南京工业大学材料力学材料力学冲击问题

2. 计算轴AB横截面上的最大切应力
任一横截面上的扭矩为：
TTd
MMdd
00..55ππ((kkNNmm)) 33
轴横截面上的最大扭转切应力为：
dmmaaxxWWTPdt
00..55ππ 110033NNmm 33
ππ 110000110033mm 33
22..6699110066PPaa 22..6699MMPPaa
总伸长。
解：⒈ 求杆内最大动应力
向心加速度为 an 2 x
到轴线距离为x处杆单位长度上的动载荷为
qd
(x)
A
g
2
x
因此，距轴线距离为x的截面上的轴力为
FNd
l
x qd (x)dx
l A 2 xdx A 2 (l 2 x2 )
xg
2g
FNd
A 2
2g
(l 2
x2)
相应的动应力为
d (x)
P
速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最
h
P
大值 d 。
P
d
此时，全部（动）势能转化为应变能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就
以此时来计算：
•释放出的动能（以势能的降低来表示）
弹簧
T P(h d )
•增加的应变能，在弹性极限内
Ve
1 2
Pdd
根据力和变形之间的关系：Fd kd
F
Fd
Fd ：冲击物速度为0时，作用于杆之力。
d Kd st
通常情况下，Kd 1 。
•关于动荷系数 K d 的讨论:
1.若冲击物是以一垂直速度v 作用于构件上，则由 v2 2gh
可得：
v2
Kd 1
1 g st
2.当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时 K d 2。
3. Kd 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变
概述
前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、稳 定性的计算都是在静荷载作用下进行的，即认为荷载从零开 始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，荷载 加到最终值后也不再变化。
在工程实际问题中： 一些高速运动的构件或零部件，以及加速提升的构件，其 质点具有明显加速度。 再如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向冲击的构件， 更是在瞬间速度发生急剧改变。 显然这些倩况不能作为静荷载来考虑，称之为动荷载，在 动荷载作用下的构件的计算称为构件的动力计算。
由钢梁的平衡方程ΣFy=0 ，
FNst
qstl 2
1 165.62N m1 12m 2
993.7N
故钢缆内的动应力为
d
Kd st
2.02
993.7N 72106 m2
27.9MPa
2. 计算梁内最大静应力
最大弯矩和弯曲正应力发生在跨中截面上
Mst max
FNst
4
1 2
qst
62
6qst
6165.62
一平均直径为D 的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面
的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁
厚为t。
qd
解：
qd
A
g
an
AD 2
2g
an
Do
t
o
圆环横截面上的内力：
y
qd
qd
D 2
d
2FNd
π
0 qd
D 2
d
sin
qd D
d
x
o
FNd
FNd
FNd
AD 2
4g
2
圆环横截面上的应力：
冲击物
Fd d d P st st
被冲击物
动能 T 和势能 V
应变能Vε
能量守恒 T+V = Vε
结果偏于安全
根据假设，工程实际上的梁、轴、拉(压)杆均可简化
为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物F,在
高度h处落下的作用，计算冲击应力。
P h
P
h A
P h
B 弹簧
设：受重物F自高度 h 落下，冲击弹性系统后，
对动荷载作用下的构件，只要应力不超过比例极限σF，胡克定
律仍然适用．弹性模量也与静载下相同：其强度、刚度和稳定性 的条件均与静荷载作用下相同，只不过将其公式中的静荷载与静 应力、静变形以动荷载与动应力、动变形代之。
静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增 加到某一定值不再随时间改变。
动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时 间变化的载荷。
当构件作匀速直线运动时，加速度等于零，惯 性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止状 态是相同的。对这类运动下的构件，可视为静荷 载的作用。
例1 一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料
比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。
mm ax
FNd (x)
Ax
Ax a x
g
解：
吊索截面上的内力：FNd (x)
FNd (x)
Ax
Ax a x
g
st
Ax Q
A
Q
Qa g
代入上式，并引入记号K d
1
a g
，称为动荷系数，则：
d st Kd
于是，动载荷作用下构件的强度条件为：
dmax ( st )maxKd [ ]
式中得[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。
•动荷系数 Kd的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与
静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以
下重要关系：
Kd
Fd Pst
d st
d st
d st
式中Fd , d , d , d 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移； Pst , st , st , st分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。
二、匀角速度旋转构件
1.旋转圆环的应力计算
—惯性力法
1.动静法(达朗贝尔原理)
设有等直杆：长L，截面积A,比重，受拉力F 作用,以等 加速度a 运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。
dx x
qd
m
a
a F P Pg
m AL / g AL
P
A1 P
qd
g
a L
对作等加速度运动或等速转动构件进行受力 分析时，可以认为构件的每一质点上作用着与加 速度a方向相反的虚加惯性力,其大小等于质量与 加速度的乘积。从而使质点系上的真实力系与虚 加的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达 朗贝尔原理即动静法。
动应力：构件内由于动载荷引起的应力。
本章讨论的问题： 作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；
实验证明：静载荷下服从胡克定律的材料，在动载荷下 只要动应力不超过比例极限，仍然服从胡克定律，而且具 有相同的弹性模量。
§10.1 匀加速运动构件的应力计算
一、作匀加速直线运动构件
形，刚度越小，即“柔能克刚”。
几个冲击实例的计算
实例1 等截面直杆的冲击拉伸应力
已知：等截面直杆长度为L，截面积为A，
杆件材料的杨氏模量为E，重物Q从高H处
F
自由落下。
L
解：静应力和静伸长分别为
h
F
A
，
FL EA
动荷系数为
冲击应力为
因为
Fd P
d st
d st
Kd
所以冲击应力为
强度条件为
d Kd st
dmax Kd st.max [ ]
因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的
问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静
载荷、静应力、静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系
数，即
Fd Kd P
d Kd st d Kd st
1166
请思考，若制动时间减为1s或0.1s， τd max将如何变化?
