人教课标版高中数学选修1-2《演绎推理》提升训练

《演绎推理》提升训练
(时间：40分钟；分值:45分）
―、选择题（每小题5分，共15分）
1.(2018黑龙江双鸭山期末，★★☆)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为12,,F F 且两曲线在第一象限的交点为,P 12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18,PF =椭圆与双曲线的离心率分别为12,,e e 则121e e ⋅+的取值范围是（ ）
A.()1,+∞
B.8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C.4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D.10,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
2.(2018广西南宁三中期末，★★☆)已知数列{}n a 的前n 项和()2,n S n n N *=∈则2018a =( )
A.2018
B.2019
C.4035
D.4036
3.(2018江苏泰州期末，★★☆>棱长为1的正方体可以在一个棱长为a 的正四面体的内部任意地转动，则a 的最小值为( )
A.
C.
二、填空题（每小题5分，共10分）
4.(2018云南峨山一中期末，★★☆)若抛物线2y ax =的焦点坐标是()0,1,则_____.a =
5.(2018云南蛾山一中期末，★★☆)已知1,x >则41x x +-的最小值为_____. 三、解答题（共20分）
6.(10分）（2018广东潮州期末，★★☆)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右两个焦点分别为12,,F F 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()
2,1.M
(1)求椭圆C 的方程； (2)已知()()
2,0,0,2,A B 经过点()0,2且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，请问是否存在常数k ,使得向量OP OQ +与AB 共线？若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.
7.(10分）（2018江西新余二中期末，★★☆）已知向量
()cos ,1,m x =-13,,2n x ⎫=-⎪⎭函数()().f x m n m =+⋅ (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
(2)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,c,a b 已知函数()f x 的图象经过点5,,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
三边,,c,a b 成等差数列，且6BA BC ⋅=,求a 的值.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析:设椭圆和双曲线的半焦距为c ，与x 轴正半轴分别交于()()12,0,,0,a a ()12,,,PF m PF n m n ==>
由于12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18,PF = 即有8,2,m n c ==
由椭圆的定义可得12,m n a +=
由双曲线的定义可得22,m n a -=
即有()124c,44,a a c c =+=-<
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2248,c c c +=> 则2,c >即有2 4.c <<
由离心率公式可得
2122122
1,16161c c c e e a a c c ⋅=⋅==-- 由于21614,c <
<则有2
11.1631c >- 则121411.33e e ⋅+>+= 121e e ∴⋅+取值范围为4,,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
故选C. 2.
答案:C
解析：()2
21121,n n n a S S n n n -=-=--=-故20182201814035.a =⨯-= 3.
答案：A
解析：由题意可知正方体的外接球为正四面体的内切球时a 最小，此时半径
,212
R a a === 二、填空题
4.
答案：见解析
解析：抛物线2y ax =的标准方程为21,x y a = 抛物线2y ax =的焦点坐标是()0,1, 111,.44
a a ∴=∴= 5.
答案：见解析
解析：由已知得1,10,x x >->
441111x x x x ∴+=-++--1415,≥=+= 当且仅当41,1x x -=
-即3x =时等号成立， 故41
x x +-的最小值为5. 三、解答题 6. 答案：见解析 解析：（1)由椭圆定义可知122.MF MF a += 由题意知211,2 1.MF MF a =∴=-
又12MF F ∆是直角三角形，则()(22211,0,2,a a a -=+>∴=
又222,a b -=得2 2.b =
∴椭圆C 的方程为22
1.42x y += (2)不存在，理由如下:设直线l 的方程为2,y kx =+
代入椭圆方程,得()2
22 1.42
kx x ++=
整理，得()2221840.k x kx +++=① 直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q 等价于()226416210,k k ∆-+>
解得,.k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设()11,,P x y ()22,,Q x y 则OP OQ +()1212,,x x y y =++ 由①得1228,21
k x x k -+=+② ()12124y y k x x ∴+=++24,21k =
+③ ()(
2,0,,A B
∴AB (.=-
OP OQ +与AB )()12122.x x y y +=-+
将②③代入上式，解得2
k =
,,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴不存在常数,k 使得向量OP OQ +与AB 共线. 7.
答案：见解析：
解析：(l)()()f x m n m =+⋅
()3
cos ,cos ,12x x x ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝
⎭
23cos cos 2x x x =++
cos 2132222
x x +=++ sin 22,6x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ 其最小正周期为,π
单调递增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ (2)由题意,()5sin 22,62f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝
⎭ 又()0,,A π∈解得.3A π
=
因为,,a b c 成等差数列，所以2,a c b +=即2.c b a =- 由余弦定理得2221cos ,22
b c a A bc +-== 所以()()22222,b b a a b b a +--=- 化简得,b a =所以,3
B A π
==则,a b c ==
BA BC ⋅211cos 6,22a B ac a ====
所以a =。