八年级数学上册第四章一次函数复习教案北师大

一次函数
教学
目标
1、通过知识点的复习熟练应用一次函数解决生活中的问题
2、会熟练应用一次函数性质解决问题
3、培养学生解决问题的能力
重点
会熟练应用一次函数性质解决问题
难点培养学生解决问题的能力
教学
环节
说明
二次备
课
课
程
讲
授
一次函数的图象和性质
正比例函数的图象和性质
二、考点讲析
1．一次函数的意义及其图象和性质
⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常
数，k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．
⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－，0 ）的
一条直线，正比例函数y=kx的图
象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．
⑶．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．
⑷．直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．
①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；2．一次函数表达式的求法
⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。

⑶．一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。

三、典型例题讲析
例1 选择题
（1）下面图像中，不可能是关于x的一次函数的图象的是（）
(2）已知：，那么的图像一定不经过（ )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（3）已知直线与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论：
①；②；③；④，其中
正确结论的个数是（ )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(4）正比例函数的图象如图所示，则这个函数的解析式是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
例2 求下列一次函数的解析式：
（1）图像过点（1，－1）且与直线 平行；
（2）图像和直线 在y 轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.
例3：已知一次函数 .求：（1）m 为何值时，y 随x 的增
大而减小；（2）m ，n 满足什么条件时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方；（3）
m ，n 分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m ，n 满足什么条件时，函数图像
不经过第二象限.
例4 已知一次函数 的图象经过点 及点 （1，6），求
此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
1．下列函数关系式：①,2x y -=② x y 2
-= ,③22x y -=,④y=2 , ⑤y=2x-1.
其中是一次函数的是
（ ）
（Ａ）①⑤ （Ｂ）①④⑤ （Ｃ）②⑤ （Ｄ）②
④⑤
2．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a ，1）和点（-2，b ），则a=________，
b=______．
3、若点A （2, 4）在函数y ＝k x －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的
是（ ）
A 、（0，－2）
B 、（1.5，0）
C 、（8, 20）
D 、（0.5，0.5）]
3．已知一次函数y=ax+4与y ＝bx-2的图象在x 轴上交于同一点，则a b
的值为
（ ）
（Ａ）４ （Ｂ）－２ （Ｃ）21
（Ｄ）21
4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ）
A ．一、二、三
B ．二、三、四
C ．一、二、四
D ．一、三、四
5、已知直线y=kx+b 与直线y=2x 平行，且它与直线y=5x+4的交点在y 轴上则其
函数表达式是( )
A y=4x+2
B y=2x+5
C y=2x+4
D y=5x+2
6、直线y=kx+b 上有两点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），且x 1＞x 2，y 1＜y 2，则常
数k 的取值范围是 。

小结
作业
布置
板书
设计
课后
反思
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知2310x x -+=，则223x x -++值为( )
A ．10
B ．9
C ．12
D ．3
【答案】A
【分析】由题意根据等式和分式的基本性质以及完全平方公式对式子进行变形，进而整体代入求解. 【详解】解：由222221133()1x x x x x x
-++=+
+=++，可知0x ≠， 已知2310x x -+=，等式两边同时除以x 可得：13x x
+=， 将13x x +=，代入221()13110x x ++=+=， 所以22310x x -++=.
故选：A.
【点睛】
本题考查完全平方公式，结合等式和分式的基本性质运用整体替换的思想进行分析是解题的关键. 2．如图，如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A ＝130°，∠B ＝110°，那么∠BCD 的度数为( )
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
【答案】C 【分析】依据轴对称图形的性质可求得E ∠、D ∠的度数，然后用五边形的内角和减去A ∠、B ∠、E ∠、D ∠的度数即可．
【详解】解：直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，
130A E ∴∠=∠=，110B D ∠=∠=，
5401302110260BCD ∴∠=-⨯-⨯=．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查的是轴对称的性质、多边形的内角和公式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．如图，以正方形ABCD 的中心为原点建立平面直角坐标系，点A 的坐标为（2，2），则点C 的坐标为（ ）
A ．（2，2）
B ．（﹣2，2）
C ．（﹣2，﹣2）
D ．（2，﹣2）
【答案】C 【解析】A,C 点关于原点对称，所以，C 点坐标是（-2，-2）选C.
