四川省双流县高三数学11月月考试题 文 新人教A版

数 学 试 题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．将答案写在答题卷上，只交答题卷。

．．．．．．．．．．．．．．．． 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．若集合M ={y|y=x -2
}，P ={y |y=x －1 }，那么M ∩P=（ ）
A ．(1，+∞)
B ．(0，+∞)
C ．［1，+∞)
D ．［0，+∞) 2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则
（ ）
A. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p
B.1sin ,:≥∈∀⌝x R x p
C. 1sin ,:>∈∃⌝x R x p D .1sin ,:>∈∀⌝x R x p 3．已知一个奇函数的定义域为{}1,2,,,a b -则a b += （ ）
A ．1-
B ．1
C ．0
D ．2 4．在ABC ∆中，已知则ABC ∆的面积为（ ）
A ．1
B ．2 C
．3
5．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( ) A. 32+ B. 32+
C. 322++
D. 323++
6．如果函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称，如果
πϕ≤≤0，那么=ϕ ( )
A ．
6π B ．3π C ．2
π
D ．32π
7．设f (x )= x 2
+ax+b ，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域的面积是 ( )
A ．12
B ．1
C ．2
D ．92
8．已知向量= (2,1)，= (1,7)，= (5,1)，设M 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么⋅ 的最小值是 ( )
侧视图
俯视图
A ．16
-
B ．8-
C ．0
D ．4
9．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．②和④
D ．③和④ 10．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m a ，n a
14a =，
则14m
n
+的最小值为( )
A.
32 B. 53 C. 256
D. 不存在 11．当x ∈［0,2］时，函数3)1(4)(2
--+=x a ax x f 在x=2时取得最大值，则a 的取值范围是( )
A ．[－21,+∞)
B ．[0，+∞）
C ．[1, +∞)
D ．[32
,+
∞)
12．设f (x ) 是定义域为R 的奇函数，g (x )是定义域为R 的恒大于零的函数，且当0>x 时
有)()()()(x g x f x g x f '<'，若()01=f ，则不等式()0>x f 的解集是 （ ） A ．()()+∞-∞-,11, B ．()()1,00,1 - C ．()()1,01, -∞- D ．()()+∞-,10,1
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上 。

13
．计算12
2
29log 3log 8(11)]-⋅-+
-= 。

14．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等,且侧棱与底面垂直，M 是侧
棱1CC 的中点，则异面直线1AB 与BM 所成角的大小为 。

15
．已知6cos sin παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则76sin πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
. 16．对于三次函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的
导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数
()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一
个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

给定函数32115
()33212
f x x x x =
-+-，请你根据上面探究结果，解答以下问题： （1）函数32115
()33212
f x x x x =-+-的对称中心为 ； （2）计算1232012
(
)()()(
)201320132013
2013
f f f f ++++= . 三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（满分12分）已知函数()sin cos .f x x x =+（Ⅰ）若
22cos sin cos ()2(),1sin x x x
f x f x x
-=-+求
的值； （Ⅱ）求函数2
()()()()F x f x f x f x =⋅-+的最大值和单调递增区间。

18.（满分12分）设函数2
()lg(
1)1
f x x =-+的定义域为集合A ，函数()
g x =的定义域为集合B 。

（1）求集合A 与B ；（2）求
11
(
)()20132013
f f +-的值；(3)求证：2≥a 是A B =∅的充分非必要条件。

19.（满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直, 且ABC ∆是
1
正三角形，1AB =,点D 是11A B 的中点,点E 在11A C 上,且DE AE ⊥。

(1) 证明:平
面ADE ⊥平面11ACC A ；(2) 求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值。

20．（满分12分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n +++
+=-=。

（1）
求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），求数列}{n b 的
最大项的值；（3）对第（2）问中的数列}{n b ，如果对任意*n N ∈，都有214
n b t t +≤，求实数t 的取值范围。

