吉林省延边朝鲜族自治州延边第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(有解析)

延边第二中学2018-2019学年度第二学期期中考试
高一年级数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）
1.函数
是( ) A. 周期为的奇函数 B. 周期为的奇函数C. 周期为的偶函数 D. 周期为的偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】
利用求得周期；再根据奇偶性定义求得奇偶性.
【详解】，即周期为
，即函数为奇函数
本题正确选项：
【点睛】本题考查正切函数奇偶性的判断、周期性的求解问题，属于基础题.
2.一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据扇形的面积公式求出半径，再由弧长公式得出结果．
【详解】根据扇形的面积公式可得，
解得，
再根据弧长公式，故选D．
【点睛】本题主要是考查扇形的面积公式以及弧长公式的应用，属于基础题．弧度制下弧长扇形面积，此时为弧度．
3.已知角的终边经过点，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据角θ的终边过点（4，﹣3），求得cosθ的值，进而根据诱导公式求得cos（π﹣θ）＝﹣cosθ＝求得答案．
【详解】∵角θ的终边过点（4，﹣3），
∴cosθ
∴cos（π﹣θ）＝﹣cosθ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由角的终边上的点确定三角函数及诱导公式的应用．属于基础题．
4.终边在直线y=x上的角α的集合是( )．
A. {α|α=k•360°+45°，k∈Z}
B. {α|α=k•360°+225°，k∈Z}
C. {α|α=k•180°+45°，k∈Z}
D. {α|α=k•180°-45°，k∈Z}
【答案】C
【解析】
【分析】
终边在直线上的角有两类，即终边分别在第一、三象限内，然后根据终边相同的角的表示方法得到两类角的集合，再求并集后可得所求．
【详解】由题意得终边在直线上的角的集合为
．
故选C．
【点睛】解答本题时注意两点：（1）终边与角相同的角连同角在内，可以构成一个集合
；（2）由于角的终边为射线，所以终边在一条直线上的角应包括两类．
5.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：
①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（）
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．
【详解】甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；
甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.
6.已知，则+1的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同角三角函数关系式及，可求得，代入即可求解。

【详解】由同角三角函数关系式，
，解得
所以
所以选A
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题。

7.如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆。

在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4，
则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=①,
而S1+S3与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆，即S1+S3+S2+S3②.
①-②得S3=S4,由图可知S3=,所以..
由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率
P=.
【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用
8.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由，平方得：，，
，有：.
.
由,所以.结合，可得：.
所以.
故选C.
9.从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
此题为几何概型。

数对落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，
概型为，所以。

故选C。

10.设函数的最小正周期为，且，则( )
A. 在单调递减
B. 在单调递减
C. 在单调递增
D. 在单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】
根据周期和奇偶性求得函数解析式，再根据复合函数单调性，采用整体对应的方式判断选项.
【详解】由题意知：
又，即为偶函数
又
当时，；当时，不单调，可知错误；
当时，；当时，单调递减
时，单调递减，可知正确，错误.
本题正确选项：
【点睛】本题考查通过函数性质求解函数解析式、余弦型函数单调性判断问题，关键是能够根据复合函数单调性判断原则，采用整体对应的方式求解.
11.函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
12.在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
分析：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1.
详解：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为
OA+1=2+1=3,选C.
点睛：与圆有关的
最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）
13.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 【答案】 【解析】
基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为
【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解. 14.若，则
__________．
【答案】 【解析】 ∵，故答案为.
15.函数的定义域为______________．
【答案】
【解析】 【分析】
根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】由题意得：
，
函数定义域为：
【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.
16.有下列说法：
①函数在第一象限
是增函数；②设为第二象限角，则；③在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
④函数的最小值为.
⑤函数在上是减函数．
其中，正确的说法是________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
①通过反例可知不满足增函数定义，得①错误；②求解出的取值范围，可知，又，得
②正确；③通过图象可知③错误；④将问题转化为与二次函数有关的复合函数问题，通过二次函数最值求解得到④正确；⑤根据复合函数单调性，利用整体对应方式可知⑤错误.
【详解】①当，时，，不满足增函数定义，所以①错误；
②时，；对于任意，；为第二象限角时，，可知②正确；
③由两函数图象可知，两个函数有且仅有一个交点，可知③错误；
④
当时，，可知④正确；
⑤当时，
当时，单调递增时，单调递增，可知⑤错误.
本题正确结果：②④
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的应用问题，主要考察了值域问题、单调性的问题，要求学生对于三角函数的图象有清晰的认知.
三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题，20分。

