2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学
试题
一、单选题
1．函数2
2()(23)f x log x x =+-的定义域是（ ）
A ．[3,1]-
B ．(3,1)-
C ．(,3][1,)-∞-⋃+∞
D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由
解得
或
，故选D.
【考点】函数的定义域与二次不等式.
2．ABC ∆中，o 4,3,60AB AC A ===，则ABC ∆的面积为( )
A B ．3
C ．
D ．
【答案】C
【解析】利用三角形的面积公式直接计算即可. 【详解】
11
sin 43222
ABC S AB AC A ∆=
⨯⨯=⨯⨯⨯=，故选C. 【点睛】
本题考查三角形面积公式的应用，属于基础题.
3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．64
【答案】C
【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，代入数据计算可得．
解：S 2=a 1+a 2，S 4﹣S 2=a 3+a 4=（a 1+a 2）q 2，S 6﹣S 4=a 5+a 6=（a 1+a 2）q 4
，
所以S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列， 即3，12，S 6﹣15成等比数列，
可得122
=3（S 6﹣15），
解得S 6=63 故选：C
【考点】等比数列的前n 项和．
4．在
中，a =
b =
π
3
B =
，则A 等于 A ．π
6 B ．π4
C ．3π4
D ．π4或
3π
4
【答案】B
【解析】试题分析：由正弦定理得
，因
,
故A 等于
π
4
【考点】正弦定理
5．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b c +=，则角C 为（ ） A ．
4
π B ．
34
π C ．
3
π D ．
23
π 【答案】B
【解析】利用余弦定理可直接计算C 的大小. 【详解】
因为222cos 2a b c C ab +-==，而()0,C π∈， 所以34
C π
=
，故选C. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，属于基础题.
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问
五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．
5
4
钱 B ．
43
钱 C ．
32
钱 D ．
53
钱 【答案】B
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则
22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又
225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4
42263
3a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,
故选B.
7．A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=，105CAB ∠=后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）
A
． B
．
C
．
D
．
2
m 【答案】A
【解析】由∠ACB 与∠BAC ，求出∠ABC 的度数，根据sin ∠ACB ，sin ∠ABC ，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长． 【详解】
在△ABC 中，AC=50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，
则由正弦定理sin sin AB AC
ACB ABC
=∠∠，
得
AB=50sin 2.1sin 2
AC ACB ABC
∠=
=∠ 故选A. 【点睛】
解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
8．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪
≤⎨⎪>-⎩
，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A
．
2
B
C ．5
D ．
92
【答案】C
【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选
C.
9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（ ） A ．10 B ．11
C ．12
D ．13
【答案】C
【解析】利用123a =，6812S a =可求出基本量，再考虑n a 何时变号即可得到n S 达到最大值的n 的值. 【详解】
设等差数列的公差为d ，则 ()65
623122372
d d ⨯⨯+
⨯=+，故2d =-， 故252n a n =-，当13n ≥时，0n a <，当12n ≤时，0n a >， 所以当12n =时，n S 最大，故选C.
10．已知实数,x y 满足12100y y x x y m ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
，如果目标函数z x y =-的最小值为1,-则实数
m 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】画出可行域对应的平面区域，平移动直线z x y =-后可得z 何时取最小值，从而可求实数m 的值. 【详解】
如图，由21y x x y m =-⎧⎨
+=⎩
可得B 的坐标为121,33m m +-⎛⎫
⎪⎝⎭， 当动直线0x y z --=过B 时，z 取最大值1-，故121
1033
m m +--+=， 故5m =，所以选D. 【点睛】
二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而
2
1
y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 11．若，且
，
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】将代数式
与相乘，展开式利用基本不等式求出
的最小值，将
问题转化为解不等式，解出即可.
【详解】
由基本不等式得，
当且仅当，即当
时，等号成立，所以，的最小值为.
由题意可得
，即
，解得
或
.
因此，实数的取值范围是，故选：B.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。

