＝|OP →|·|FP →
|·cos∠OPF ，
∴当P 为右端点时OP →·FP →
最大，其值为a ·(a ＋c )·cos 0°＝6.
6．椭圆x 2
3
＋y 2
＝1被直线x －y ＋1＝0 所截得的弦长|AB |＝__________.
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1＝0x 2
3
＋y 2
＝1得交点为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
2
，－12，
则|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋122＝322.
答案：32
2
7．已知椭圆的方程为x 2
16＋y 2m 2＝1(m ＞0)．如果直线y ＝2
2
x 与椭圆的一个交点M 在x 轴
上的射影恰为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为________．
解析：焦点在x 轴上，设交点为P ，则P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫16－m 2，m 24，
又∵点P 在y ＝2
2
x 上， ∴m 2
4＝2
2
16－m 2
，解得m ＝22，
∴e ＝c a ＝224＝22
.
答案：
2
2
8．过椭圆x 25＋y 2
4
＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原
点，则△OAB 的面积为__________．
解析：将椭圆与直线方程联立：⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2＋5y 2－20＝0，
y ＝
x －，
解得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，43.设右焦点为F ，
则S △OAB ＝12·OF ·|y 1－y 2|＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪43＋2＝5
3.
答案：5
3
9．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 2
2
＋y 2
＝1有
两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．
解：由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 2
2
＋(kx ＋2)2
＝1.整
理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2
－
4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2＝4k 2
－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.
即k 的取值范围为(－∞，－
22)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，＋∞. 10．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 2
2＋y 2
＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423
.求直线l 的方
程．
解：设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 22
＋y 2
＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2
＋4kx ＝0，
∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0.
由|MN |＝42
3，得
(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝329，
∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2
＝329
，
∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝329
，
即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得：k 4＋k 2
－2＝0， ∴k 2
＝1，∴k ＝±1.
∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.
1．已知椭圆x 2
a
2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →
，则椭圆的离心率是( )
A.32
B.22
C.13
D.12 解析：
选D.如图，由于BF ⊥x 轴，
∴BF ∥OP . ∵AP →＝2PB →， ∴a ＝2c ， ∴c a ＝12
. 2．椭圆E ：x 216＋y 2
4
＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为
________．
解析：法一：设过点P (2,1)的直线为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程可得(4k 2＋1)x 2
＋
(8k －16k 2)x ＋16k 2
－16k －12＝0.设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22
＝2，
即16k 2
－8k 4k 2＋1＝4，得k ＝－12
，即所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 法二：设弦的两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
依题意有：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
x 2116＋y 21
4＝1 ①x 2
2
16＋y
22
4＝1 ②
x 1
＋x 2
＝4 ③
y 1＋y 2＝2 ④y 1－y 2x 1
－x 2
＝k AB
⑤
①－②将③④⑤代入得k AB ＝－1
2，
∴所求直线的方程为：y －1＝－1
2
(x －2)，
即x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋2y －4＝0
3．已知椭圆x 28＋y 2
2
＝1过点M (2,1)，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截
距为m (m ≠0)．
(1)当m ＝3时，判断直线l 与椭圆的位置关系；
(2)当m ＝3时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值．
解：(1)由题可知k l ＝k OM ＝1
2
，
当m ＝3时，直线l 的方程为y ＝1
2
x ＋3.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1
2x ＋3，x 2
8＋y 2
2＝1，
得x 2
＋6x ＋14＝0.
∵Δ＝36－4×14＝－20＜0，
∴原方程组无解，即直线l 和椭圆无交点，此时直线l 和椭圆相离．
(2)设直线a 与直线l 平行，且直线a 与椭圆相切，设直线a 的方程为y ＝1
2
x ＋b ，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1
2x ＋b ，x 2
8＋y
22＝1，
得x 2＋2bx ＋2b 2
－4＝0，
∴Δ＝(2b )2
－4(2b 2
－4)＝0，解得b ＝±2，
∴直线a 的方程为y ＝1
2
x ±2.
所求P 到直线l 的最小距离等于直线l 到直线y ＝1
2x ＋2的距离d ＝
3－2－
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝25
5
. 4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .
(1)写出C 的方程；
(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →
|的值是多少？ 解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a ＝2的椭圆，它的短半轴b ＝22
－
3
2
＝1，
故曲线C 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
4＝1，y ＝kx ＋1，
消去y 并整理得(k 2
＋4)x 2
＋2kx －3＝0， Δ＝(2k )2－4×(k 2＋4)×(－3)＝16(k 2
＋3)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3
k 2＋4
.
由OA →⊥OB →
，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.
而y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2
x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，
于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2
＋1
k 2＋4
.
由－4k 2
＋1k 2＋4＝0，得k ＝±12
，此时OA →⊥OB →.
当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－12
17
.
|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k 2x 2－x 12，
而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2
－4x 1x 2
＝42172＋4×1217＝42×52172， 所以|AB →|＝46517.。