4．若x y <成立，在下列不等式成立的是（ ）
A ．22x y -<-
B ．44x y >
C ．22x y -+<-+
D ．33x y -<- 【答案】A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】解：A 、∵x ＜y ，∴x-2＜y-2，故选项A 成立；
B 、∵x ＜y ，∴4x ＜4y ，故选项B 不成立；
C 、∵x ＜y ，∴-x ＞-y ，∴-x+2＞-y+2，故选项C 不成立；
D 、∵x ＜y ，∴-3x ＞-3y ，故选项D 不成立；
故选：A ．
【点睛】
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
5．已知点(1,2)P m n -+与(24,2)Q m -关于x 轴对称，则2019()m n +的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2019
D ．2019- 【答案】B
【分析】根据关于x 轴对称的点的坐标规律可求出m 、n 的值，代入即可得答案.
【详解】∵点(1,2)P m n -+与(24,2)Q m -关于x 轴对称，
∴m-1=2m-4，n+2=-2，
解得：m=3，n=-4，
∴2019()
m n +=(3-4)2019=-1.
故选B.
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于
y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数；掌握好对称点的坐标规律是解题关键.
6．如图，四边形AOBC 绕点O 顺时针方向旋转得到四边形DOEF ，下列说法正确的是（ ）
A ．旋转角是BOD ∠
B ．AO EO =
C ．若连接CO FO ，，则CO FO =
D ．四边形AOBC 和四边形DOEF 可能不全等
【答案】C
【分析】根据旋转的旋转及特点即可依次判断.
【详解】旋转角是∠BOE 或AOD ∠,故A 错误；
AO DO =，故B 错误；
若连接CO FO ，，即对应点与旋转中心的连接的线段，故则CO FO = ，C 正确；
四边形AOBC 和四边形DOEF 一定全等，故D 错误；
故选C.
【点睛】
此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知旋转的特点与性质.
7．下列语句不属于命题的是（ ）
A ．直角都等于90°
B ．两点之间线段最短
C ．作线段AB
D ．若a=b ，则a 2=b 2
【答案】C
【分析】根据命题的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A 、正确，对直角的性质作出了判断，故不符合题意；
B 、正确，两点之间，线段最短，作出了判断，故不符合题意；
C 、错误，是叙述一件事，没作出任何判断，故符合题意；
D 、正确，对a 2和b 2的关系作了判断，故不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查的是命题的定义，即判断一件事情的语句叫命题．
8．若分式3
3x x -+的值为0，则x 的值为( )
A ．3
B ．3-
C ．3或3-
D ．0
【答案】A
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．
【详解】由分式的值为零的条件得x-1=2，且x+1≠2，
解得x=1．
故选A ．
【点睛】
本题考查了分式值为2的条件，具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可． 9．若三角形的两边分别是4cm 和5cm ，则第三边长可能是（ ）
A ．1cm
B ．4cm
C ．9cm
D ．10cm
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系，求出第三边的取值范围，然后得到可能的值．
【详解】解：∵三角形的两边分别是4cm 和5cm ，
设第三边为x ，则有 5454x -<<+，
∴19x <<，
∴第三边可能为：4cm ；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系进行解题．
10．如图，从边长为(4a )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A ．22(25)a a cm +
B ．2(315)a cm +
C ．2(69)a cm +
D ．2(615)a cm +
【答案】D 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
【详解】矩形的面积为：
（a+4）2-（a+1）2
=（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1）
=a 2+8a+16-a 2-2a-1
=6a+1．
故选D ．
二、填空题
11．比较大小5______66
（填“”<或“”>号） 【答案】＞
【分析】首先将两个二次根式转换形式，然后比较大小即可.
【详解】由题意，得 56,56
== 56
＞ ∴56＞ 故答案为：＞.
【点睛】
此题主要考查二次根式的大小比较，熟练掌握，即可解题.
12．如图①，四边形ABCD 中，//,90BC AD A ∠=︒，点P 从A 点出发，沿折线AB BC CD →→运动，到点D 时停止，已知PAD △的面积s 与点P 运动的路程x 的函数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为________.
