莆田二十五中2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 含解析

2016-2017学年福建省莆田二十五中高一(上）期中数学试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1．集合{x∈N｜x＜5｝的另一种表示法是（）
A．｛1，2，3,4｝B．{0，1,2，3，4}C．{1，2,3，4，5｝D．{0，1，2,3,4,5}
2．函数y=a x﹣2（a＞0，a≠1)的图象必经过点（)
A．(0，1）B．（1，1）C．（2，0) D．（2，1）
3．已知集合U={1，2,3，4，5，6}，M={2，3，5｝，N={4，6},则（∁U M)∩N=（）A．{4，6}B．｛1，4，6｝C．∅D．｛2，3，4，5,6}
4．下列可作为函数y=f（x)的图象的是（）
A．B．C．
D．
5．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）
A．y=3﹣x B．y=x2+1 C．y= D．y=﹣x2+1
6．设函数f(x）=x2﹣4x+2在区间[1，4]上的值域为（)
A．[﹣1，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．(﹣2，2）D．［﹣2，2］
7．已知函数f(x）的定义域为（﹣2，1)，则函数f(2x﹣1）的定义域为(）
A．(﹣，1) B．（﹣5,1) C．（，1）D．(﹣2,1）
8．设f(x）=，则f［f(﹣1）]=（）
A．0 B．3 C．4 D．﹣1
9．函数f（x)=（a2﹣3a+3)a x是指数函数，则a的值为（)
A．1 B．3 C．2 D．1或3
10．已知函数f（x+1）=2x2+5x+2,则f（x）的解析式为(）
A．f(x）=2x2+5x+2 B．f（x）=2x2+x﹣1 C．f（x）=2x2+9x+11 D．f（x）=2x2+5x﹣2 11．奇函数f（x）在区间［3，5]上是减函数，且最小值为3，则f（x)在区间［﹣5，﹣3］上是（)
A．增函数，且最大值是﹣3 B．增函数，且最小值是﹣3
C．减函数，且最小值是﹣3 D．减函数，且最大值是﹣3
12．如图,函数y=x+a,y=a x(a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A． B． C．D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知集合A={﹣1｝且A∪B=｛﹣1，3｝,请写出所有满足条件B的集合．
14．函数的定义域是．
15．不等式2x﹣2＜1的解集是．
16．已知函数f（x）是定义在(﹣∞，+∞）上的偶函数．当x∈（﹣∞,0）时，f(x）=x﹣x4,则当x∈（0,+∞）时，f（x）=．
三、解答题(第17题10分，其他每题12分，共70分）
17．已知函数f（x）=﹣，
(1）求函数f（x）的定义域；
(2)求f（﹣1），f（12）的值．
18．已知集合A=｛x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10｝，求：A∪B,（∁R A）∩B．
19．已知集合A=｛x｜4≤x≤8},B=｛x｜m+1＜x＜2m﹣2}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
20．计算（字母为正数）
(1）（4a2b）（﹣2a b）÷(﹣b）；
(2）﹣﹣(﹣1)0+（﹣1)2016+2﹣1．
21．已知函数f（x）=+x．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性;
（2）证明：函数f（x)在区间（1，+∞）上为增函数;
（3）求函数f（x）在区间[1，3］的最值．
22．f(x）是定义在R上的函数，且对任意的x、y都有f（x+y)=f（x）+f（y）﹣1成立．当x＞0时,f（x)＞1．
(1）若f（4）=5,求f(2）;
（2)证明:f（x）在R上是增函数；
(3）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．
2016—2017学年福建省莆田二十五中高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题5分，共60分)
1．集合{x∈N｜x＜5｝的另一种表示法是（）
A．{1，2，3,4｝B．｛0，1,2，3，4}C．｛1，2，3,4，5｝D．｛0，1，2，3,4，5}【考点】集合的表示法．
【分析】找出满足条件的x,用列举法表示即可．
【解答】解：集合{x∈N|x＜5｝表示元素x是自然数,且x＜5，这样的数有：0，1，2，3，4,；
