北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题

绝密★启用前
北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高
三上学期12月月考数学试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩ðU B ＝（ ） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2} 2．1x <是12
log 0x >的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数2x y －＝ 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)
D ．(0，＋∞)
4．△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A ．x 2
25+y 29=1 B ．y 225+x 29=1（y≠0） C ．
x 216+y 29
=1(y ≠0)
D ．
x 225
+
y 29
=1（y≠0）
5．(2016高考新课标III ，理3)已知向量BA
⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32) ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√32,12), 则∠ABC = A ．30
∘
B ．45
∘
C ．60
∘
D ．120
∘
6．若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（ ） A ．(x −2)2+(y ±2)2=3 B ．(x −2)2+(y ±√3)2=3
线
…
…
…
…
线
…
…
…
…
C．(x−2)2+(y±2)2=4D．(x−2)2+(y±√3)2=4
7．向量,,
a b c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+
a b与c共线,则实数λ=
A．2-B．1-C．1D．2
8．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是（）
A．S7<S8B．S15<S16C．S13>0D．S15>0
9．在ABC
∆中，,,
a b c分别为,,
A B C的对边，如果,,
a b c成等差数列，30
B=︒，ABC
∆
的面积为
3
2
，那么b=（）
A B．1+C D．2
10．若1
a>，设函数()4
x
f x a x
=+-的零点为()
,log4
a
m g x x x
=+-的零点为n，
则
11
m n
+的取值范围是( )
A．
7
,
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
B．[)
1,+∞C．()
4,+∞D．
9
,
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．设向量,a b是互相垂直的单位向量，向量a b
λ+
r r
与2
a b
+
r r
垂直，则实数λ=_______
12．已知点(2,0),(0,2)
A B
-，若点C是圆22
2
x x y
-+＝0上的动点，ABC
∆的面积
的最大值为．
13．在等比数列{}n a中，14
a=，公比为q，前n项和为
n
S，若数列{}2
n
S+也是等比
数列，则q等于
14．若圆()()
22
229
x y
-+-=上存在两点关于直线()
200,0
ax by a b
+-=>>对
称，则
19
a b
+的最小值为__________.
○……○……15．已知点,,1,,06
242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.
16．已知双曲线2
2:12
x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是
点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=u u u r u u u u r
g ，则λ的取值范围是__________. 三、解答题
17．已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；
（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 18．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+= (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)如果(
)*
m n a b n N
=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求
()()()12?··f f f n +++
19．已知点() 4,0C ，点 A B 、是圆22
:20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC =u u u r u u u r
g ，点P 是弦AB 的中点.
(1)求点P 的轨迹Γ方程;
(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ，求
k 的值
20．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .
（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；
（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，
求a 的取值范围.
21．已知椭圆G :
的离心率为1
2，过椭圆G 右焦点F 的直线m:x =1
与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点．判断直线MB,MC是否关于直线m对称，并说明理由．
22．对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S （A）．
（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；
（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；
（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素
个数最少的集合A．
参考答案
1．A
【解析】试题分析：集合A ＝{x|0＜x ＜2}，集合B ＝{x|x≥1}，故ðU B ＝{x|x ＜1} 所以A∩ðU B ＝{x|0＜x ＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算 2．B 【解析】 【分析】 解对数不等式12
log 0x >，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.
【详解】 ∵
1112
2
2
log 0log log 101x x x >⇒>⇒<<，
∴1x <不能推出01x <<，而01x <<能推出1x <， ∴1x <是12
log 0x >必要不充分条件.
故选：B. 【点睛】
本题考查对数不等式、充分条件与必要条件，考查运算求解能力，属于基础题. 3．B 【解析】
2,0
2
2,0
x x
x x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞．故选B ． 点睛：绝对值函数的解题策略就是去绝对值，得到分段函数，本题得到2,0
2
2,0
x x
x x y x --⎧>==⎨≤⎩，要判断单调区间，只需分段研究函数图象的性质即可．本题中易知0x ≤时，2x
y =是单调递增的． 4．D 【解析】
∵|AB|+|AC|+|BC|=18∴|AC|+|BC|=10>|AB|
所以定点C 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即2a =10,c =4∴b 2=
9∴ x 225+y 29
=1(y ≠0)，选D.
5．A
【解析】
试题分析：由题意，得cos∠ABC =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC
⃑⃑⃑⃑⃑ |BA
⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=
12×√32+√32×1
2
1×1
=
√3
2
，所以∠ABC =30°，故选A ．
【考点】向量的夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为a ⋅b ＝|a||b|cosθ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0∘≤θ≤180∘；（2）由向量的数量积的性质知|a|=√a ·a ，
，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、
垂直等有关的问题． 6．D 【解析】
因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2
＋b 2
＝4，b 2
＝3，b ＝±√3，选D. 7．D 【解析】 【分析】
由图中可知2+=a b c ，即可得到答案． 【详解】
由图中可知2+=a b c ，若向量λ+a b 与c 共线,则2λ=. 答案为D. 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题． 8．C
【解析】试题分析：由等差数列的性质及求和公式得，S 13=
13(a 1+a 13)
2
=13a 7>0,S 15=
15(a 1+a 15)
2
=15a 8<0，故选C.
