shannon级数逼近具有共同光滑函数的误差分析

西华大学硕士学位论文
摘要
著名的Shannon 样本定理表明了任意一个信号函数2,Ω∈B f 都可以通过其可列个点上的样本值完全重构。

但在实际应用中，由于信号可能是非有限带宽的，以及测量仪器的属性和精度的限制，我们得到的采样值往往不是在该点的精确值，而是在其附近的平均值。

因此用Shannon 样本级数重构一个信号的时候会出现各种误差。

自1948年Shannon 提出了经典的Whittakier-Kotelnikov-Shannon 样本定理以来，很多数学和工程领域的作者已经研究了这个问题。

本文在有衰减的条件下通过平均采样的方式对)(d A p R W 空间上具有共同光滑的函数类进行误差分析，首先得到了混淆误差的一致界
()()()
()d p
d r C t f
S t f σσ
ln 1
+-≤-Ω，
其中d ΩΩ= 1σ。

一般我们只能得到有限个采样值，因此本文进一步分析了截断误差的一致界
()()()d p
d r N
C t f
E
σσ
ln 1,+-Ω≤.
最后我们考虑采样值是一个线性泛函和它的整数平移的情形，并研究其误差
()()()d p
d r N
C t f
E
σσ
λ
ln 1,+-Ω≤.
关键词：共同光滑函数类；Shannon 级数；Sobolev 空间；平均采样；混淆误差；截
断误差
Shannon 级数逼近具有共同光滑函数的误差分析
II
Abstract
The famous Shannon sampling theorem shows that every signal function 2,Ω∈B f could be perfectly reconstructed from the sampling value of its finte points.In practical application,the signal may be non-band-limited,the property of measuring apparatus and precision of limit,we get sampling values which are often not accurate at this point but its average values near by.Thus all sorts of errors appear when Shannon sampling series being used to reconstruct a signal.Since 1948,Shannon proposed classic Whittakier-Kotelnikov-Shannon theorem,a lot of authors have studied this problem in the field of math and engineering.We study errors for commonly smooth function classes on space ()d A p R W by means of the average sampling under decay condition in this paper.Firstly,we got the uniform bound of aliasing errors
()()()
()d p
d r C t f
S t f σσ
ln 1+-≤-Ω,
where d ΩΩ= 1σ.Secondly,generally we can only get a finite number of sampling values,so we further analyze the uniform boundary of truncation errors
()()()d
p
d r N
C t f
E
σσ
ln 1,+-Ω≤in this paper.Finally,we consider that sampling values is a linear functionals and its integer translation,also we study its error
()()()d p
d r N
C t f
E
σσ
λ
ln 1,+-Ω≤.
Key Word s :Commonly smooth function classes ；Shannon Cardinal Series;Sobolev Classes;Average Sampling;Truncation Error;Uniform Bounds
目
录
摘要.............................................................................................................................I Abstract (II)
1
绪论...............................................................................................................................11.1研究背景和意义...................................................................................................11.2预备知识...............................................................................................................21.3样本定理的发展现状...........................................................................................61.4论文主要结果.. (13)
2Shannon 级数逼近具有共同光滑函数的误差分析................................................152.1()d A p R W 空间上的混淆误差估计...................................................................152.2()d A p R W 空间上的截断误差估计...................................................................212.2.1采样值是精确函数值的截断误差...........................................................212.2.2带有测量采样值的截断误差. (22)
结论 (24)
参考文献.....................................................................................................................25攻读硕士学位期间发表论文及科研成果.......................................................................28致
谢 (29)
1绪论
1.1研究背景和意义
函数逼近论[1-6]是组成函数论的一个主要部分，也是现代数学中最经典的学科之一。

它主要研究函数的近似表示问题，即通过简单函数来近似地表达复杂函数的理论，并且使得原函数与构造的新函数之间具有某些相同或相类似的信息。

也就是说，将具有优良性质的简单函数，来逼近复杂未知的函数，并估计其误差。

例如在已选定的一族函数中找出某个函数f，使得这个函数f作为已知函数g在特定相同意义下的近似代替，并通过某种方法估计用f近似表示g的过程中出现的误差，这就是函数逼近问题。

在这一过程中，用来逼近已知函数g的函数类f有很多种选法,就算已经选取好了函数类f，但其中用作近似代替g的函数f的确定方式也可以有很多种，f与g的误差也可以有各种不同的含义。

因此研究函数逼近问题的方法有很多种，内容非常丰富。

对于用来逼近已知函数的函数类的取法，一般要在较简单的函数类中确定，这样既方便也易懂，当然也与函数g的性质和已知条件等要求相关。

已知函数g和逼近函数类f已经确定之后，用f近似代替函数g的方法有很多种，其中插值法[7-12]是最重要的方法。

插值就是要在逼近函数类里面确定一个f，使得它在已选的固定点上和函数g数值相等，或进一步要求f和g在这些固定点上的一阶或高阶导数的值也相等。

在数学领域中，我们经常用插值这一种方法来研究逼近问题。

例如泰勒多项式[13-15]就是常用的一类插值法，另外，线性算子[16,17]也是泛函中及其重要的一种逼近方法。

逼近方法和条件不一样，使得在逼近原函数的过程中会产生不同的误差，逼近度的好坏决定了所产生误差的大小。

作为函数论中最活跃的一个领域，函数逼近论的研究内容非常广泛，主要有插值和样条、三角多项式、调和函数分析、嵌入定理、逼近框架、超越函数的极值问题。

随着科学和应用数学的发展，函数逼近论与计算复杂性、泛函分析、压缩感知、小波分析、微分方程、等有着密切的联系，且它在地震勘测、信号分析、图像处理、数据挖掘、自动化控制、机械理论等工程领域中的实际应用[18-22]越来越广泛。

