黑龙江省大庆第一中学2018_2019学年高二数学下学期第二次阶段考试试题理

大庆一中高二年级下学期第二次阶段考试数学试题
一、选择题（12×5=60） 1、已知积分
，则实数k =（ ）
A. 2
B.
C. 1
D.
2、已知某物体的运动方程是s=+t ，则当t=3s 时的瞬时速度是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、P 为椭圆
上异于左右顶点A 1、A 2的任意一点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积
为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P 为双曲线上异于左右
顶点A 1、A 2的任意一点，则（ ） A. 直线与的斜率之和为定值 B. 直线与的斜率之和为定值2 C. 直线
与
的斜率之积为定值 D. 直线
与
的斜率之积为定值2
4、设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
5、幻方，是中国古代一种填数游戏．n （n ∈N *，n ≥3）阶幻方是指将连续 n 2个正整数排成的正 方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的 n 个数的和都相等．中国古籍《周
2 1 2-
x
y
O
易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图 1），即现在的图 2．若某3 阶幻方正中间的数是 2018，则该幻方中的最小数为（ ） A. 2013 B. 2014 C. 2015 D. 2016
6、函数()e
3x
f x x
=的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
7、设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图象分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ． 1 B ．
1
2
C ．52
D ．22
8、已知函数()32231,0
{ 1,0
ax
x x x f x e x -+≥=+<在[]2,2-上的最大值为5，则实数a 的取值范围是（ ）
A. [)2ln2,-+∞
B. []0,ln2
C. (],0-∞
D. [
)ln2,-+∞
9、函数()f x 的定义域是R,2)0(=f ,对任意x∈R,1)()(>'+x f x f ,则不等式
()1x x e f x e >+的解集为
（ ）
A ．{x|x>0}
B ．{x|x<0}
C ．{x|x<-1或x>1 }
D ．{x|x<-1或0<x<1} 10、已知函数()g x 满足()()()12
1'102
x g x g e g x x -=-+
，且存在实数0x 使得不等式
()021m g x -≥成立，则m 的取值范围为（ ）
A. [)1,+∞
B. (],3-∞
C. (],2-∞
D. [
)0,+∞
11、已知函数f(x)=ax 3
-3x 2
+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A.
B.
C.
D.
12、对于任意的实数[]1,x e ∈，总存在三个不同的实数[]
1,4y ∈-，使得21ln 0
y
y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 23161,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 3160,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 23163,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D. 3163,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
二、填空题（4×5=20）
13、已知函数)(x f y =(x ∈R)上任一点))(,(00x f x 处的切线斜率2
00)1)(3(+-=x x k 则该函数的单调
递增区间为_____________
14计算定积分 =________________
15、已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝f x
e x
的递减区间为__________.
16、若函数2
()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中1
0,02
a b -
<<>，且221()f x x x =>，则方程2
2[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 .
三、解答题(合理写出解题步骤)
17、已知二次函数的图像与直线
相切于点
，
（1）求函数
的解析式；
（2）求由的图像、直线及直线所围成的封闭区域的面积.
18、已知函数()3
16f x x x =+-.
（1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线的方程.
（2）若直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过坐标原点，求直线l 的方程及切点坐标.
19、某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm 的正方形纸板.如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm 的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm 、xcm 的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒.
（1）求包装盒的容积()V x 关于x 的函数表达式，并求函数的定义域； （2）当x 为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？
20、已知函数2()ln ,()x
x f x x x g x e e
==
-． （Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．
21、已知函数||ln )(2x x x f =, (1)求函数)(x f 的单调区间;
(2)若关于x 的方程1)(-=kx x f 有实数解,求实数k 的取值范围.
22、已知函数2
()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈ (1) 当1a =时,求函数()f x 的最值; (2) 求函数()f x 的单调区间;
(3) 试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5
ln 28
y =+无公共点
二阶段数学考试答案
A C C D
B / D D D A A /
C
D 13【答案】[)+∞,314. 答案
15答案.(0,1)，(4，＋∞) 16. 答案 5
17解:（1）由得,
因为二次函数
的图像与直线
相切于点
,
所以,即,解得,
因此.
（2）作函数的图像、直线
及直线
的图象如
下: 则由
的图像、直线及直线所围成的封闭区域
的面积为;
.