12．已知数列{}n a 满足1212a a +
+…2*1
()n a n n n N n
+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=
,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1
n n
T n N n λ<
∈+恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．1(,) 4
+∞ B ．1[,) 4
+∞
C ．3[,) 8
+∞
D ．3(,)8
+∞
【答案】D
【解析】先求出{}n a 的通项，再求出{}n b 的通项，从而可求n T ，利用参变分离可求λ的取值范围. 【详解】
因为1212a a +
+…2*1
()n a n n n N n +=+∈， 所以1212a a ++…()()2
*1111(,2)1n a n n n N n n -+
=-+-∈≥-， 故12n a n n
=即2
2n a n =，其中2n ≥. 而令1n =，则22
111221a =+==⨯，故22n a n =，1n ≥.
()
()2
222211114411n n b n n n n ⎡⎤+=
=-⎢⎥⨯++⎢⎥⎣⎦
， 故()222222
1111111412231n T n n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
=
-+-++
-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+⎢⎥⎣⎦
()()
22211214141n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故*()1
n n T n N n λ<∈+恒成立等价于()2
2
2141n n n n n λ+<++即()241n n λ+<+恒成立，
化简得到()11441n λ+<+，因为
()11113441488n +≤+=+，故38
λ>. 故选D. 【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.
二、填空题
13．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A
C
=__________． 【答案】1
【解析】试题分析：222
sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc
+-====⨯=
【考点】正余弦定理解三角形
14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为__________． 【答案】
1
3
【解析】【详解】
2112131,(1),(1),S a S a q S a q q ==+=++
由1S ，22S ，33S 成等差数列得21343S S S =+，
即21114(1)3(1),a q a a q q +=+++
则2
30,q q -=所以1
3
q =或0q =（舍）， 故答案为
13
. 15．已知数列{}n a 满足1120,2n n a a a n +=-=，则n
a n
的最小值为______. 【答案】8
【解析】利用累加法求出{}n a 的通项，再利用双勾函数的性质可求n
a n
的最小值. 【详解】
因为212a a -=，324a a -=，，()121n n a a n --=-，
所以()()121211n a a n n n -=++
+-=-，
所以()1+20n a n n =-，其中2n ≥，又120a =也符合， 故()1+20n a n n =-，1n ≥，20
1n a n n n
=+-，
因为函数20
y x x
=+在(0,上为增函数，在()
+∞为增函数， 故
n
a n
的最小值可在4n =或5n =取得. 当4n =时，8n a n =；当5n =时，8n a
n
=；
故n a
n
的最小值为8，故填8. 【点睛】
数列的最值的讨论，可借助数列的单调性，也可以研究数列对应的函数的单调性，注意函数的单调性与数列单调性的区别.
16．设二次函数()()2
4f x ax x c x R =-+∈的值域为[
)0,+∞，则
19
19
c a +++的最大值为 . 【答案】
65
【解析】试题分析：由题知0a >,函数()f x 的值域为
416416,04044ac ac ac c a a --⎡⎫
+∞⇒=⇒=⇒>⎪⎢⎣⎭
,19918918511999913913a c a c c a a c ac a c a c +++++===++++++++++又
9131325a c ++≥=,所以
19516111991355c a a c +=+≤+=++++,当且仅当96a c ==时取最大值6
5
. 【考点】二次函数的值域,均值不等式应用.
三、解答题
17．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且
3cos 2sin(
)102
A A π
+-+=． (1)求角A 的大小；
(2)若ABC ∆的面积S =3b =,求sin C 的值．
【答案】(1) 3
A π
=
．
(2) sin 13
C =
【解析】(1)利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式，从而可得A 的值. (2)先求c ，再利用余弦定理求出a ，最后利用正弦定理求出sin C . 【详解】 (1)∵3cos 2sin(
)102
A A π
+-+=, ∴cos2cos 10A A -+=，可得22cos cos 0A A -=， 解得1
cos 2
A =
，或cos 0A =. ∵ABC ∆为锐角三角形，∴1cos 2A =
，∴3
A π=． (2)∵113
sin 3322ABC S bc A bc ∆=
==12bc =. 又3b =,可得4c =.
在ABC ∆中，由余弦定理可知，2
2
2
1
2cos 169243132
a b c bc A
=+-=+-⨯⨯⨯=，
∴a =.
在ABC ∆
中，由正弦定理可知sin sin a c
A C =
,4sin sin c A C a ===. 【点睛】
三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理. 18．设函数2()1f x mx mx =--．
(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) 40m -<≤．(2) 1
6
m <
【解析】(1)利用判别式可求实数m 的取值范围，注意二次项系数的讨论. (2)就0,0,0m m m <=>三种情况讨论函数的最值后可得实数m 的取值范围.
【详解】
解：(1)要使210mx mx --<恒成立， 若0m =，显然10-<；
若0m ≠，则有2
040m m m <⎧
⎨∆=+<⎩
，40m ∴-<<， ∴40m -<≤．
(2)当0m =时，()10f x =-<显然恒成立； 当0m ≠时，该函数的对称轴是12
x =，2
()1f x mx mx =--在[1,3]x ∈上是单调函数．
当0m >时，由于(1)10f =-<，要使()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立， 只要(3)0f <即可,即9310m m --<得1
6
m <
，即106m <<；
当0m <时，由于函数()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(1)0f <即可， 此时(1)10f =-<显然成立. 综上可知1
6
m <． 【点睛】
一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S n a +=。