【答案】11
【分析】根据函数图象可以直接得到AB 、BC 和三角形ADB 的面积，从而可以求得AD 的长，作辅助线CE ⊥AD,从而可得CD 的长，进而求得点P 从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【详解】解:作CE ⊥AD 于点E,如下图所示，
由图象可知，点P 从A 到B 运动的路程是3，当点P 与点B 重合时，△PAD 的面积是
212，由B 到C 运动的路程为3, ∴321222
AD AB AD ⨯⨯== 解得，AD=7,
又∵BC//AD,∠A=90°，CE ⊥AD,
∴∠B=90°，∠CEA=90°，
∴四边形ABCE 是矩形,
∴AE=BC=3,
∴DE=AD-AE=7-3=4, ∴2222 345,CD CE DE =+=+=
∴点P 从开始到停止运动的总路程为: AB+BC+CD=3+3+5=11.
故答案为:11
【点睛】
本题考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，能从函数图象中找到准确的信息,利用数形结合的思想解答问题.
13．一次函数的61y x =-+图象不经过_____象限．
【答案】第三
【分析】根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】一次函数61y x =-+中的60,10k b =-<=>，
∴其图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：第三．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．
14． 如图，已知AB BC =,要使ABD CBD ∆≅∆,还需添加一个条件，则可以添加的条件
是 ．（只写一个即可，不需要添加辅助线）
【答案】可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．
【分析】由AB=BC结合图形可知这两个三角形有两组边对应相等，添加一组边利用SSS证明全等，也可以添加一对夹角相等，利用SAS证明全等，据此即可得答案.
【详解】.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD，
①∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∵
AB BC
ABD CBD BD BD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD，
在△ABD和△CBD中，
∵
AB BC AD CD BD BD
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故答案为∠ABD=∠CBD或AD=CD．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，结合图形与已知条件灵活应用全等三角形的判定方法是解题的关键. 熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．
15．已知点P（﹣10，1）关于y轴对称点Q（a+b，b﹣1）a b的值为_____．
【答案】2
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，a+b=10，b-1=1，计算出a、b a b的值．
【详解】解：∵点P（﹣10，1）关于y轴对称点Q（a+b，b﹣1），
∴a+b＝10，b﹣1＝1，
解得：a＝8，b＝2，
a b82＝22＝2，
故答案为：32．
【点睛】
此题主要考查关于y 轴对称点的坐标特点以及二次根式的加法运算，关键是掌握关于y 轴对称点的坐标特点，即关于y 轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
16．已知一个三角形的三边长为3、8、a ，则a 的取值范围是_____________．
【答案】5＜a ＜1
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a ＜8+3，再解即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a ＜8+3，
解得：5＜a ＜1，
故答案为：5＜a ＜1．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 17．若232(2)32a
b a x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，则 a b -=__． 【答案】-5
【分析】直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
【详解】∵232() 232a b a x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，
∴231a -=，21b -=，20a -≠，
解得：2a =-，3b =，
∴235a b -=--=-．
故答案为：5-．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握未知数的次数是解题关键．
三、解答题
18．两个一次函数l 1、l 2的图象如图：
(1)分别求出l 1、l 2两条直线的函数关系式；
(2)求出两直线与y 轴围成的△ABP 的面积；
(3)观察图象:请直接写出当x 满足什么条件时，l 1的图象在l 2的下方.
【答案】⑴函数l 1的解析式是y=2x-4，函数l 2的解析式是y=
12
x+2；⑵12；⑶当x ＜4时，l 1的图象在l 2的下方.
【分析】（1）设直线l 1的解析式是y=kx+b （k≠0），把点（2，0），（0，-4）分别代入函数解析式列出关于系数k 、b 的方程组，通过解方程组来求它们的值.同理有可求出直线l 2的解析式.
（2）联系两个解析式，通过解方程组可以求得交点P 的坐标，然后利用三角形的面积公式进行解答即可. （3）根据图示直接写出答案.
【详解】（1）设直线l 1的解析式是y=kx+b （k≠0），
把点（2，0），（0，-4）分别代入y=kx+b ，得 204+=⎧⎨=-⎩
k b b ， 解得k=2，b=-4
∴直线l 1的解析式是y=2x-4.