∴该集合用列举法表示为:｛0，1,2，3，4}．
故选B．
2．函数y=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象必经过点（）
A．(0，1）B．（1，1）C．（2，0）D．（2，1）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据指数函数y=a x过定点（0，1）的性质，即可推导函数y=a x﹣2（0＜a≠1）的图象过定点(2，1）．
【解答】解:∵指数函数y=a x过定点（0，1），
∴将y=a x向右平移2个单位，得到y=a x﹣2,
则函数y=a x﹣2（0＜a≠1）的图象过定点（2，1）．
故选：D
3．已知集合U={1，2，3,4，5，6}，M=｛2，3，5｝,N=｛4，6｝，则（∁U M)∩N=（) A．{4，6｝B．{1，4,6｝C．∅D．｛2，3，4，5，6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与交集的定义进行计算即可．
【解答】解：集合U=｛1,2，3，4,5，6｝,M={2，3，5｝，N={4，6},
∴∁U M=｛1，4，6｝，
∴(∁U M）∩N={4，6｝．
故选：A．
4．下列可作为函数y=f（x）的图象的是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】利用函数的定义分别对A、B、C、D四个选项进行一一判断,即可的答案．
【解答】解：∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，
也就是说函数的图象与任意直线x=c都只有一个交点；
选项A、B、C中均存在直线x=c,与图象有两个交点，故不能构成函数；
故选D．
5．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是(）
A．y=3﹣x B．y=x2+1 C．y= D．y=﹣x2+1
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．
【分析】分别求出各个函数的导数，并分析各个函数在区间（0,2)上的单调性，可得答案．【解答】解：若y=3﹣x，则y′=﹣1＜0在区间（0,2）上恒成立,故区间（0，2）上，函数为减函数；
若y=x2+1，则y′=2x＞0在区间（0,2)上恒成立，故区间（0，2）上，函数为增函数；
若y=，则y′=﹣＜0在区间（0,2)上恒成立,故区间(0，2)上，函数为减函数；
若y=﹣x2+1,则y′=﹣2x＜0在区间（0，2）上恒成立，故区间（0,2)上，函数为减函数;
故选：B
6．设函数f（x）=x2﹣4x+2在区间［1，4］上的值域为（）
A．[﹣1，2] B．（﹣∞，﹣1）∪(2，+∞）C．(﹣2，2) D．[﹣2，2]
【考点】函数的值域．
【分析】根据二次函数的图象及性质求解即可!
【解答】解:由题意：函数f（x）=x2﹣4x+2，
开口向上，对称轴x=2,
∵1≤x≤4，
根据二次函数的图象及性质：
可得：当x=2时，函数f（x）取得最小值为﹣2．
当x=4时，函数f（x）取得最大值为2．
∴函数f（x）=x2﹣4x+2在区间［1,4］上的值域为［﹣2，2]．
故选D．
7．已知函数f(x）的定义域为(﹣2，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为（) A．（﹣，1) B．（﹣5,1) C．（，1）D．(﹣2,1）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】可令t=2x﹣1，则f（t)的定义域为（﹣2，1),即﹣2＜2x﹣1＜1,解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：函数f(x）的定义域为（﹣2，1），
令t=2x﹣1，则f（t)的定义域为（﹣2，1）,
即﹣2＜2x﹣1＜1，
解得﹣＜x＜1，
则函数f(2x﹣1）的定义域为（﹣，1）．
故选：A．
8．设f（x）=，则f[f（﹣1）］=（）
A．0 B．3 C．4 D．﹣1
【考点】函数的值．
【分析】由函数性质先求出f（﹣1）=3，从而f[f(﹣1）]=f（3）,由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（﹣1）=（﹣1)2+2=3,
f［f（﹣1）］=f（3）=3+1=4．
故选：C．
9．函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，则a的值为（）
A．1 B．3 C．2 D．1或3