在函数逼近论的各研究领域和实际应用中，样本定理[23,24]是非常重要的一个分支。

信号是信息的载体，信息则是信号表示的具体内容，因而信号可以看做为传递信息的函数。

信号主要分为四种：连续、离散、数字、模拟。

在通讯过程中，信息的传送分为三个阶段：信号源发出初始信息，信号转化为数字模拟型，信息通道传至终端。

样本定理常用于信号处理。

Shannon 级数逼近具有共同光滑函数的误差分析
随着各领域的发展，在1948年，C.E.Shannon 首先在《A mathematical theory of communication 》文献[25]中提出了采样定理，在电子工程和通讯领域引起了巨大的变革，定理的基本思想是用一些离散的采样值来表示一个连续的有限带信号。

此外，Shannon 还在文献[26]中对采样定理进行了更加深入的分析和阐述。

这一定理引发了众多数学领域学者的研究和发展，E.T.Whittakier 于1915年在文献[27]中发表的统计理论，并首次提出了Whittakier-cardinal 级数的概念，
Kotelnikov 于1933年也提出了样本定理的类似结论，因此Shannon 样本定理后来被称为Whittakier-Kotelnikov-Shannon 样本定理。

著名的Whittakier-Kotelnikov-Shannon 样本定理在控制论，信号处理等领域起到了一个非常重要的作用。

最近三十年里，国际上以Butzer 和Splettstösser ，Harry Nyquis 为代表的很多数学家的百多篇文章[28,29]证明了与样本定理相关的结论，特别地，Rhaman 和Vértise 讨论了在()∞<<p R L p 1,中用Whittakier-Kotelnikov-Shannon 级数插值的函数收敛性。

现在，样本定理已经发展成为一个独立的研究区域。

该定理说明了每一个有限带信号函数()R B f 2,Ω∈，都可以由它在等距节点上的样本值完全重构。

它主要描述了两个过程：一是对信号进行采样，这个过程是信号函数从连续到离散的转换，且以一定的时间间隔测得采样值。

其次是信号的重构过程，这一过程是信号从离散到连续的还原，也就是对样本值进行逼近。

定理用数学语言描述为：
定理1.1.1[30]
若()()R B x f 2,σ∈，+
∈R σ(1)()∑∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=Z k k x c k f x f σπσσπ
sin ，R x ∈∀；(2)()()0sin lim 2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑
≤∞
→R L N
k N k x c k f x f σπσσπ，其中()⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0
,10,sin sin x x x
x
x c .该样本定理说明了每个一元的有限带信号函数可由其等距分布的可列个插值点上
的值完全重构。

我们通常将级数∑∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-
⎪⎭
⎫
⎝⎛Z k k x c k f σπσσπ
sin 称为Whittaker-Kotelnikov-Shannon 样本级数，或Whittaker-Cardinal 级数，本文中简称为Shannon 级数。

Whittaker-Cardinal 级数或Shannon 级数，此级数在R 上一致收敛。

虽然样本定理要求信号函数是有限带的，但对于某些非有限带信号函数，我们可以考虑采用Shannon 级数对其进行逼近，并研究其误差。

1.2预备知识
首先介绍一些基本概念，定理和符号。

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令()d
p
R
L，∞
≤
≤p
1，表示d R上p次幂可积的经典Lebesgue空间，并赋予以下范数
()()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞
=
∞
<
≤
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
Ω
∈
Ω
⎰
p
t
f
ess
p
dt
t
f
t
f
t
p
p
R
L d
p,
sup
1
,
1
.
下文中，如无特殊说明，我们认为()()()()d p
d
p
R
L
R
t
f
t
f=。

令()d
p
Z
l空间，∞
≤
≤p
1，表示定义在d R的整格点d Z上的{}d Z k k u
u
∈
=序列构成的线性空间，其中
()
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∞
=
∞
<
≤
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
∈
∈
∑
p
u
p
u
u
k
Z
k
p
Z
k
p
k
Z
l
k
d
d
d
p
，
sup
1
,
:
1
.
由Minkowski不等式，可知()d
p
Z
l
⋅是()d
p
Z
l上的一个范数，()d
p
Z
l按照范数是Banach 空间。

定义1.2.1设()d R
L
f
1
∈，则
()()dy
e
y
f
x
f
d
R
y
ix
⎰⋅-
=π2
ˆ
称为函数f的Fourier变换。

傅里叶变换具备很多良好的性质并被许多数学领域的学者研究。

如果定义在d R上的函数f的Fourier变换fˆ具有有限的紧支集，则称f为有限带函数，即当[]a
a
f,
ˆ
supp-
⊂时，f是有限带的。

定义1.2.2任意给定正向量()dΩ
Ω
=
Ω,
,
1
，()d
i
i
,
,1
,0
=
>
Ω，设()z
g
Ω
为定义在d维复空间d C上的整函数，如果对0
>
∀ε，总存在正常数()ε
A
A=，对()d
d
C
z
z
z∈
=
∀,
,
1
，
k
k
k
y i
x
z+
=，d
k,
,1
=，有
()()⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
Ω
≤∑
=
d
i
i
z
A
z
g
1
expε,
则称()z
g为指数Ω型的整函数。

指数Ω型的整函数全体用()d R
E
Ω
表示，()d R
E
Ω
中限制在d R上的有界函数全体记为()d R
B
Ω。

令
()()()
()
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∞
=
∞
<
≤
⋂
=
Ω
Ω
Ω
p
R
B
p
R
L
R
B
R
B
d
d
p
d
d
p
，
，1
,
，
Shannon 级数逼近具有共同光滑函数的误差分析
根据Schwarz 定理，()d R B f Ω∈∀，f 是有限带的，即
()()
()[]{
}
d d p d p ,f
R L f R B ΩΩ-⊂∈=ˆsupp :,Ω.其中，f ˆ是f 的傅里叶变换，()
f ˆsupp 表示函数f ˆ的支集，当2=p 时，就是Paley-Wiener 定理的内容。

下文中，记向量()d d R t t t ∈=,,1 ，()d
d R +∈ΩΩ=Ω,,1 ，()
d
d k k k ΩΩ=Ω,,11 和()d
t t t ΩΩ=⋅Ω,,1 。