21．（满分12分）如图，ABC ∆为一个等腰三角形，腰AC 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米），现拟在该空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形．设四边形和三角形的周长相等．．．．．．．．．．．．．
，且面积分别为21,S S ． （1）若小路一个端点E 为AC 的中点，另一端点F 在AB 上，求此时小路的长度．（如图一）
（2）若F E ,点分别在两腰上，求2
1
S S 的最小值．（如图二）
图一
A
F 图二
A
22.（满分14分）设函数x mx x x f 2
3
61121)(23++-=，c x mx x g +-=221)(，
)()(x f x x F ⋅=。

(1) 若函数)(x f y =在2=x 处有极值，求实数m 的值；(2) 试讨论方程)()(x g x F ='的实数解的个数；（3）记函数)(x G y =的导函数)(x G '在区间(a,b)上的导函数为)(x G ''，若在(a ，b)上)(x G ''＞0恒成立，则称函数)(x G 在区间(a,b)上为“凹函数”。

若存在实数]2,2[-∈m ,使得函数)(x F 在(a,b)上为“凹函数”，求a b -的最大值。

数学参考答案与评分标准 命题人：成都棠湖中学 夏杰文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．B ． 2．C 3．A 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．D 12．C 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．
13．21 14. ︒90 15. 53- 16. 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭、2012
三、解答题：本大题共6小题；共74分．
17．解：（Ⅰ）∵()sin cos f x x x =+，∴()cos sin f x x x -=-． ┄┄┄
┄┄1分
又∵()2()f x f x =-，∴()sin cos 2cos sin x x x x +=-且cos 0x ≠1
tan 3
x ⇒=．┄┄┄┄3分
∴22cos sin cos 1sin x x x x -+222cos sin cos 2sin cos x x x x x -=+2
1tan 2tan 1x x -=+6
11
=； ┄┄┄┄6分
（Ⅱ）由题知2
2
()cos sin 12sin cos F x x x x x =-++
()cos 2sin 21F x x x ⇒=+
+()214F x x π⎛
⎫⇒=++ ⎪⎝
⎭ ┄┄
┄┄10分 ∴当sin 214x π⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
时，max ()1F x =．
┄┄┄┄┄11分 由2222
4
2k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+解得，单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
┄┄┄12分
18.解：（1）)1,1(01
1
0112-=⇒<+-⇒>-+A x x x
………2分；又 22120a ax x ---≥，
∴]1,1[0)1)(1(01222+---=⇒≤-+++⇒≤-++a a B a x a x a ax x ………4分
（2）)(11lg )(,11lg
)(x f x
x x f x x x f -=-+=-∴+-= ，故)(x f 是奇函数， 所以11
()()020132013
f f +-=………8分 【注】如果直接计算，结果正确也给分。

（3）（充分性）当2≥a 时，11,31-≤+--≤--a a ，而)1,1(-=A ，]1,1[+---=a a B ， 故A B =∅，充分性成立………10分
（必要性）若A B =∅，只要取11≥--a ，即2-≤a 即可，推不出2≥a ，必要性不成立。

所以，2≥a 是A B =∅的充分非必要条件。

………12分
19.证明：（I ）由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面111A B C ， 又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1 ………（2’） 而DE ⊥AE ，AA 1 AE=A 所以DE ⊥平面AC C 1A 1………（4’） 又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面AC C 1A 1。

………（6’）
（2）设O 为AC 中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A 1=2，则AB=2，则A(0,1-,0) ，B （3，0，0）， C 1（0，1，2），D （2
3，2
1-，2）………（7’）
直线AD 和平面ABC 1所成角为θ，平面ABC 1的法向量为n=（x ，y ，z ）
由=(3，1，0)， 1AC =(0，2，2)， =(2
3，2
1-，2）
1
有⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=,022·,03·1z y AC n y x n 解得x=-33y ， z=-y 2，故可取n=(1，3-，6) ………（9’） cos <n ·AD
=
3
1032⨯=
510
…………
(11)
）
所以，直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值为510。