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【分析】根据指数函数的定义得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解:由题意得：,
解得：a=2，
故选：C．
10．已知函数f（x+1）=2x2+5x+2,则f（x）的解析式为(）
A．f（x）=2x2+5x+2 B．f(x)=2x2+x﹣1 C．f(x）=2x2+9x+11 D．f（x）=2x2+5x﹣2 【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】利用换元法求f（x）即可．
【解答】解：设x+1=t，则x=t﹣1，所以f(t）=2（t﹣1）2+5（t﹣1）+2=2t2+t﹣1，所以f（x）=2x2+x﹣1；
故选B．
11．奇函数f（x)在区间［3，5］上是减函数,且最小值为3，则f（x）在区间[﹣5,﹣3]上是（）
A．增函数,且最大值是﹣3 B．增函数，且最小值是﹣3
C．减函数,且最小值是﹣3 D．减函数，且最大值是﹣3
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，以及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f(x）在区间[3，5］上是减函数,
所以f（x）在区间[﹣5，﹣3］上也是减函数，
又奇函数f（x）在区间[3，5]上的最小值f（5）=3,
则f（x)在区间［﹣5，﹣3］上有最大值f （﹣5）=﹣f（5）=﹣3，
故选：D．
12．如图，函数y=x+a，y=a x（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A． B． C．D．
【考点】指数函数的图象与性质;函数的图象．
【分析】根据一次函数和指数函数的图象和性质，y=x+a，过定点（0，a）,y=a x（a＞0，a ≠1)过定点（0，1），再根据函数的单调性即可判断
【解答】解：y=x+a，过定点（0,a），y=a x（a＞0，a≠1）过定点（0，1），
当a＞1时,y=x+a,y=a x均为增函数，
当0＜a＜1时，y=x+a，为增函数，y=a x为减函数，
于是观察只有B符合，
故选：B
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知集合A={﹣1}且A∪B={﹣1，3}，请写出所有满足条件B的集合{3｝或{﹣1，3} ．
【考点】集合的含义．
【分析】由题意列举集合B的所有可能情况．
【解答】解：集合A={﹣1｝，A∪B={﹣1,3｝，
所以B至少含有元素3，
所以B的可能情况为：｛3}或{﹣1,3}．
故答案是：｛3}或{﹣1，3｝．
14．函数的定义域是［4,5)∪(5，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0,解方程组求得自变量的取值范围．
【解答】解：由，
解可得x≥4 且，x≠±5，
故函数的定义域为[4，5）∪（5，+∞），
故答案为［4，5）∪(5，+∞)．
15．不等式2x﹣2＜1的解集是{x|x＜2｝．
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】根据指数函数的单调性，把不等式化为x﹣2＜0，求出解集即可．
【解答】解：由不等式2x﹣2＜1，
得x﹣2＜0，
解得x＜2,
所以不等式的解集是{x|x＜2｝．
故答案为：｛x｜x＜2｝．
16．已知函数f(x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数．当x∈（﹣∞，0)时，f(x）=x﹣x4,则当x∈（0，+∞）时，f（x）=﹣x4﹣x．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】先设x∈（0，+∞）得﹣x∈（﹣∞，0），代入已知的解析式求出f（﹣x）,再由偶函数的关系式f（x)=f（﹣x）求出．
【解答】解：设x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞,0)，
∵当x∈（﹣∞，0)时，f(x）=x﹣x4，∴f(﹣x）=﹣x﹣x4，
∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，
∴f(x）=f(﹣x）=﹣x﹣x4，
故答案为：﹣x4﹣x．
三、解答题(第17题10分，其他每题12分,共70分）
17．已知函数f(x)=﹣，
（1）求函数f(x）的定义域;
（2）求f（﹣1），f（12）的值．
【考点】函数的定义域及其求法;函数的值．
【分析】(1）利用根式函数和分式函数的定义域求法求函数的定义域．（2)利用函数关系式直接代入求值．