考点：1. 等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.
9．B 【解析】
试题分析：由余弦定理得2
2
2
2
2cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积
1
sin 2ABC S ac B ∆=
13
642ac ac ==⇒=，因为a b c ，
，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得
22412b b =--24b =+，解得1b =+B ．
考点：余弦定理；三角形的面积公式． 10．B 【解析】 【分析】
把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果． 【详解】
函数()4x
f x a x =+-的零点是函数x
y a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标， 函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，
故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，
4m n ∴+=，
∴
111111()()(2)144m n m n m n m n n m
+=++=++…， 当2m n ==等号成立， 而4m n +=，故
11
1m n
+…， 故所求的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ．
本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 11．2- 【解析】 【分析】
根据向量的数量积为0可得关于λ的方程，解方程可得λ的值. 【详解】
∵向量,a b r r
是互相垂直的单位向量，
∴0,||||1a b a b ⋅===r r r r
，
∵a b λ+r r 与2a b +r r
垂直，
∴22
()(2)0(21)20202a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=⇒++⋅+=⇒+=⇒=-r r r r r r r r . 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查单位向量的概念、向量垂直的数量积关系，考查运算求解能力，求解时注意单位向量的模长为1. 12．32+ 【解析】
试题分析：圆2
2
20x x y -+=表示以(1,0)M 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，所以当点C 的纵坐标的绝对值最大时，ABC ∆的面积为
11
41222
C AB y ⨯⨯=⨯⨯=．
考点：直线与圆的位置关系． 13．3
解：由题意可得q≠1由数列{S n +2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s 2+2）
2
=（S 1+2）（S 3+2）代入等比数列的前n 项和公式整理可得（6+4q ）2=24（1+q+q 2）+12解可
得 q=3 14．16 【解析】 【分析】
由圆的对称性可得，直线
20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出19
a b
+的最小值． 【详解】
由圆的对称性可得，直线
20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=． 所以
119()()101061699b a
a b a b a b a b
+=++=+++=…， 当且仅当9b a
a b
=，即3a b =时取等号.
故答案为：16. 【点睛】
本题考查圆的对称性、基本不等式的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 15．4 【解析】 【分析】
由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而得出结论． 【详解】
① 若只有,,164A B ππ⎛⎛⎫
⎪ ⎝
⎭⎝⎭两点在函数()sin f x x ω=的图象上，
则有sin()6
π
ω=
g ，sin()14πω=g ，sin 02πω≠g ，
则22,2,6332,4
2,2k k k Z k k Z k k Z π
ππωπωππ
πωππ
ωπ⎧⋅=+=+∈⎪⎪
⎪⋅=+∈⎨⎪⎪⋅≠∈⎪⎩或，
即122,124,82,2,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪
=+∈⎨⎪≠∈⎩
或，求得ω无解．
②若只有点,,,0622A C ππ⎛⎛⎫
⎪ ⎝
⎭⎝⎭在函数()sin()f x x ω=的图象上，
则有sin()6
2
π
ω=
g ，sin()02πω=g ，sin()14πω≠g ，
故有22,2,6363,22,42k k k Z k k Z k k Z π
πππωπωππ
ωππ
πωπ⎧⋅=+⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪
⎪⋅≠+∈⎪⎩或，
即122,124,2,82,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪
=∈⎨⎪≠+∈⎩
或，求得ω的最小值为4． ③若只有点,1,,042B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在函数()sin f x x ω=的图象上，
则有sin 6
2
π
ω≠
g
，sin 14πω=，sin 02πω=，
故有2,42,2
22,2,6363k k Z k k Z k k k Z π
πωππ
ωππ
πππωπωπ⎧⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+⋅≠+∈⎪⎩
且，
即82,2,122124,k k Z k k Z k k k Z ωωωω=+∈⎧⎪
=∈⎨⎪≠+≠+∈⎩
且，求得ω的最小正值为10， 综上可得，ω的最小正值为4， 故答案为：4． 【点睛】
本题考查正弦函数的图象特征，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分三种情况进行讨论. 16．(],1-∞- 【解析】 【分析】
用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围． 【详解】
设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --，
∴22
20000003(,1)(,1)122
o MP MQ x y x y x y x λ==----=--+=-+u u u r u u u u r g g ．
Q 0||x max 3
2212
λ=-⋅+=-，
λ∴的取值范围是(],1-∞-．
故答案为：(],1-∞-. 【点睛】
本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、向量的数量积、一元二次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意运用向量的坐标运算求解问题. 17．(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56
x π
=时，()f x
取到最小值- 【解析】 【分析】
（1）a b ∥
即3sin x x =，即可求出56
x π
=
．（2）将()f x 表达式表示出来，注意
使用辅助角公式化简，再根据x 范围易得()f x 的最大值和最小值． 【详解】
（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.