(1)证明：数列{}2n a ＋}是等比数列。

并求数列{}n a 的通项公式n a 。

(2)若数列{}n b 满足()2log 2n n
b a =+，设n T 是数列2n n b a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和。

求证：3
2
n T <。

【答案】（1）1
22n n a +=-；（2）见解析
【解析】（1）代入n=1，求得首项1a ；再用递推法求得122n n a a -=+，再利用构造数列的方法可证明求得{}2n a +为等比数列。

根据首项与公比，可求得数列{}n a 的通项公式。

（2）根据()2log 2n n b a =+，可求得数列{}n b 的通项公式为1n b n =+，进而得到数列
2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
为等差数列与等比数列乘积的形式，再利用错位相减法求得n T ，最后可证明不等式32
n T <
成立。

【详解】
(1)由22n n S n a +=得22n n S a n =-，
当*n N ∈时，22n n S a n =-，①
当1n =时，1122S a =-，则12a =，
则当2n ≥，*n N ∈时，()11221n n S a n --=--。

②
①－②，得1222n n n a a a -=--，
即122n n a a -=+， 所以()1222n n a a -+=+，所以1222
n n a a -+=+， 所以{}2n a +是以12a +为首项，以2为公比的等比数列。

所以124n n a n -+=⋅，所以122n n a +=-。

(2)由()2122log 2log 2
1n n b a n +=+==+， 得2n n b a + 1122
n n n b n a ++=+， 则231
231222n n n T ++=++⋯+， ③ 3121212222n n n n n T +++=+⋯++ 12
，④ ③－④，得2341221111211111142122222242
12
n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+++⋯+-=+-- 122111133422242
n n n n n +++++=
+--=-. 所以1333222n n n T ++=-<。

【点睛】 本题考查了利用递推法求数列的递推公式，再利用构造数列的方法证明数列是等比数列，再根据错位相减法求数列的前n 项和，计算量较大，易错，属于中档题。

20．在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知
2cos()cosC a b A C c ++= (Ⅰ) 求角C 的大小;
(Ⅱ) 若c=2，求使ΔABC 面积最大时，a, b 的值．
【答案】（1）23C π=；（2）3
a b ==. 【解析】试题分析：（1）本小题首先要注意三角形的内角和为π，因此A C B π+=-，又由正弦定理，有2a b c +=2sin sin sin A B C
+，实现边化角的目的，则因此有2sin sin cos sin cosC
A B B C +-=，又由比例的性质及两角和的正弦公式前式可化为2sin cosC ()sin()A sinBcosC cosBsinC B C sinA =-+=-+=-，约去sin A ，可得关于角C 的三角式子，结合角C 的取值范围即可得角C ；（2）本小题从余弦定理入手，可得2222cos c a b ab C =+-，利用重要不等式222a b ab +≥（当且仅当a=b 时取等
号）化为43ab ≥则有43ab ≤，又三角形面积为1sinC 2ABC S ab ∆==即可求得其最大值．
试题解析：(1)cos()()A C cos B cosB π+=-=- 由题意及正弦定理2sin sin cos sin cosC
A B B C +-∴= 即2sin cosC ()sin()A sinBcosC cosBsinC B C sinA =-+=-+=-
(0,)A π∈sin 0A ∴>从而
1cos 2C =- 又(0,)C π∈23
C π∴= (2) 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-
22142()2
a b ab ∴=+-⋅-即224a b ab =++ 22423a b ab ab ab ab ∴=++≥+=
4433ab ab ∴≥≤
，(当且仅当a b =时成立)
1sinC 24
ABC S ab ab ∆==
a b ∴=当时ΔABC a b =
故当=3a b =时，ΔABC 【考点】正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，重要不等式222a b ab +≥（当且仅当a=b 时取等号），三角形面积为1sinC 2
ABC S ab ∆=． 21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。