同理，直线l 2的解析式是y=12
x+2. （2）解方程解241+22=⎪-⎨⎪⎩
=⎧y x y x 得： 44
==⎧⎨⎩x y ， 故两条直线的交点P 的坐标为（4，4）.
∴两直线与y 轴围成的△ABP 的面积是：()1244122
⨯--⨯=. （3）根据图示知，当x ＜4时，l 1的图象在l 2的下方.
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及函数图像交代问题.解题时，一定要数形结合.
19．化简求值：44()()()ab ab a b a b a b a b a b -++-+--+，其中a ，b 满足223130216
a b a b +-++=． 【答案】22a a b b +--；
2516． 【分析】先将约束条件配方成两个完全平方式之和等于零的形式，再求出a ，b 的值，进而化简分式并代
入求值即得．
【详解】解：由题意得： ()44ab ab a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫
-++-+- ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭
()()()2
244a b ab a b ab
a b a b a b -++-=+--+
()()
()22
a b a b a b a b a b +-=+--+ ()()()a b a b a b =+-+-
22a a b b =+--
∵223
13
0216a b a b +-++= ∴223
9
1
13
9
1
216416164a a b b -+++++=+
∴2239102164a a b b ⎛⎫
⎛⎫
-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2
231042a b ⎛
⎫⎛⎫
-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴304a -=，1
02b +=
∴3
4a =，1
2b =-
∴原式=2
2
22331125442216
a a
b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】
本题考查分式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握分式运算顺序和完全平方公式是解题关键． 20．计算
（1）2(
（2）2(3(1+++
（3）()35223x x -<+
（4）121132x
x
+++≥
【答案】（1）-（2）10+（3）3x >-；（4）5x ≥-
【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类项，即可得到答案.
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并同类项即可；
（3）先去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（4）先去分母，去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
【详解】解：（1）2(
=22-+-
=-
（2）2(3(1+++
=9212-+++
=10+
（3）()35223x x -<+，
∴3546x x -<+，
∴39x -<，
∴3x >-；
（4）121132
x x +++≥， ∴2(12)63(1)x x ++≥+，
∴24633x x ++≥+，
∴5x ≥-.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算.
21．多好佳水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1500元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1694元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价45%售完剩余的水果．
(1)第一次水果的进价是每千克多少元？
(2)该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【答案】 (1)2元;(2)盈利了8241元.
【解析】（1）设第一次水果的进价是每千克x元，则第二次水果的进价是每千克1.1x元，根据数量=总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量=总价÷单价可求出第一次购进水果数量，由总利润=每千克利润×销售数量可求出第一次购进水果的销售利润，同理可求出第二次购进水果的销售利润，将二者相加即可得出结论．
【详解】解：（1）设第一次水果的进价是每千克x元，则第二次水果的进价是每千克1.1x元，
根据题意，得：16941500
1.1x x
=20，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．
答：第一次水果的进价是每千克2元．
（2）第一次购买水果1500÷2=750（千克），
第一次利润为750×（9﹣2）=5250（元）．
第二次购买水果750+20=770（千克），
第二次利润为100×（10﹣2.2）+（770﹣100）×（10×0.55﹣2.2）=2991（元）．
5250+2991=8241（元）．
答：该水果店在这两次销售中，总体上是盈利了，盈利了8241元．
【点睛】
考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
22．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
求证：CF=EB
【答案】证明见详解
【分析】由题意根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到
Rt△DCF≌Rt△DEB，进而根据全等三角形的性质定理进行分析即可证明．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DC DE DF DB
==⎧⎨⎩， ∴Rt △DCF ≌Rt △DEB （HL ），
∴CF=EB ．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
23．已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 为BC 的中点．
（1）如图①，若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ，求证：BE=AF ；
（2）若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，且DE ⊥DF ，那么BE=AF 吗？请利用图②说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）BE=AF ，证明见解析.