我们使用C 来表示可能是不同的常数，这些常数C
和
()d d ΝN N N ∈=,,1 ，d
R +
∈Ω无关。

记[]x 为x 的整数部分。

定义1.2.3在实际工程应用中，由于测量仪器幅度范围和精度的限制，只能得到信号函数的有限个样本值，因此用如下式子
()()()
∑
∑
≤≤Ω-Ω⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω=d d N k N k N
k t c k f t f
S
ππsin :1
1,
逼近函数f 得到的误差
()()()()()
t f
S
t f t f
E
N
N
,,ΩΩ-=称为截断误差。

定义1.2.4
在电气工程中，对于一般的信号函数,当样本值只能取有限个时,构造
的逼近函数与原信号函数的差
()()()
t f
S t f Ω-称为混淆误差，其中
()()()ππ
k t c k f t f S d
Z k -Ω⎪⎭
⎫
⎝
⎛Ω
=∑∈Ωsin .为了得到主要结果，我们需要定义误差模
()d k R k f k f f +Ω∈Ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω-⎪⎭⎫ ⎝
⎛Ω
+
⋅=，ππλλωsup :,，其中{}Z k k ∈=λλ是()R R C d →0上的任意连续线性泛函列
()()
()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=∈=∞→0lim :0t f R C f f R C t d
d ，.我们考虑采样值是一个线性泛函和它的整数平移的情况，由于这种采样值非常接近信号函数的真实值，因此称为测量采样值。

定义1.2.5含有测量采样值的样本级数逼近的截断误差为
()()()()()t f
S
t f t f
E
N
N
λλ,,ΩΩ-=，
其中
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()()()∑
∑
≤≤Ω-Ω⎪⎭
⎫
⎝
⎛Ω+
⋅=d d N k N k k N
k t c k f t f
S
1
1sin ,ππλλ
.本文中，信号函数f 满足如下衰减条件
()()
δ
t
A t f +≤
1,（1.1）
其中(
)
2
122110,0d
t t t A ++=≤<> ，δ。

定义1.2.6现在来回顾一下Sobolev 空间的定义。

令∞≤≤∈p N r 1,。

经典的Sobolev 空间由所有函数()d p R L f ∈，并且
()
d
p
d
s s s
s
R L x x f f d ∈∂∂∂=∂ 11:，向量()r s s N s s s d
i i d
d ≤=∈=∑=1
,1,, 构成，并赋予以下范数
p
p
r
p
r f D f
1||,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑<αα，
则称()d r p R W 为d 元的Sobolev 空间。

易见，该空间是Banach 空间。

定义1.2.7给定d R 中的有限集合(){}d i A i d ,,1,0:,,1 =≥==αααα，∞<<p 1，记具有共同光滑的多元Sobolev 空间()d A p R W 为
()(){}
A R L f
R L f R W d p d p
d A p ∈∀∈∈=
αα,)(::)
(.
其中，f 的α阶共同混合导数为
()
∧
=g f
:α，()f ix g α
=:，()()()d
d
ix ix ix α
α
α
11=，
而当R y ∈，+∈R t 时，有
⎪⎩
⎪⎨
⎧∈∈=+N
signy t i y N
t iy iy iy t t t \R t }
21
exp{||)()()(π 次
，.R y ∈，
其中,()⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0,10,00
,1y y y y sign .
并赋予()d A p R W 空间以下范数
()()
()
()∑∈+=A
R p R p R W d
d
d
A
p f f
f
αα:，
Shannon级数逼近具有共同光滑函数的误差分析
其中
p
⋅是常规意义下的()d
p
R
L空间中的范数，且()d
A
p
R
W为具有共同光滑Sobolev空间[32]，同时也是Banach空间。

在()d
A
p
R
W空间中,令
()
{}A
x
R
x
A d∈
≤
∈
=
+
+
α
α，
1
,
:
:0，
{}d
j
x
R
x
R
j
d
d
,1
,0
:=
≥
∈
=
+
，
()
{}0
:
,1
sup
1
+
∈
=A
x
x
r
.（1.2）在本文中，如无特殊说明，我们认为d R中的非空有限子集
()
{}d
i
A
i
d
,
,1
,1
:
,
,
1
=
≥
=
=α
α
α
α.
1.3样本定理的发展现状
由于样本定理在实际问题中的广泛应用，进几十年中，国内外的许多作者都想要从纯数学领域和应用领域两方面来拓展该定理。

下面我们介绍一下在数学领域中样本定理的发展历程。

最早的样本定理是基于希尔伯特空间)
(
2
R
L中的函数研究的，1996年房艮孙教授用了调和分析的方法将样本定理推广到了()R
B
p,Ω
，∞
<
<p
1空间中。

定理1.3.1[30]令()R
B
f
p,Ω
∈，0
>
Ω，∞
<
<p
1，则有
()A()⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
Ω
-
Ω
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
Ω
=∑∈π
πk
t
k
f
t
f
Z
k
sin，
对任意的R
t∈成立，且右边级数在R上一致收敛；
()B()
()
sin→
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
Ω
-
Ω
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
Ω
-∑≤
R
p
m
k
k
t
k
f
t
f
π
π
，0
→
m；
()C存在着一个只依赖于p的正常数
p
C，使得
()
()
p
Z
k
p
p
R
p
k
f
C
t
f
1
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
Ω
Ω
≤∑
∈
π
π
.
注：()1定理1.3.1的()A，()B部分是Whittakier-Kotelnikov-Shannon样本定理（定理1.1.1）在()R
B
p,Ω
，∞
<
<p
1中的推广；
（2）定理的()C部分是Marcinkiewicz不等式在()R
B
p,Ω
，∞
<
<p
1中的推广；
（3）如果2
1<
≤p，那么根据一元嵌入定理有()()R
B
R
B
p2,
,Ω
Ω
⊂[8]，因此当2
1<
≤p时，
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定理1.3.1的()A 部分包含于定理1.1.1中；
（4）作者Rahman 和Vértesi [33]已经证明了当()()δp p R B f ℜ⋂∈Ω,，0>δ时，定理1.3.1的()C 部分是成立的，其中()δp ℜ表示对某个0>δ满足下式
()()
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛+=--δp
t
Οt f 11的C R →上的可测函数f 。

