利用角与角之间的关系求三角函数值

利用角与角之间的关系求三角函数值
在学习三角函数时，经常会遇到已知几个角的三角函数值，求某个角的三角函数值的问题。

在解决这类问题的时候，关键是确定解题的方向；接下来，我们所要讨论的就是通过对角的关系的把握来确定解题方向。

我们先看下面这个引例：已知313sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求⎪⎭
⎫ ⎝⎛+απ6cos 的值。

方法一：31cos 23sin 213sin =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααπα，31sin 21cos 2
36cos -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+αααπ 方法二：313sin 23cos 6cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παππααπ； 方法一是利用两角和与差的公式展开发现二者互为相反数，是很多学生拿到此类题目的第一反应，但是此方法在有些情况下不便于解题。

再看方法二，利用 236ππααπ+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+，即找出要求值的角与已知条件中角的关系，然后利用诱导公式来求解，这一方法的关键是“找所求值的角与已知条件中角之间的关系”。

我们在看下面这一例题：
例1.已知()3
175cos =+α ，α为第三象限角，求()() 105sin 105cos -+-αα的值。

分析：根据引例中的方法二，我们找所求值的角与已知条件中角的关系， 有：()αα+-=- 75180105，()
18075105-+=-αα， ()()()
()3175cos 75180cos 105cos -=+-=+-=-ααα 所以：， ()()()()
ααα+-=-+=- 75sin 18075sin 105sin ， 到此，我们已知知道了()3175cos =+α ，接下来要求()
α+ 75sin ，需要考虑角的α+ 75取值范围；因为α为第三象限角，故α+ 75为第三或者第四象限角， 所以()075sin <+α ，从而()()3
2275cos 175sin 2-=+--=+αα ； 因此：()()3
12232231105sin 105cos -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+- αα。

在引例和例1中，我们是利用已知条件中的角与要求值的角以及特殊角之间的关系，即已知条件中的角与要求值的角的和（差）为特殊角，然后利用诱导公式求出求未知角的三角函数值。

下面我们再来看一个利用已知条件中的两个角与要求值的角的关系求三角函数值的问题。

例2.已知()βαββα,,5
4cos ,135cos ==+均为锐角，求.sin α 思路一：将()135cos =+βα展开得到13
5sin sin cos cos =-βαβα；由ββ,54c o s =为锐角知53sin =β，从而13
5sin 53cos 54=-αα①；又1cos sin 22=+αα②，由①②及α为锐角，可计算出.65
33sin =α 我们会发现，思路一求解过程比较复杂，有没有更好的方法？ 看下面思路二。

思路二：将未知角与已知角的关系找出来，也就是所求式子中的α如何用βα+与β表示。

在本题中有()ββαα-+=，即αsi n 可以看成βα+与β两角差的正弦， 从而()[]ββαα-+=sin sin ()().sin cos cos sin ββαββα+-+=
()βαββα,,5
4cos ,135cos ==+ 为锐角，()πβα,0∈+ ()53sin ,1312sin ==+∴ββα，.65
3353135541312sin =⨯-⨯=∴α
通过思路一和思路二的对比，我们发现思路二的求解过程相对简单许多。

其原因在于思路二将所求式中的角α看成已知角βα+与β的差，这是进行了“变角”；所谓的“变角”，就是将所求式子中的角看成已知角的“和”或者“差”。

例3：设912cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，322sin =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-βα，且παπ<<2，20πβ<<，求2cos βα+． 分析：βαβα--
2,2已知角为，所求式子2cos βα+中的角为2βα+；我们可以发现⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβ
α222。

因此，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+βαβαβα22cos 2cos ，下面我们就可以用两角差的余弦公式展开如下： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβαβαβαβαβ
α2sin 2sin 2cos 2cos 22cos 2
cos
已知912cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，3
22sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，接下来就要求⎪⎭⎫ ⎝⎛-2sin βα与⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2cos 。

在求⎪⎭⎫ ⎝⎛-2sin βα与⎪⎭
⎫ ⎝⎛-βα2cos 时候，要利用1cos sin 22=+θθ这一公式，那么必须考虑βαβα--2
2与的取值范围方能确定⎪⎭⎫ ⎝⎛-2sin βα与⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2cos 的正负号。

已知παπ
<<2，20π
β<<，那么420,224π
β
π
α
π
<<<<，可得⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-ππβα,42 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-2,42ππβα，所以02sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，02cos >⎪⎭
⎫ ⎝⎛-βα。

根据912cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，322sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，可求出9542sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，3
52cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，从而可以计算出27
573295435912cos =⨯+⨯-=+β
α。

在例2和例3中，我们是利用已知条件中的两个角与要求值的角之间的关系，即将未知角用已知角的和（差）表示出来，然后利用两角和（差）的三角函数公式求出求未知角的三角函数值。

从前面的几个题目，我们可以看出，求三角函数值的关键在于从“角”入手，我们要善于发现已知条件中的角与要求值的角之间的关系，即会用已知中的角表示未知中的角；另外还要注意所求角的范围的确定，熟练运用公式，以便确定三角函数值的符号。