【解析】分析：（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD 、∠EBD=∠FAD ，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF ，由此即可证出△BDE ≌△ADF （ASA ），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF ；
（2）连接AD ，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD 、BD=AD ，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF ，由此即可证出△EDB ≌△FDA （ASA ），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF ．
详（1）证明：连接AD ，如图①所示．
∵∠A=90°，AB=AC ，
∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD=45°．
∵点D 为BC 的中点，
∴AD=12
BC=BD ，∠FAD=45°． ∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF ．
在△BDE 和△ADF 中，
EBD FAD BD AD
BDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BDE ≌△ADF （ASA ），
∴BE=AF ；
（2）BE=AF ，证明如下：
连接AD ，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA ．
在△EDB 和△FDA 中，
EBD FAD BD AD
EDB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△EDB ≌△FDA （ASA ），
∴BE=AF ．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全
等三角形的判定定理ASA 证出△BDE ≌△ADF ；（2）根据全等三角形的判定定理ASA 证出△EDB ≌△FDA ．
2427×13
132+|﹣2|﹣（12）﹣1 【答案】3﹣1
【分析】根据二次根式的除法法则、负整数指数幂和完全平方公式计算． 【详解】解：原式127(1233)223
⨯
-+- 3423=-+
1=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
25．以下是小嘉化简代数式()()()2222x y x y x y y --+--的过程．
解：原式()()22222442x xy y x y y =-+---……①
22222442x xy y x y y =-+---……②
24y xy =-……③
（1）小嘉的解答过程在第_____步开始出错，出错的原因是_____________________；
（2）请你帮助小嘉写出正确的解答过程，并计算当43x y =时代数式的值．
【答案】（1）②；去括号时-y 2没变号；（2）解答过程见解析，代数式化简为3y 2-4xy ，值为1
【分析】（1）依据完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项法则进行判断即可；
（2）依据去括号法则、合并同类项法则进行化简，然后将4x=3y 代入，最后，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）②出错，原因：去括号时-y 2没变号；
故答案为：②；去括号时-y 2没变号．
（2）正确解答过程：
原式=（x 2-4xy+4y 2）-（x 2-y 2）-2y 2，
=x 2-4xy+4y 2-x 2+y 2-2y 2，
=3y 2-4xy ．
当4x=3y 时，原式3y 2-3y 2=1．
【点睛】
本题主要考查的是整式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，MN 是等边三角形ABC 的一条对称轴，D 为AC 的中点，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD 的度数是（ ）
A ．30°
B ．15°
C ．20°
D ．35°
【答案】A 【分析】由于点C 关于直线MN 的对称点是B ，所以当B P D 、、三点在同一直线上时，PC PD +的值最小．
【详解】由题意知，当B. P 、D 三点位于同一直线时，PC+PD 取最小值，
连接BD 交MN 于P ，
∵△ABC 是等边三角形，D 为AC 的中点，
∴BD ⊥AC ，
∴PA=PC ，
∴30.PCD PAD ∠=∠=
【点睛】
考查轴对称-最短路线问题，找出点C 关于直线MN 的对称点是B ，根据两点之间，线段最短求解即可. 2．如图等边△ABC 边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在A '处，A 在△ABC 外，则阴影部分图形周长为（ ）
A ．1cm
B ．1.5cm
C ．2cm
D ．3cm
【答案】D 【分析】由题意得到DA′＝DA ，EA′＝EA ，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC 的周长即可解决问题．
【详解】解：如图，
由题意得：
DA′＝DA,EA′＝EA，
∴阴影部分的周长＝DG＋GA′＋EF＋FA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF
＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF
＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)
＝AB＋BC＋AC
＝1＋1＋1＝3(cm)
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
3．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是()
A．两直线平行，同位角相等B．相等的角是对顶角
C．所有的直角都是相等的D．若a=b，则a﹣3=b﹣3
【答案】C
【分析】写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．
【详解】解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是同位角相等，两直线平行是真命题；
交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等是真命题；
交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题；
交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a-3=b-3，则a=b是真命题，
故选C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．下列说法正确的是（）
A．代数式
4
2
x
π
+
是分式B．分式
32
xy
x y
-
中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C ．分式2211x x +-有意义
D ．分式211
x x ++是最简分式 【答案】D 【解析】根据分式的定义及性质依次判断即可求解.
【详解】A. 代数式42x π
+是整式，故错误； B. 分式32xy x y
-中x ，y 都扩大3倍后为()33939633232x y xy xy x y x y x y ⋅==⨯---，分式的值扩大3倍，故错误；
C. 当x=±1时，分式2211
x x +-无意义，故错误； D. 分式
211
x x ++是最简分式，正确， 故选D.