为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出*()x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利为310()500
x a -万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高000.2x .
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
【答案】（1）500（2）(0，5]．
【解析】试题分析：设调整x 名工人从事第三产业，由于剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高，要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则110(1000)(1+0.2)100
x -⋅≥ 101000≥⨯，解出0500x <≤，最多调整500名员工从事第三产业；第二步从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500x a x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500
x x -+万元， 若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润：
310()10(1000)(500
x a x -≤-
11)500
x +所以≤10002x x +--，所以ax ≤1000x ++，即
a ≤+1+恒成立，由于210004500x x +≥=，当且仅当500x =
时取等号，所以+1+的最小值为5；又0a >，所以05a <≤． 试题解析：（1）设调整x 名工人从事第三产业，由题意，得
110(1000)(10.2)101000100
x x -+⋅≥⨯，即25000x x -≤2x ，又x ＞0，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500x a x -
万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500
x x -+万元，则3110()10(1000)(1)500500
x a x x x -≤-+，所以≤ 10002x x +-
-，所以ax
≤1000x ++，即a
≤
+1+恒成立，
因为
≥4=，当且仅当＝，即500x =时等号成立，所以5a ≤，又0a >，所以05a <≤．
所以a 的取值范围为
【考点】函数应用题
22．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且数列{}n n
S a 是等差数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设*lg ()3
n n n a b n N =
∈，问：1,,k m b b b (,k m 均为正整数，且1)k m <<能否成等比数列？若能，求出所有的k 和m 的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) n a n =. (2) 当且仅当2,3k m ==时，1,,k m b b b 成等比数列．
【解析】(1)利用{}n n
S a 的前3项为等差数列可求出公差d ，从而可求{}n a 的通项公式. (2)假设1,,k m b b b 成等比数列，则有
21333k m k m =+，当3k ≥时，数列2{}3
k k 为递减数列，从而可判断出当3k ≥时，总有2133k k <，从而21333k m k m =+无正整数解,k m ，可检验2,3k m ==满足要求.
【详解】
解:(1)设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0.
因为11a =，所以231,12a d a d =+=+，
从而232,33S d S d =+=+. 因为数列{}n n
S a 是等差数列，所以3212132S S S a a a ⨯=+， 即(2)3321112d d d d
++⨯=+++， 化简得20d d -=.
而0d ≠，所以1d =,故1(1)n a a n d n =+-=.
(2)假设存在正整数组k 和m ，使1,,k m b b b 成等比数列,
则1lg ,lg ,lg k m b b b 成等差数列， 于是21333k m k m =+，所以213()33
m k k m =-. （） 易知2,3k m ==满足（）.
因为3k ≥，且*k N ∈时，
112(1)2240333k k k k k k +++--=<, 所以数列2{}3
k k (3k ≥,*k N ∈)为递减数列， 于是3216103333
k k -≤-<， 所以，当3k ≥时，不存在正整数组k 和m 满足（）.
综上，当且仅当2,3k m ==时，1,,k m b b b 成等比数列．
【点睛】
等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．数列不定方程的整数解问题，常常利用一些简单的初等数论的知识，从奇偶性分析、整除性等考查解的情况，有时还需要利用数列的单调性来探求这些整数解.。