信号的变量是表示位置的物理量，信号变量的个数可能是一个也可能是多个，如果信号是一个变量的函数，我们称为一维信号；如果是多个变量的函数，则称为多维信号。

在实际应用中，经常会遇到多维信号的情况。

因此，从一元推广到多元是样本定理的一个发展方向。

1996年，王建军将一元的结果推广到了()d p R B ,Ω中多元变量的情形，证得了多元的Whittakier-Kotelnikov-Shannon 型样本定理，并得到了Sobolev 函数类混淆误差界阶的精确估计。

定理1.3.2[34]令()0,,1>ΩΩ=Ωd ，()d p R B f ,Ω∈，∞<<p 1，那么
()
A 对()d d R t t t ∈=∀,,1 ，有
()()()()()()d d d d d d d d Z k k k k t k t k f k t k t k f t f d
d Ω-ΩΩ-Ω⎪
⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ-ΩΩ-Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=
∑
∈=ππππππsin sin ,,1
11111111 ，且右边级数在d R 上一致收敛；
()
B 当∞→i N ,d i ,,1 =，有
()()()()
()
()
0sin sin ,11111111→Ω-ΩΩ-Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ-ΩΩ-Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω-
∑
≤=∈d
i
i d R p d d d d d
d d d N k Z k k t k t k f k t k t k f t f ππππππ ；
()
C 存在着两个只依赖于p 和d 的正常数p A 和p B ，使得
()()d
d
d R p p p
Z
k p
R p p
f
B k f f A ≤⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω⎪
⎭⎫ ⎝⎛Ω≤∑
∈1
1
ππ；
()
D 如果{}()d p k Z l y y ∈=，那么存在唯一一个()d p R B g ,Ω∈，有
()k y k g =Ωπ，
对d Z k ∈∀成立，其中
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛Ωd
d k k k πππ 111
，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ΩΩ=Ωd d k k k π
ππ,,11 ，且N k ≤表示N k i ≤，d i ,,1 =。

由于上述定理中的插值点的分布是距离相等的，因此该定理被称为空间()d p R B ,Ω的正规样本定理（或等距样本定理）。

在实际工程的应用中，由于采样点之间的距离不一定是相等的，因此将正规样本定理中的等距节点推广到非等距节点是样本定理的另一个推广方向。

我们将这种非等距节点的采样称为非正规样本定理。

Paley 和Wiener 首先研究非等距节点的样本定理，并发现当函数()R B f 2,Ω∈，f 也可以由非等距节点的样本值进行重构，得出了()R B 2,Ω中的非正规样本定理。

定理1.3.3[35]
设∞<<p 1，0>Ω，⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧∞<≤Ω
≤<Ω=p p p D 2,221,4ππ
，且p A ，p B 是只依赖p
的常数，且满足不等式
()()
R p p p
Z k p
R p p
f
B k f f A ≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ≤∑∈1
ππ，
()⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
Ω+=1log min p p A B D ，
δ，Z n ∈，实数序列{}Z k k x ∈满足条件00=x ，δπ
<Ω-
k x k sup ，则
（1）对于()R B f p ,Ω∈∀，C z ∈∀，都有
()()
()()()
∑∈-=Z
k k k k x z x G z G x f z f '
；（2）对于()R B f p ,Ω∈，有下式
()()()()()
R p p p
Z k p k R p p f
T B x f f T A +≤⎪
⎭
⎫
⎝⎛Ω≤-∑∈111
π，
其中()
1-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=pM p P e B A T ，()()∏∞=-⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1011k k k x x x x
x x x G .
1998年，陈广贵教授[36]利用非正规样本级数对()R L r ∞空间中的函数进行逼近，研究了其混淆误差。

1999年，王建军[37]讨论了非正规节点Marcinkiewicz-Zygmund 型不等式和样本定理。

2009年，陈广贵[38]教授研究了空间()∞<<p R L d p 1，中的多元的非等距样本定理。

2010年，黄泽霞[39]分析了多元Sobolev 空间中的非等距样本定理，并得到了相应的混淆误差。

埃尔米特插值（Hermite 插值）是函数逼近、插值的一种重要方法。

这种方法需要插值函数与原函数的值相同，而且还需要插值点的导数值与原函数相同，甚至高阶导数也要求相等。

通过Hermite 级数对原函数进行插值重构是样本定理的其中一个推广方向。

1956年，Fogel 和Jagerman 两人首先研究了平方可积函数()2=p ，得到了()R B 2,2Ω上的一元可积Hermite 样本定理。

定理1.3.4[50,51]令()R B f 2,2Ω∈，则有
()()()()()t c k t k f k t k f t f Z k Ω⎭
⎬⎫⎩⎨⎧Ω-Ω+Ω-ΩΩ
=∑∈2
'2
2
sin ////1
ππππ，R t ∈∀.注：等式右边的级数称为Hermite cardinal 级数。

2000年，房艮孙教授[40]通过调和分析和实分析的方法将Hermite 样本定理扩展到了()R B p ,Ω空间中，即当()∞<≤∈Ωp R B f p 1,，时，证明了该样本定理依然是成立的。

2004年，李冱岸[41]研究了Hermite 导数样本定理，并研究Sobolev 函数类上的混淆
误差。

2006年，李跃武[42]用多元的Hermite cardinal 级数对Sobolev 函数类进行插值，研
究其混淆误差。

2010年，张亚兰[43]研究了有限带函数在最坏框架下的恢复，并得出了一元非正规Hermite 样本定理。

在实际问题中，我们一般只能获得有限个采样值，同时测得的采样值也不一定是精确的函数值，因此在研究和发展样本定理的过程中，有学者发现，当信号函数的采样值的表现形式不同时，其截断误差的估计也不同。