于是tan 3
x =-
.又[0,]x π∈，所以56x π=.
（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛
⎫
=⋅=⋅=-=+
⎪⎝
⎭
a b .
因为[0,]x π∈，所以7,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 6x π⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭剟. 于是，当6
6
x π
π
+
=
，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6
x π
π+
=，即56
x π
=
时，()f x
取到最小值-【点睛】
此题考查向量平行坐标运算，向量积和三角函数联系求最值问题，注意辅助角公式的使用，属于较易题目． 18．(1)1
21,3n n n a n b -=-=;(2) ()11312n m -=+，321
4
n n +-
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；
（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，
则21132d q
d q +=⎧⎨++=⎩
解得23d q =⎧⎨=⎩
或1
0d q =-⎧⎨=⎩(舍)， 则1
21,3n n n a n b -=-=.
(2)因为m n a b =，所以1213n m --=，即()1
1312
n m -=
+； ∴()()()101
112[(31)(31)+(31)]2
n f f f n -+++=+++++L L
()0111
3332
n n -=++++L 113213n
n ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭ 321
4
n n +-=
. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.
19．(1)22( 2) 6x y -+=;(2)2k =- 【解析】 【分析】
（1）设点P 坐标为(),x y ，将几何关系222OP PC OB +=坐标系，即可得到点P 的轨迹Γ方程：
（2）利用圆的弦长公式分别求得两段弦长，再利用比例关系得到k 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】
(1)设点P 坐标为(),x y ，
因为P 为弦AB 的中点，则 OP AB ⊥， 因为0AC BC =u u u r u u u r
g ，则AC BC ⊥，
所以222OP PC OB +=，
即()()2
222
420x y x y ⎡⎤++-+=⎣⎦
，整理得()2
226x y -+=，
点P 的轨迹Γ是以点()2,0
的圆， 方程为2
2
( 2) 6x y -+=. (2)Γ的圆心()2,0到1l
的距离1|20|
2
d =
= Γ被1l
截得的弦长为=； Γ的圆心()2,0到2l
的距离2d =
，
Γ被2l
截得的弦长为
=
由题可知
=:2k =-.
【点睛】
本题考查圆的轨迹方程求解、弦长公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆中几何关系222OP PC OB +=的应用. 20．（1）3e 2e 0x y ++=. （2）1a ≤-或a 2e 4≥-. 【解析】
试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当0a =时，()2
x
f
x x e -=⋅，则
()()
()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又()1f e -=，所以可以求出切线方程；（2）本
问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的[]
0,2t ∈，存在
[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”，根据二次函数易求()21g x x x =--在[]0,2上的最大值，求()f x 在
[]0,2上最大值时，需要分区间对()0f x '=的根a -进行讨论，通过单调性求出()f x 在[]0,2上最大值，进而解不等式求a 的取值范围.
试题解析：(1)当0a =时，因为()2
x
f x x e -=⋅，所以
()()
()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点
()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.
(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]
0,2上，
()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2
215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭，所以
()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅
()2
22x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦
()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.
①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]
0,2上为单调递增函数，
()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅
，由()2
1
41a e
+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅
.由1a -≥，得1a ≤-；由()2
1
41a e
+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；
③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]
0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，
综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.
考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题. 方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]
0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]
0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 21．(1)x 2
4+y 23
=1；(2)对称.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，c
a =1
2，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由已知条件得A (－2,0)，M (1，3
2)，设直线l:y =1
2x +n ，n≠1．设B （x 1，y 1），C （x 2，
y 2），由{
x 24
+
y 2
3=1
y =1
2x +n
，得x 2+nx+n 2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB ，MC 关于直线m 对称． 试题解析： (Ⅰ)由题意得c ＝1, 由＝可得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 所以椭圆的方程为＋＝1.
(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，)， 所以由题意可设直线l ：y ＝x ＋n ，n ≠1. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，
由得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.
由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3
因为k MB ＋k MC ＝＋
＝＋
＝1＋＋
＝1＋ ＝1－
＝0，
所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.
22．（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8 【解析】 【分析】
（1）根据定义直接进行计算即可
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论． 【详解】
（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}． （2）令{}12,,n A x x x =L ．不妨设12n x x x <<<L ． 充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．
则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤
且22i j n +剟．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．
必要性：若d （S （A ））=2n -1． 因为1122,
(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-L ．
所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+ 任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ） 的值都与上述某一项相等． 又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,
(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-L ．
所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．
（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），
因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．
设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2
n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2
n +n +n =
()32
n n +．
若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为58
2
⨯=20， 而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3． 假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<…，
则1，2，3223,
1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，
从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．
集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7， （i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ． 此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意．
（ii ）若A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有16+9=25∈T （T （A ）），
若26∈T （T （A ）），则16+22a =26或16+（8+2a ）=26， 解得2a =5或2a =2．
当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T （T （A ））．不满足题意． 当A ={1，2，8}时，
T （T （A ））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，
20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．
故元素个数最少的集合A为{1，5，8}
【点睛】
本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。