【点睛】
此题主要考查分式的定义及性质，解题的关键是熟知分式的特点与性质.
5．如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作等边ABC ∆和等边CDE ∆，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ .下列五个结论：①AD BE =；②//PQ AE ；③AP BQ =；④DE=DP ；⑤60AOB ∠=︒.其中正确结论的个数是( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】C 【分析】①由于△ABC 和△CDE 是等边三角形，可知AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD ≌△BCE ，可推知AD=BE ；
②由△ACD ≌△BCE 得∠CBE=∠DAC ，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC ，得到△CQB ≌△CPA （ASA ），
再根据∠PCQ=60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE ，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③根据②△CQB ≌△CPA （ASA ），可知③正确；
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE ，可知④错误；
⑤由BC ∥DE ，得到∠CBE=∠BED ，由∠CBE=∠DAE ，得到∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°
.
【详解】解：∵等边△ABC 和等边△CDE ，
∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠BCE ，
在△ACD 与△BCE 中，
AC BC
ACD BCE CD CE
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ， 故①正确，
∵△ACD ≌△BCE ，
∴∠CBE=∠DAC ，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ ，
又∵AC=BC ，
∴△CQB ≌△CPA （ASA ），
∴CP=CQ ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ 为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ ∥AE ， 故②正确，
∵△CQB ≌△CPA ，
∴AP=BQ ， 故③正确，
∵AD=BE ，AP=BQ ，
∴AD-AP=BE-BQ ，
即DP=QE ，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE ，故④错误；
∵BC ∥DE ，
∴∠CBE=∠BED ，
∵∠CBE=∠DAE ，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故⑤正确；
综上所述，正确的有4个，
故选C ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键． 6．如图，已知△ABC 中，∠A=75°，则∠BDE+∠DEC =（ ）
A ．335°
B ．135°
C ．255°
D ．150°
【答案】C 【分析】先由三角形内角和定理得出∠B+∠C=180°-∠A=105°，再根据四边形内角和定理即可求出∠BDE+∠DEC =360°-105°=255°.
【详解】：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=105°，
∵∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°，
∴∠BDE+∠DEC=360°-105°=255°；
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n 边形内角和为（n-2）•180°（n ≥3且n 为整数）是解题的关键．
7．满足下列条件的不是直角三角形的是( )
A ．三边之比为1：23
B ．三边之比123
C ．三个内角之比1：2：3
D ．三个内角之比3：4：5 【答案】D
【解析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】解：A 、222132+
=，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； B 、(22
2123+=，三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； C 、根据三角形内角和定理，求得第三个角为90°，所以此三角形是直角三角形；
D 、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222+=a b c ，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
8．下列各组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是( )
A ．A
B ＝DE ，B
C ＝EF ，∠A ＝∠D
B ．∠A ＝∠D ，∠
C ＝∠F ，AC ＝EF
C ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，△ABC 的周长＝△DEF 的周长
D ．∠A ＝∠D ，∠B ＝∠
E ，∠C ＝∠F
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法，对每个选项逐一判断即可得出答案．
【详解】A.两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等，即当AB ＝DE ，BC ＝EF 时，两条边的夹角应为∠B ＝∠E ，故A 选项不能判定△ABC ≌△DEF ；
B.两个角对应相等，且两个角夹的边也对应相等的两个三角形全等，即当∠A ＝∠D ，∠C ＝ ∠F 时，两个角夹的边应为AC ＝DF ，故B 选项不能判定△ABC ≌△DEF ；.
C.由AB ＝DE ，BC ＝EF ，△ABC 的周长＝△DEF 的周长，可知AC=DF,即三边对应相等的两个三角形全等，故C 选项能判定△ABC ≌△DEF ；.
D.三角对应相等的两个三角形不一定全等，故D 选项不能判定△ABC ≌△DEF.
故选C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法.熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
9．点A （3，3﹣π）所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】由点A (,)a b 中0a >,0b <，可得A 点在第四象限
【详解】解：∵3＞0，3﹣π＜0，
∴点A （3，3﹣π）所在的象限是第四象限，
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 10．在ABC ∆中，AC BC <，用尺规作图的方法在BC 上确定一点D ，使AD CD BC +=，根据作图痕迹判断，符合要求的是（ ） A ． B ．。