………………
（12’）
20．解：（1）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-……………①，
123111n n n a a a a a n a +++++++=+-……………②，②—①可得121n n a a +-=………3分； 即：11
1(1)2n n a a +-=-，又1112
a -=-
……..5分，所以数列{1}n a -是以12-为首项，以
12为公比的等比数列…………………..…..4分
（2）由(1)可得1
1()2n n a =-，故2
2n n
n b -=
，设数列}{n b 的第r 项最大，则有43)3(221)2(2232221
2211
≤≤⇒⎩⎨⎧-≥--≥-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥--≥--+r r r r r r r r r r r
r r ，故数列}{n b 的最大项是8
1
43==b b ..…..8分 （3）由(2)可知{n b }有最大值341
8
b b ==
；所以，对任意*n N ∈，有18n b ≤…....9分；如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，即214
n b t t ≤-成
立，则2max 1()4n b t t ≤-，故有：21184t t ≤-，…....11分，解得12t ≥或1
4
t ≤-；
所以实数t 的取值范围是1
1(,][42
-∞-+∞，）……12分 21．解：（1）由题意知，点F 在底AB 上，且3
2cos ,23,27===
A AE AF ，在AEF ∆中，由余弦定理得：A AF AE AF AE EF cos 22
2
2
⋅⋅-+=
2
153227232)27()23(22=⨯⨯⨯-+=，所以230=EF ；………6分 （2）设x CE =，则x CF -=5，
1sin 2
1
sin 21
12
2221-⋅⋅⋅⋅=-=-=∆∆C CF CE C BC AC S S S S S S S ABC
ABC
图二
A
图一
A
F
2511
1)2
5(91)5(92=--+≥--x x x x ，
当且仅当x x -=5，即25=x 时，21S S 的最小值是2511……12分
22．解：（1）233141)(2++-
='mx x x f ，由题意得02
1
32)2(=+='m f ，解得4
3
-
=m …… 4分； （2）F ＇(x)= 3231
()()342f x xf x x mx x
'+=-++,F ＇(x)＝g(x)，
即c x mx x mx x +-=++-2232132131，04313=-+-c x x .令=)(x p c x x -+-43
1
3 则204)(2
±=⇒=+-='x x x p ，0)(),2,(<'--∞∈x p x ，0)(),2,2(>'-∈x p x ，
0)(),,2(<'+∞∈x p x ，∴c p x p --=-=3
16
)2()(极小值，
c p x p -==3
16
)2()(极大值。

由图知，
当3160316-<⇒>--c c 时，F ＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1
当3160316-=⇒=--c c 时，F ＇(x)＝g(x)的实数解的个数为2
当3
163160316,0316->>⇒>-<--c c c 时，F ＇(x)＝g(x)的实数
解的个数为3
当316
0316=⇒=-c c 时，F ＇(x)＝g(x)的实数解的个数为2 当3
160316>⇒<-c c 时，F ＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1 综上所述：316-<c 或316>c F ＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1；当3
16
±=c ，F ＇(x)＝
g(x)的实数解的个数为2；当3
16
316->>c 时F ＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1 (10)
分
（3）F ＇(x)= x mx x 32
1312
3++-
，
若存在实数m ∈[－2,2],使得函数F(x)在(a,b)上为“凹函数”,则在(a ，b)上F ＇＇(x)＞0恒成立，F ＇＇(x) 032
>++-=mx x ,令
032>++-=mx x Y 的对称轴为]1,1[2
-∈=m x ，032=++-mx x 的两根为1,2x x
，则
3,2121-==+x x m x x ，
124)()(221221221+=-+=-m x x x x x x ，m ∈[－2,2]，221)(x x -的最大值为16，故
4max
2
1=-x x ，从而b －a 最大值为4max
2
1=-x x ………14分。