§10.2 构件受冲击时的应力
•冲击问题的特点：
v
结构（受冲击构件）受外力（冲击 物）作用的时间很短，冲击物的速度 在很短的时间内发生很大的变化，甚 至降为零，冲击物得到一个很大的反
向加速度，结构受到冲击力的作用。
Fa
冲击物
受冲击 的构件
构件的动力计算，包括构件的荷载和内力分析；应力与强度、 变形与刚度的分析与计算。
对动力学的学习与研究(基本定理与动静法)提供了构件动力计 算分析的前提。
前面各章在静荷载下对杆件基本变形及组合变形的内力、应力、 变形分析，为构件的动荷载下的应力与变形计算奠定了基础。本 章将把两方面结合起来应用于杆件的动力计算。
D D D D(1 v2 )
gE
由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。
•动静法解题的步骤： •计算构件的加速度； •将相应的惯性力 Fg ma 作为外力虚加于各质点； •作为平衡问题进行处理。
例 如图a所示， 一根长l=12 m的14号工字型钢由两根钢缆
吊起，并以匀加速度a=10 m•s-2上升。已知钢缆的横截面面积
0 2Eg
3Eg
直杆单位长度上的动载荷及杆内动应力与到轴线的距离之间 的关系如图。
例 在如图示的轴上，B端装有一个质量很大的飞轮，其转
动惯量为Jx=0.5kN•m•s2，转速为n=100r/min。轴的直径 d=100mm，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的A端 装有刹车离合器。刹车时使轴在10s内均匀减速停止转动。 求轴内最大动应力。
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
根据能量守恒定律，即
T V Ve
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能； V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能； Ve :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的应变能。
计算冲击问题时所作的假设：
(1)冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物 和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。
d
FNd A
D2 2 v2
4g
g
式中v D 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：
2
d
v 2
g
[ ]
•旋转圆环的变形计算
在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为D ， 则其直径变化 D D D，径向应变为
r
D D
π(D πD
D)
t
t
E
所以
D D d v2D
E Eg
解： 1. 计算轴AB的载荷
轴与飞轮的转动角速度为：
0
nπ 30
100 30
π
10π 3
(rad/s)
刹车时，轴与飞轮的角加速度为：
1 0
0 10
3
π(rad/s)
t
10 3
按动静法得：
M
d
J
x
0.5
π 3
0.5π 3
(kN
m)
由平衡方程 M x 0 m)
式中“+”对应的是最大变形，“-”代表的是回跳到的最
高位置。所以取正值。
即
d st st 2 2hst
d st st 2 2hst
st (1
1 2h ) st
Kd st
式中 Kd 为冲击时的动荷系数，
Kd 1
1 2h st
其中 st 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。
重物与吊索的重力： Q , Ax
惯性力为：Q
g
a
，
Ax
g
a
根据动静法，列平衡方程：
Q X 0
Q
Qa g
FNd (x)
Ax
Ax
g
a Q Q g
a
0
解得：
FNd
(x)
( Ax
Q)(1
a g
)
吊索中的动应力为：
d (x)
FNd A
Ax Q (1
A
a) g
当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面 上的静荷应力为：
P
被冲击构件增加的应变能Vε，是等于冲
击载荷 Pd 在冲击过程中所作的功。
st
d
k
且
Fd d k st
于是应变能为
根据能量守恒：
V
1 2 Fdd
1 2
F st
d2
T V
可以得到： 即
P(h
d )
1 2
F st
d2
d2 2std 2h 0
解得：
d st st 2 2hst
(2)不考虑被冲击物的质量，冲击力瞬间传遍构件， 且材料服从胡克定律
(3)冲击过程中，忽略声、光、热能的转化，即只有 势能与动能的转化。
假设： 1. 冲击物为刚体，被冲击物为弹性体。 2. 不计冲击过程中的能量损失。 3. 被冲击物质量远小于冲击物质量，可略去不计。 4、冲击载荷和冲击变形仍然满足线弹性关系，即
A=72mm2，工字钢的许用应力 =160MFa，试计算钢缆的
动应力，并校核工字钢梁的强度。
解：1. 计算钢缆内的动应力 由型钢表查得，工字钢每米长度
的重量qst =165.62 N•m-1，抗弯截面系数Wz=16.1×10-6 m3。根
据题意，动荷因数为
Kd
1
a g
1
10 9.8
2.02
工字钢梁在自重作用下的受力图如图b所示
993.7N
m
st max
M st max Wz
993.7N m 16.1106 m3
61.7MPa
3. 钢梁的强度校核 梁内最大动应力为
dmax Kd stmax 2.02 61.7 124 .6MPa [ ] 160MPa 结论：钢梁的强度满足要求。
例 如图所示，等直杆OB在水平面 内绕通过O点并垂直于水平面的z-z 轴转动。已知角速度为ω，杆横截 面积为A，材料的容重为γ，弹性模 量为E。试求杆内最大动应力和杆的
FNd A
2
2g
(l 2 x2 )
从而可知杆内最大动应力为
d max
2l 2
2g
⒉ 求杆的总伸长 在x处取一微段dx，其伸长d(Δld)可根据
胡克定理求得，即
d(ld ) d (x)dx
d (x) dx
E
于是，杆的总伸长量为
ld
l
0 d(ld )
l 2 (l 2 x 2 )dx 2l 3