18解析：（1）()2
31f x x ='+.2
所以在点()2,6-处的切线的斜率，
∴切线的方程为1332y x =-；4
（2）设切点为()00,x y ，则直线l 的斜率为()2
0031f x x ='+，
所以直线l 的方程为：()
()2300003116y x x x x x =+-++-，6
所以又直线l 过点()0,00=，
∴()
()23000003116x x x x x =+-++-， 整理，得3
08x =-，∴02x =-，8
∴()()3
0221626y =-+--=-，l 的斜率13k =，10 ∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为()2,26--.12
19解析：（1）因为包装盒高h x =，底面矩形的长为602x -，宽为30x -， 所以铁皮箱的体积()()()60230V x x x x =-⋅-⋅3221201800x x x =-+． 函数的定义域为()0,30．
（2）由（1）得，()()()2
6240180061030V x x x x x =-'-+=-，
令()()()610300V x x x =-'-=，解得10x =． 当()0,10x ∈时，()0V x '>，函数()V x 单调递增； 当()10,30x ∈时，()0V x '<，函数()V x 单调递减．
所以函数()V x 在10x =处取得极大值，这个极大值就是函数()V x 的最大值．
又()()()()
31060203010108000cm V =-⋅-⋅=．
答：切去的正方形边长10x cm =时，包装盒的容积最大，最大容积是38000cm ． 20【答案】（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+． 当1
(0,),()0,()x f x f x e
'∈<单调递减， 当1(,),()0,()x f x f x e
'∈+∞>单调递增. 所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增， 又(1)0f =，
所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞在1
x e
=
时取得最小值， 又11()f e
e =-
， 可知1
()f m e ≥-．
由2()x x g x e e =-，可得1'()x x
g x e
-=．
所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增， 当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减. 所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，
又1(1)g e
=-， 可知1()g n e
≤-，
所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．
21解:(1)函数)(x f 的定义域为R x x ∈|{且}0≠x 关于坐标原点对称
)(ln ||ln )()(22x f x x x x x f ==--=-)(x f ∴为偶函数
当0>x 时,)1ln 2(1
ln 2)('2+=⋅
+=x x x
x x x x f
令0)1ln 2()('>+=x x x f 01ln 2>+⇒x 2
101ln 2-
>⇒>+⇒e x x e
e x >
⇒ 令0)1ln 2()('<+=x x x f 01ln 2<+⇒x
2
1001ln 2-<<⇒<+⇒e x x e
e x <
<⇒0 所以可知:当),
0(e
e
x ∈时,)(x f 单调递减, 当),(
+∞∈e
e
x 时,)(x f 单调递增, 又因为)(x f 是偶函数,所以在对称区间上单调性相反,所以可得:
当)0,(e
e
x -
∈时,)(x f 单调递增, 当),(e
e
x -
-∞∈时,)(x f 单调递减, 综上可得:)(x f 的递增区间是:)0,(e e -
,),(+∞e
e ; )(x
f 的递减区间是: ),
0(e
e
,),(e e --∞
(2)由1)(-=kx x f ,即1||ln )(2
-==kx x x x f ,显然,0≠x 可得:k x x x =+
1||ln 令x x x x g 1||ln )(+=,当0>x 时,x
x x x g 1
ln )(+= 211ln ')('x x x x x x g -⋅+=21
1ln x
x -+=2
21ln x x x -+= 显然0)1('=g ,当10<<x 时,0)('<x g ,)(x g 单调递减, 当1>x 时,0)('>x g ,)(x g 单调递增,
0>∴x 时, 1)1()(min ==g x g
又)()(x g x g -=-,所以可得)(x g 为奇函数,所以)(x g 图像关于坐标原点对称 所以可得:当0<x 时,1)1()(max -=-=g x g
∴)(x g 的值域为),1[]1,(+∞--∞Y ∴k 的取值范围是),1[]1,(+∞--∞Y 22(1) 函数f(x)= x 2
-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)
当a=1时,'32()12()2111
x x f x x x x -=--=
--,所以f (x)在3(1,)2为减函数 在3(,)2+∞为增函数,所以函数f (x)的最小值为3()2f =3
ln 24
+
(2) '22()2()2,11
a x x a f x x a x x +-=--=-- 若a≤0时,则21,2a +≤f(x)22()
21
a x x x +-=-0>在(1,+∞)恒成立,所以f(x)的增区间为(1, +∞).
若a ＞0,则
21,2a +>故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦,'
()f x 2
2()
21
a x x x +-
=-0≤, 当2,2a x +⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
时,f(x) 2
2()
21
a x x x +-
=-0≥, 所以a ＞0时f(x)的减区间为21,
2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦,f(x)的增区间为2,2a +⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
. (3) a≥1时,由(1)知f(x)在(1,+∞)的最小值为22()1ln 242a a a
f a +=-+-, 令2
()()2a g a f +=21ln 42a a a =-+-在 [1,+∞)上单调递减,
所以max 3()(1)ln 2,4g a g ==+则max 51()(ln 2)88
g a -+=>0, 因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于5
ln 28+,
故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与5
ln 28
y =+无公共点。