采样值的表现形式主要有以下两种。

1998年，Paul L.Butzer 和Junjiang Lei [29]假设函数()R C f 0∈，()R C 0表示在Banach
空间上所有定义在R 上且满足()0lim 0
=→t f t 的连续函数。

采样值()Ωπk f 由()
Ω+⋅πλk f k
()Ω≈πk f 代替，其中z k k ∈=}{λλ是R R C d →)(0上的任意连续线性泛函列。

两人首次提出
采样值可能是一个线性泛函和它的整数平移的结果，考虑通过准插值法将这种带有测量采样值的样本级数来逼近Euclidean 空间中一元和多元的非有限带信号函数，并研究其截断误差。

新定义的采样值与原函数的采样误差为
()⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω+⋅=Ω∈ππλλk f k f f k Z k sup ,*，
其中0>Ω，这种新的采样级数和为
()∑
+∞
-∞
=Ω-Ω⎪⎭
⎫
⎝
⎛
Ω+
⋅=
k k k t k f S ππλλsin ,.定理1.3.5[29]
令()()R C Lip f L ;1∈满足衰减条件()r
f t
M t f -≤，10≤<γ。

记
{}k λλ=是任意一个连续线性泛函列，则对任意的2
e ≥ω，取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=+21:11r n ω和
()10,-≤Ωωλc f ，0c 为正常数，则有如下截断误差
()()
ω
ω
λωlog ,,K
f S f C n ≤⋅-⋅，
其中()λ,,:0c f K K =为常数，且
()()()πωωλλωk t c k f t f S n
n
k k
n -+⋅=
∑-=sin :,,，R t ∈.
注：此定理不仅给出了Euclidean 函数类的混淆误差界的精确逼近阶，更进一步给出了各常数的计算公式和该定理的应用。

结论1.3.1[29]
令2e ≥ω，()()R C Lip f L ;1∈满足定理1.3.5中的衰减条件。

假设信
号函数f 的采样值1k f 由下式获得
dt k t f f k
k
k
k
⎰
ΩΩ-⎪⎭
⎫
⎝⎛+Ω=
ω21:1，Z k ∈，其中，k Ω是一个满足Ω≤Ω<k 0的数，Z k ∈，0>Ω。

若2
1
<Ω，(){}
101,min ,--≤Ωωωc e f 且0c 是常数，那么
()()
()()
ΩΩ≤-⋅-
⋅∑
-=,1
log
,sin 1f f K k c f f C
d
d
k k ωωω，
其中()Ω,f ω定义为连续模
()()()C t f t f f ⋅-+⋅=ΩΩ
≤sup :,ω.
在上述结论中，作者只考虑了测量采样值是一个信号函数的简单平均值，结论的证明方法也可以用于权重平均样本值中。

即可以用于辐角误差和摆动误差的计算中。

受到Butzer 这篇文献的启发，2012年，叶培新教授利用带有测量采样值的样本级数截断了多元的Besov 函数类，得到了截断误差的一致界，结果表明这种Shnnon 级数能很好地逼近一个平滑的信号。

定理1.3.6[45]令()()d
r p R B A f θ,∈，p ≤1，∞≤θ，p
d
r >
，满足衰减不等式()δ
t
A t f /≤，()0,1≠=d t t t 且当()
p d r d e
-++≥Ωδ1
时，有
()
()()d p
d r N
C t f E
ΩΩ
⋅≤+
-Ωln ,λ
，
其中δ
p
d r N /1:-+Ω=，p
d r +
-ΩΩ
≤ω.
2010年，袁秀花[44]给出了带有测量采样值的样本级数逼近一元Sobolev 函数类的截断误差。

2011年，叶培新[45]给出了带有函测量采样值的样本级数对()∞≤≤Ωp R B p 1,，中满足
衰减不等式的一元函数和Besov 空间上的一元函数进行重构的截断误差界。

2013年，叶培新和韩永杰[46]用含有测量采样值的Shannon 样本级数来逼近Besov
空间上的多元函数类，估计其截断误差。

数字信号在工程应用中，因为测量仪器的精度限制和惯性特质，真正得到的采样值并不一定是采样点的精确函数值，而是在该点附近的平均值或局部平均值。

因此用Whittaker-Shannon 级数逼近一个信号函数时，常用的截断方式有两种，一种是线性对称
的截断方式，即取点Ωk 处的N 2个对称的样本值所构造的有限逼近与原信号函数作差；另一种是局部平均的截断方式，即取自变量时间t 附近点的函数值来逼近原信号函数，这些点满足(]N N k t ,-∈-Ω。

自样本定理提出以来，就有很多国内外的数学家和学者采用这种对称的截断方式来研究各类空间中的非有限带信号函数的逼近误差，而对于在t 附近点有微小扰动的局部平均方式，是由Gröchenig 在1992年研究信号重构[52]时首次引用到样本定理中，在此之后，很多作者将局部平均值作为采样值来研究逼近误差。

多元对称截断的Shonnon 级数形式为
()()()∑
∑
≤≤Ω-Ω⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω=
d
d N k N k N
k t c k f t f S
||||,sin :1
1ππ
多元局部平均的Shonnon 级数形式为
()()()ππk t c k f t f S
d
N
I k t N
-Ω⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω=
∑
∈-ΩΩsin :,
其中，向量()+
∈∈Ω=Ωd d j R Z j :决定了方形区域[]
∏∈ΩΩΩ-=d
Z j j j d I ,:.
与截断误差类似，当信号函数是非有限带的情形时，我们可以考虑用一个有限带的信号函数来逼近一个非有限带信号函数，此时得到的误差称为混淆误差。