【解答】解：（1)要使函数的有意义，则，
即，所以x≥﹣4且x≠1．
所以函数的定义域为｛x｜x≥﹣4且x≠1}
（2），
．
18．已知集合A=｛x｜3≤x＜7}，B={x｜2＜x＜10｝,求：A∪B，（∁R A）∩B．
【考点】补集及其运算；并集及其运算；交集及其运算．
【分析】根据并集的定义，由集合A={x|3≤x＜7},B=｛x｜2＜x＜10｝,求出A与B的并集即可；先根据全集R和集合A求出集合A的补集，然后求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由集合A=｛x｜3≤x＜7}，B=｛x｜2＜x＜10}，
把两集合表示在数轴上如图所示：
得到A∪B=｛x|2＜x＜10}；
根据全集为R,得到C R A=｛x｜x＜3或x≥7｝；
则（C R A）∩B={x｜2＜x＜3或7≤x＜10}．
19．已知集合A={x｜4≤x≤8},B={x|m+1＜x＜2m﹣2｝，若B⊆A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据题意需讨论B=∅，和B≠∅两种情况，根据子集的概念限制m的取值从而得到实数m的取值范围
【解答】解：∵集合A={x｜4≤x≤8｝，B=｛x|m+1＜x＜2m﹣2}，且B⊆A
∴①当B=∅时，则m+1≥2m﹣2,解得m≤3;
②当B≠∅时,则解得3≤m≤5．
综上得，实m的取值范围为{m|m≤5｝．
20．计算（字母为正数)
（1）（4a2b)（﹣2a b）÷(﹣b）；
（2）﹣﹣（﹣1）0+(﹣1)2016+2﹣1．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
【解答】解：(1）（4a2b）(﹣2a b）÷（﹣b）
=
=．
（2)﹣﹣（﹣1）0+（﹣1）2016+2﹣1
=
==．
21．已知函数f（x）=+x．
（1)判断并证明f(x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数；
（3）求函数f(x）在区间［1，3]的最值．
【考点】函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的判断．
【分析】（1）（2）分别利用函数的奇偶性定义和单调性定义进行判断证明；
（3)利用（2）的结论,得到函数区间上的单调性，进一步求得最值．
【解答】解：已知函数f（x)=+x则函数f（x）的定义域为（﹣∞，0)∪(0，+∞）
（1）函数为奇函数
理由：对任意的x∈{x|x≠0,都有，故函数f(x）
为定义域上的奇函数．
(2)证:对区间（1,+∞)上的任意两个数x1、x2，且x1＜x2,则
．
由于x1、x2∈（1，+∞)且x1＜x2，则x1x2＞1，x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0．
从而f（x1）﹣f(x2）＜0即f（x1）＜f(x2），
因此函数f(x)在区间（1，+∞)上为增函数．
（3）有（2)知，函数f(x)在区间[1,3]上为增函数，故f min（x)=f（1）=2，．
22．f（x）是定义在R上的函数,且对任意的x、y都有f（x+y）=f(x）+f（y）﹣1成立．当x＞0时,f(x）＞1．
（1)若f（4)=5，求f（2）；
(2)证明:f(x）在R上是增函数；
（3）若f(4）=5，解不等式f(3m2﹣m﹣2)＜3．
【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．
【分析】（1）f（4）=f（2）+f（2）﹣1，即可求出f（2）的值，
(2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x1＜x2∈R，判断出f（x1）与f （x2）的大小即可知道增减性．
（3）f（3m2﹣m﹣2）＜3,得f(3m2﹣m﹣2）＜f（2），由(2）知，f（x）是R上的增函数，得到3m2﹣m﹣2＜2,求出解集即可．
【解答】解：(1）f(4)=f(2）+f（2）﹣1=5，解得f（2）=3 （2）任取x1,x2∈R,且x1＜x2,则x2﹣x1＞0，
∵x＞0时，f（x)＞1．
∴f（x2﹣x1）＞1
∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞f（x1）∴f（x2）＞f(x1)，
∴f（x）是R上的增函数．
(3)∵由不等式f(3m2﹣m﹣2）＜3，
得f（3m2﹣m﹣2）＜f(2），
由（2)知，f(x）是R上的增函数，
∴3m2﹣m﹣2＜2，
∴3m2﹣m﹣4＜0,
∴﹣1＜m＜，
∴不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为（﹣1，）．
2016年11月29日。