请写必要的解答过程）
17.已知
（1）化简；
（2）若为第四象限角，且求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：(Ⅰ)利用诱导公式进行化简；（Ⅱ）先利用诱导公式得到，再利用三角函数基本关系式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）由得
又因为为第四象限角，所以
所以此时
18.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160），第二组［160，165）……第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部份，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，事件，求概率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人；（Ⅲ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）第六组的频率为,所以第七组的频率为
；4分
（Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为，
身高在第二组[160,165)的频率为，
身高在第三组[165,170)的频率为，
身高在第四组[170,175)的频率为，
由于，
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为，则
由得
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为6分
由直方图得后三组频率为,
所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为人．8分
（Ⅲ）第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,则有
共15种情况，
因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含基本事件为
共7种情况，故．10分
由于，所以事件{}是不可能事件，
由于事件和事件是互斥事件，所以12分
考点：概率与频率
点评：主要是考查了频率与概率以及互斥事件的概率和的运用，属于中档题。

19.已知，，点的坐标为
(1)求当时,点满足的概率;
(2)求当时,点满足的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)在平面直角坐标系中画出点构成的区域，再画出符合的部分，利用几何概型求得结果；(2)列举出所有点，在其中找出符合的点，利用古典概型求得结果.
【详解】(1)点所在的区域为如下图所示的正方形的内部（含边界）
满足的区域为下图阴影部分
阴影部分面积为：；又
所求的概率
(2)满足且，的点有：
时，；时，；
时，；时，
时，，共个
满足且的点有：
，，，，，，共个
所求的概率
【点睛】本题考查几何概型面积型和古典概型的求解问题，属于常规题型.
20.已知函数
（1）求对称轴，对称中心
（2）求在的最大值和最小值；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）对称轴；对称中心
（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用整体对应的方式，令分别等于的对称轴和对称中心横坐标，求解出即可得对称轴和对称中心横坐标，取对称中心时，，可得对称中心坐标；（2）求解出所处的范围，对应图象可求得最值；（3）将不等式转化为，根据的值域，可得关于的不等式组，求解不等式组求得结果.
【详解】（1）当时，
则对称轴为：
当时，，此时
则对称中心为：
（2）当时，
当时，
（3）由得：
由（2）知，
若在恒成立，则
【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴和对称中心、值域问题的求解、与三角函数有关的恒成立问题，关键在于能够通过整体对应的方式来求解正弦型函数的性质和值域的有关问题.
21.（1）已知函数，，其中
①当时，求函数的最大值与最小值；
②求的取值范围，使在区间上是单调函数.
（2）已知函数在的最大值为，最小值为，求的值？
【答案】（1）①，；②；（2）
【解析】
【分析】
（1）①根据二次函数单调性求解即可；②由二次函数对称轴位置可知：或，从而求得范围；（2）根据范围，求解出的范围，从而利用整体对应的方式用表示出的最大值和最小值，求出，代入即可得到结果.
【详解】（1）①
当时，
当时，
②对称轴为：
当时，在上单调递增，此时
当时，在上单调递减，此时
综上所述：
当时，
当时，
，
【点睛】本题考查二次函数最值的求解、根据二次函数单调性求解参数范围、根据余弦型函数的最值求解参数的问题，属于常规题型.
22.已知.若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围. (直接写结果)
【答案】或
【解析】
【分析】
将问题转变为与在上有两个交点；通过的图象，可得到的取值范围，从而求解出结果.
【详解】在上有两个不同的实根等价于与在上有两个不同交点当时，
可得，的图象如下图所示：
当位于如图所示的位置时，有两个交点
则或
或
【点睛】本题结合三角函数考查利用方程根的个数确定参数范围的问题，解决问题的关键是能够将问题转变为交点个数的问题，通过数形结合的方式求解得到结果.
23.已知定义在上的奇函数满足,且在上是增函数;又定义行列式; 函数（其中）
（1）证明: 函数在上也是增函数；
（2）若函数的最大值为，求的值；
（3）若记集合恒有，恒有,求满足的的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用单调性的定义，结合奇偶性可证得时，，由此证得结论；（2）将整理为：；根据对称轴位置可知不同情况下取最大值时的取值，从而分别构造关于最大值的方程，求解得到结果；（3）利用奇偶性和单调性可求解出恒有，从而构造出不等式，利用分离变量的方式求解出的取值范围即可.
【详解】（1）证明：任取，则
且在上是增函数，又为奇函数
故
即函数在上也是增函数
（2）
的最大值只可能在,,处取
若，，则有，此时，符合题意
若，，则有,此时，不符合题意
若，，则有或
此时或, 不符合题意
综上所述：
（3）是定义在上的奇函数且满足
又在上均是增函数
由得：或
又恒有，恒有
所以恒有
即不等式在恒成立
由得：
此时
由得：
此时
综上所述：
【点睛】本题考查利用单调性的定义证明函数单调性、与三角函数有关的二次函数型的最值问题、恒成立
问题的求解.关于二次函数型最值问题，关键是确定对称轴的位置，通过对称轴位置明确最值取得的点；解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题变成参数与函数最值的关系，然后利用函数值域的求解方法求得最值，从而得到参数范围.。