1977年，Buzter 和Gröchenig 通过对称的方式截断了一元的样本级数，逼近连续有
限函数类，并给出了截断误差的估计。

定理1.3.7
[53]
令0>W T ，和()()R C x f ∈，
对任意的T t >和()R L f 1∈∧
使得()0=t f ，令r 阶导数()r f 属于带有常数()r L 的Lipschitz 函数类∂Lip ，10≤∂<∈，N r ，那么
()()()
()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+>-∂++≤-∂+2112121
r W W r L T t R r r
r W .特别地，如果()()R C f r ∈+1，那么
()()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+>+≤
+211
2121r W W f r T t R r
r r W .其中，()()()()∑
-=--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-
=N
N
k W k Wt k Wt W k f t f t R ππsin :.注：此定理表明了在经典的样本定理中，对有限带宽但持续时间无限的信号函数类并没有限制，说明一个信号函数能通过有限个样本值在其固定的节点上的值逼近重构，而信号不一定是有限带宽的。

1996年，李民新[47]研究了()R B 2
,Ωλ空间上函数类的香农扩展，并给出了对称的截断
误差的一致界。

2003年，房艮孙教授[48]分析了Besov 空间中的多元函数的香农扩展，并得到了函
数在衰减条件下对称采样的截断误差和混淆误差的一致界。

2011年，龙晶凡[49]研究了在局部平均采样下的()R B p Ω
空间中无衰减假设的一元非有限带信号函数截断误差一致界，并给出了一元的Sobolev 函数类的截断误差和混淆误差一致界。

2011年，叶培新[45]得到了衰减假设下的一元()R B p Ω中的误差界结果。

2011年，叶培新[1]给出了局部采样下非衰减的()
d p R B Ω中多元函数的截断误差一致
界，并得到了Sobolev 空间()())(d r R W U d r p ≥中非有限带多元函数的截断误差和混淆误差的最优界，此最优界成对数形式。

定理1.3.8[1]令()()
∞<≤∈Ω
p R B t f d p
1，，则对d R t ∈∀，有
()()p
L p d j j d j p
j N
f N C t f E
⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
≤==Ω∑1111
,1
，
其中
()()()()t f S t f t f E
N N
,:,Ω-=Ω.
此定理给出了非衰减条件下()
d p
R B Ω空间中的多元函数类截断的估计。

定理1.3.9[1]
令()()d r p R W U f d
r p
≥∞<<∈，，
1，且1>Ω，取[]rp
N Ω=，那么对于任意的d R t ∈，有
()()()d
p
d r Ne
e C t
f E
ΩΩ
⋅≤+
-Ωln ,其中，[]rp Ω是指rp Ω的整数部分，当()()d r p R W U f ∈时，()1,,1 =e 。

特别地，混淆误差为
()()()ΩΩ
⋅≤-+
-Ωd p
d r
e C t
f S t f ln .
此定理给出了非衰减的多元Sobolev 函数类上的截断误差和混淆误差的一致界。

定理1.3.10[48]()
()n
n n R R B f +
Ω∈ΩΩ=Ω∈，，， 1，且满足不等式()()
()n
n R x x x x
A
x f ∈=+
≤
,,11 ，
δ
其中0>A ，10≤<δ都是常数，(
)
2
12
21
,,n
x
x x =，那么
()A ()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛Ω-
Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω==∏∑=∈Ωj j j n
j j Z k k x c k f x f L x f n ππ1sin .()
B 对任意的{}n
n N N N N ∈=，， 1，⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧Ω>δ221,max e N j j ，n j ,,1 =，我们有
()()()
x f E x f x f T N N -=()∑∑==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n j n
j
j
n
n j j n
N
N eA 1112ln 2δ
.该定理是满足衰减条件的指数型整函数的截断误差一致界。

在文献中，房艮孙教授
还给出了衰减条件下的()
d p
R B Ω中函数类的截断误差和混淆误差一致界。

本文首先利用多元的有限带信号函数来逼近具有共同光滑的函数类，借助一些引理和不等式证得了其混淆误差的一致界。

定理2.1.1
令()()∞<<∈p R W U f d
A p 1,满足衰减条件（1.1），r 如（1.2）中定
义，且p d r 1
>，取⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⋅Ω=-1δδσp d
r i i N ，那么对d R t ∈∀，当r d d s +>2,我们有
()()()
()d p
d r C t f S t f σσ
ln 1
+-⋅≤-Ω,
其中d ΩΩ= 1σ。

再根据采样值的精确性，将信号函数的截断误差分为两种:一种采样值是精确的函数值，另一种采样值是一个线性泛函和它的整数平移。

下文中我们分别得到了两种截断误差的一致界。

定理2.2.1令()()，∞<<∈p R W U f d
A p 1,满足衰减条件（1.1），r 如（1.2）中定义
且p d r 1>，取⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⋅Ω=-1δ
δσp d
r i i N ，1>Ωi ，那么对于d R t ∈∀,当r d d s +>2时有,()()()d p
d r N
C t f
E
σσ
ln 1
,+-Ω≤.
定理2.2.2设()()，∞<<∈p R W U f d
A p 1,令{}
z
k k
∈=λλ是任意的一个连续线性泛
函列，那么对于d R t ∈∀，当⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⋅Ω=-1δ
δσp d r i i N ，1>Ωi ，()p
d r C f 1
,+-Ω≤σ
λω,r
d
d s +
>2时，有
()()()d p
d r N
C t f
E
σσ
λ
ln 1,+-Ω≤.
1.3本文的主要结果
2Shannon 级数逼近具有共同光滑函数的误差分析
本章主要利用Shannon 级数对()d A p R W 空间中的函数进行逼近，研究其误差，这一
部分是本文的主要结果。

本章分为两节，第一节讨论()d A p R W 空间上的混淆误差，第二节讨论()d A p R W 空间上的截断误差。

2.1
()
d A p R W 空间上的混淆误差估计
在这一节中，我们将研究线性对称的截断方式下的()d A p R W 空间中有衰减的非有限带信号函数的混淆误差()()()t f S t f Ω-。

为了证明这一主要结果，我们需要选择一个
对()t f 和()()t f
S Ω都一个良好的逼近效果的中间函数，
接下来我们通过介绍一个算子[46]
来描述如何选择这一函数。

对()d p R L f ∈∀,d R t ∈,N l i ∈,有
()
()()
()()jt x f j
l x f i
l j l j l l t l i
i
i i
i
i +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=∆-∑=+++0
1
1
111()()x f jt x f d i
l j j -+=∑=1
，
且11=∑=i l
j j d ，其中()x f i i l 1t +∆是函数f 在x 点处步长为i t 的1+i l 阶差分。

对于任意的正实数d R ∈Ω，定义多元的指数Ωs 2型的整函数
()s
s x A x g 2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛Ω=Ωπ，
其中R x ∈，12>s ，取常数s A 使得()1=⎰ΩR
dt t g 。

定义算子()()d p d A p s R L R W T →Ω:如下。

设()d A p R W f ∈,令
()()()()
()()()
⎰+∆-=+ΩΩR
i
k t k i
s
dt x f x f t g x f T i i i i
i
1
1:()()⎰∑+-=Ω+=R i d i i i i k j j i
dt x x jt x x x f d t g i
i ,,,,,,1111
，
()()⎰+-Ω-=R
i
d i i i i i dt x x t x x f x t G i ,,,,,,111 其中()∑=ΩΩ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=i i i k
j j
j t g j d t G 1
，d i ,,1 =，对d j ≤≤1，令
()()()()()⎰
+ΩΩΩΩ++⨯=d
d d
R d j j j d s
dt
x x t x t x f t G t G x f
T
,,,,,:1111,,11 ()()()()
x f
T
x f T s
s d
ΩΩΩ
=,,1: 是一个指数为)2,2(1d s s ΩΩ=Ω 型的整函数，d s >2，且()()()d p s R B t f T ,ΩΩ∈.
为了证明定理2.1.1，我们需要一些引理。

引理2.1.1[1]对于1,<∈q R t d 和d
R +∈Ω，我们有
()d q
Z k q
p k t c d
≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-Ω∑
∈1
sin π,其中p 和q 是共轭指数
11
1=+q
p ，()()i d i t c t c sin sin 1=∏=。

引理2.1.2
假设f 满足衰减条件（1.1），那么存在常数0'>A 使得
()δ
t
A t f T s +≤
Ω
1'.
引理2.1.2的证明：由插值算子()()x f
T s
Ω的定义可知
()()()()⎰+-ΩΩ
-=R
i d i i i i
i s
dx t t x t
t f t x G t f T i
,,,,,,11
1 ，
且()1=⎰Ωd
R dx x g ，则
()()C t x d t x G d
R
=--⎰Ω
，
又f 满足衰减条件（1.1），我们有
()()()()()
()⎰∏=ΩΩ
-+≤+d
i
R d
d
i i i s dx
x x f t x G
t t f T t ,,1111
δ
δ
()()
()()
⎰
∏=Ω-+-+≤d
i
R d d i i i x d x x f t x G
x x t ,,111
δ
δ
()()()
⎰
∏--++-+≤=Ωd
i
R i
i d
i i i t x d t x G x
A
x
x
t 1
11δ
δ
δ()()
⎰
-++-+≤d
R i
i i
i
t x d x
A x
x
t C δ
δ
δ
11'A ≤，
则
()δ
t
A t f T s +≤
Ω
1'，
引理2.1.2得证。

引理2.1.3[3]
设()d p R W f p α
∈∞<<,1，()0,,1>=d ααα 且()+
∈=R l l l d ,,1 是
整向量，对
011≥-=∑
=d
j j
j
l x α，
假设
αx Q =，
则f 的导数有()Q p l W f ∈,并且
()
αp
Q
p
W W l f
C f ≤.
引理2.1.4设()()d
A p R W U f p ∈∞<<,1，α和l 如引理2.1.3中定义，当d j
≥α,
d Z j ∈时，令1=j l ,d Z j ∈，则有()d
d
p R W f ∈.
引理2.1.4的证明:对A ∈∀α,当d j ≥α时,有
01
11≥-
=-
∑∑∈∈d
d
Z
j j
Z
j j
j
l α
α
.
再由引理2.1.3，得到当()d A p R W f ∈时,有()d d p R W f ∈。

本文中，我们研究的函数f 在()d A p R W 空间的单位球中，并且通常用()()
d A p R W U 表示空间()d A p R W 上的单位球。

引理2.1.5[45]设()()d l p R W U f d
l p ≥∞<≤∈,1,,
我们有
p
d
i Z
k p
i d
k f 111⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛ΩΩ∏∑
=∈π()()()
+∂∂∂ΩΩ+'Ω+≤∑∑≤<≤≤≤d j i R j
i j i d i R x i R d
p
d
p i d p x x f f f 1211
11
()
∏=∂∂∂Ω+d
i R d
d
i d
p
f x x 111 .
引理2.1.6[54]设{}()d p k R l y y ∈=，∞<<p 1，则级数
()
∑∈-Ωd
Z
k k
k t c y
πsin 在d R 上一致收敛到p B ,Ω中某个函数。

引理2.1.7[45]令()∞<<∈Ωp R B f d p 1,,，那么对于任意的d R t ∈，有
()()()()ππ
k t c k f t f
S t f d
Z k -Ω⎪⎭
⎫
⎝
⎛Ω
==∑∈Ωsin :,其中()()i d i t c t c sin sin 1=∏=，右边的级数在d R 上是一致收敛的。

引理2.1.8令()()∞<<∈p R W U f d
A p 1,，r 如(1.2)中定义，p
d r 1>，当r d d s +>2，
d R t ∈∀,我们有
p
d r s
C f
T f 1
+-∞
Ω≤-σ，
其中d ΩΩ= 1σ。

引理2.1.9假设()
d R C f ∈，且满足衰减条件（1.1），对于任意的
()d
d R +∈ΩΩ=Ω,,1 ，δ
d
p 2>
，我们有
()
∑∑=∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω≤-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ωd
i d
i i d
p
d
p
Z k p
N A e f
H k f d 1112δ
π，
其中
()
∑
∑≤≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω=
1
1N k p
N k d k f f
H d
d π .
引理2.1.9的证明：当d m <，δ
d
p 2>
时，令
()
∑
∑
∑
∑≤>>≤++⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω=
m j m j m j m j d
j d j j j N k N k N k p
N k m k f f
H 1
11
1π
()∑
∑
∏++>>=⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω⋅
+=1
1112m j m j d
j d j N k N k m
i ji k f N π ()()∑
∑
∏++>>=Ω⋅
+≤1
11
12m j m j d
j d j N k N k p p p m
i ji k A N δ
δπ
()∏∑∏+=>=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω⋅+≤d
m i N k d
p ji ji m
i ji ji ji k N A 1112δ()[]∏
∑∏+=-∉=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω⋅+≤d
m i N N k d
p ji ji m i ji ji ji ji k N A 1
,1
12δ
()∏⎰
∏+=∞
=Ω⋅+≤d
m i N d
p ji
d
p ji
m i ji ji
k N A 1
1
12δδ()∏
∏+=--=⋅⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-Ω⋅+≤d
m i d
p ji
m
n d
p ji
m i ji N d p N A 1
11
112δδδ()∏∏+==⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω⋅+≤d
m i ji ji d
j j d
p N N A 1112δ
.
取()δ
d
N p d
j j 212ln 1>
+=∑=，得到()p d
j j e N =+∏=1
12，则
()
≤p
m f
H 1∏+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Ωd
m i ji ji d
N eA 1δ
，显然有
()
∑∑=∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω≤-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭
⎫ ⎝⎛Ωd
i d
i i d
p
d
p
Z k p
N A e f
H k f d
111
2δ
π.
由于()()d A p R W U 中的函数是连续的，则由引理2.1.9可知()()d
A
p
R W U f ∈时满足上述不
等式。

定理2.1.1的证明：由引理2.1.3和引理2.1.4可知当()()d
A p R W U f ∈时，
()()d
d p R W U f ∈。

再由引理2.1.5可得，()()d
l p
R W U f ∈时，有
p
d i i p
Z
k p
C k f d 11
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛Ω∏∑=∈πp
C 1
σ⋅≤，
其中d ΩΩ= 1σ。

根据引理2.1.6，有
()()()
ππ
k t c k f t f S d
Z k -Ω⎪⎭
⎫
⎝
⎛Ω
=∑∈Ωsin 在d R 上一致收敛。

由算子定义可知，()()()d p s R B t f T ,ΩΩ∈，由引理2.1.7，得到
()()()()()ππk t c k f T
t f T S t f T d
Z k s s s -Ω⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω
==∑∈Ω
Ω
Ω
Ω
sin .由引理2.1.2可知
()δ
t
A t f T s +≤
Ω
1'，
则
()()()
δ
δ
t
A t A
t f T t f s +-
+≤
-Ω
11'()
δ
t A
+≤
1，
即()()t f T t f s
Ω-满足衰减条件（1.1）.
现在令()()()t f t f T t g s
-=Ω,我们有
()∑
∑
≤≤Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛Ω=
d
d N k p
N k s
d k f k f T g H 1
1ππ
()()p R L s
d
i i d
f
T f N ∞Ω=-+≤∏112.
取()∑=+=d
i i N p 112ln ，可得
()
()d
R L s
p
d f
T f e g H ∞Ω-≤1
.
（2.1）
当1>p 时，有
()
∑=+=d
i i N p 112ln ()()1212ln 1++=d N N ()()
d
N N C 22ln 1 ⋅≤d
d
i i
N C ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≤∏=1
ln ，再取⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⋅Ω=-1δ
δσp d r i i N ，则有
p
d r d
i d i i C N 1
1+-=≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω∑σδ
和
()d d
d
i i
d
C N C p σln ln 1≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤∏=.
结合（2.1）式，引理2.1.1，引理2.1.8和引理2.1.9，由Hölder 不等式可得
()()()
()()()()
t f S t f T t f T t f t f
S t f s
s ΩΩΩΩ-+-≤-()
()()
()
t
f S t f T S f
T f s R L s
d
ΩΩΩΩ-+-≤∞()()
πππk t c k f k f T f
T f d d Z k s R L s
-Ω⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω+
-≤∑∈ΩΩ∞
sin ()
()∑∈Ω-Ω⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω+
-≤∞d d
Z
k R L s
k t c k g f
T f ππsin ()()
q
Z k q
p
p
Z k R L s d
d
d
k t c k g f T f 11sin ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-Ω⋅⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω+-≤∑∑
∈∈Ω
∞ππ()()()()q
Z k q p
d p
p
Z k p
d R L s
d
d
d k t c g H k g g H f
T f 1
111sin ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-Ω⋅⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪
⎭
⎫ ⎝⎛Ω++-≤∑∑
∈∈Ω∞ππ　d d i d i i
d p d r p
d r p N eA eC C ⋅⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω++≤∑=+-+-1112δ
σσ
()d
p
d r p d r p
d r C C C σσσσ
ln 1
31211⋅⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++≤+-+-+-()d p
d r C σσ
ln 1-≤.
定理2.1得证。

2.2()d A p R W 空间上的截断误差估计
2.2.2采样值为精确函数值的截断误差
定理2.2.1的证明：和定理2.1.1的证明过程类似，我们有
()()()()()
t f
S
t f t f
E
N
N
,,ΩΩ-=()()()
()()()()
t f S t f S t f S t f N ,ΩΩΩ-+
-≤()()()
()
ππk t c k f t f S t f d d d N
k N k Z k -Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-+-≤∑∑∑≤≤∈Ωsin 11 ()()()
t f
S t f Ω-≤。