高考中的分布列、期望、方差问题

几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率
例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。

二、从不等式大小比较的角度看概率
例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？
三、从“至多”、“至少”的角度看概率.
例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。

（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。

四、从“或”、“且”的角度看概率
例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。

（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。

相关练习
1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）
51
1
（B ）
681（C ）3061 （D ）408
1
2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4
5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
A.
16
625
B.
96625
C. 192
625
D.
256
625
3.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
2
1
与p ，且乙投球2
次均未命中的概率为
16
1． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），
1）求至少3人同时上网的概率；
2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。

甲、乙二人依次各抽一题。

（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（II ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 关于统计问题
1.（天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．
2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。

为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
_______，____，_______辆。

3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2
）:
其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁。

4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 ．
5．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
6．（四川卷）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生
（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，45人，15人 （C ）20人，30人，10人 （D ）30人，50人，10人
7．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁
0.0005
300035000.00030.0004
200015000.00020.0001
400025001000月收入（元）频率/组距
－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30 (C)40 （D ）50
8．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
9．（全国II ）一个社会调查机构就某地居民
的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了
样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居
民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要
从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人．
10．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 09年高考复习之概率统计（答案） 热点一：分布列、数学期望和方差 1、
2、分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，...； ⑵1+2+ (1)
3、数学期望:
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 性质: b aE b a E +=+ξξ)(
4、方差：ξD ＝12
1)(p E x ⋅-ξ＋22
2)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2
)(ξ＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．
性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）2
2)(ξξξE E D -=； 5、二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k
n k k n q
p C -＝b (k ；n ，p )．
E ξ=np, =ξD np (1-p )
例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若a b ηξ=+, 1E η=,11D η=,试求a,b 的值.
解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）ξ的分布列为：
∴01234 1.5.22010205
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
2222211131
(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.
22010205
ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2
，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以 当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.
∴2,2a b =⎧⎨
=-⎩或2,
4
a b =-⎧⎨=⎩即为所求.
小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率；S3写出分布列；S4代入期望和方差公式求解。

练习：
1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试
合格的概率都是
1
2
，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.
解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，
且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝
12
. （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
317
1()1()()()1().28
P ABC P A P B P C -=-=-=
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3. (0)()()()P P A B C P A B C P A B C
ξ==++
＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝3
2
3
1
113()()().2
2
2
8
++=
(1)()()()
P P A B C P A B C P A B C ξ==++ =()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ =3
3
3
1
113()()().2
2
2
8
++=
1(2)()()()().8P P A B C P A P B P C ξ==== 1
(3)()()()().
8
P P A B C P A P B P C ξ====
所以， ξ的分布列是
ξ的期望0123 1.8888
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得
1~i (1
23)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
解：（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，， ()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==⨯=．
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3．
ξ的分布列为
00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
3、某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下
表所示：
周销售量 2 3 4 频数
20
50
30
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． （Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P
0.008
0.032
0.16
0.8
E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）
几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率
例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。

解：设A 1=“三次都是白球”，则 P （A 1）=
;7
893
12
A ⨯⨯ A 2=“一、三次白球，第二次红球”，则 P （A 2）=
;8
393
12
A ⨯⨯ A 3=“第一次红球，二、三次为白球”，则 P （A 3）=
3
12
8
93A ⨯⨯; A 4=“一、二次红球，第三次白球”，则 P （A 4）=
;9
233
12
A ⨯⨯ 而A 1、A 2、A 3、A 4互斥，又记A=“第三次取出的球是白球”，则 P （A ）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）+P （A 4）=…=
4
3
说明：本题中关键是学会分解事件A ，再由互斥事件和的概率，得出结论，主要以“+”号连接，另外本题也可由P=
4
3
1011129)1011(=⨯⨯⨯⨯ 得出，请读者琢磨。

二、从不等式大小比较的角度看概率
例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？
解：设甲没有获得商标的事件为A ，乙没有获得商标的事件为B ， 则P （A ）=,)2
1
(5
5C
P （B ）=50
5)2
1
(C
∴甲、乙没有获得商标的事件为C ， 则P （C ）=P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）。

又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D 。

∴P （D ）=1- P （C ）
=1- .99.01000
999
...1023102210241023102411)21()21
(505505>>>>=-
=C C 故有99%的把握作出如此断定。

说明：本题中关键要熟悉事件D 对立事件是C ，则P （D ）=1-P （C ），主要以“-”号连接，本题也可由1-
.100
1110241->进行比较。

三、从“至多”、“至少”的角度看概率.
例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。

（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。

解：设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A 、B 、C 。

（I ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95，
.05.0)()(,10.0)(===C P B P A P
因为A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为
.
176.0...)()()()()()()()()()()()(==++=++C P B P A P C P B P A P C P B P A P BC A P C B A P C AB P （
II
）
至
少
有
两
件
不
合
格
的
概
率
012.0...)()()()(==+++C B A P C B A P C B A P C B A P
答：（略）。

说明：本题重点考查相互独立事件积的概率，主要以“×”连接P （A ）、P （B ）、P （C ）以及P )(A 、P )(B 、P )(C 。

另外（II ）也可由P=1-P （A ·B ·C ）-0.176=1-P （A ）·P （B ）·P （C ）-0.176得出。

四、从“或”、“且”的角度看概率
例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。

（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。

解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B 。

设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2
则P （A ）=P 1=0.6，P （B ）=P 2
P （A+B ）=1-P )(B A ⋅.92.0)1)(1(1212121=-+=---=P P P P P P ∴0.6+P 2-0.6P 2=0.92.
则0.4P 2=0.32 即P 2=0.8………………………………（5分） （2）08.02.04.0)()()0(=⨯=⋅==B P A P P ξ
44.08.04.02.06.0)()()()()1(=⨯+⨯=+==B P A P B P A P P ξ
48.08.06.0)()()2(=⨯===B P A P P ξ
E ξ=0×0.08 + 1×0.44 + 2×0.48 = 1.4
D ξ=（0-1.4）2
×0.08 + (1-1.4)2
×0.44 + (2-1.4)2
×0.48=0.4 或利用D ξ=E （ξ2
）-（E ξ）2
= 2.36-1.96=0.4
另外如将此题中的“或”改为“且”，处理方法怎样，请同学思考。

相关练习
1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B （A ）
51
1
（B ）
681（C ）3061 （D ）408
1
2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4
5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是B
A.
16
625
B.
96625
C. 192
625
D.
256
625
3.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
2
1
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
16
1． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率
知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得()()()16
1
112
2
=
-=-p B P 解得43=
p 或4
5
（舍去），所以乙投球的命中率为43．
解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．
由题意得1()()16P B P B =
，于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故3
1()4p P B =-=． 所以乙投球的命中率为3
4
．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知()()2
1
,21==A P A P ．
故甲投球2次至少命中1次的概率为(
)
4
3
1=⋅-A A P
解法二：
由题设和（Ⅰ）知()()
2
1,21==
A P A P 故甲投球2次至少命中1次的概率为()()
()()4
3
1
2=
+A P A P A P A P C （Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，()()()()
4
1
,43,21,21====B P B P A P A P
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次
均不中；甲两次均不中，乙中2次。

概率分别为
()()()()
16
3
1212=
⋅B P B P C A P A P C ， ()(
)
641=
⋅⋅B B P A A P ， ()
()649=⋅⋅B B P A A P 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为
32
11
649641163=
++． 5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），
1）求至少3人同时上网的概率；
2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
解： 1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，
即。

2）至少4人同时上网的概率为
，
至少5人同时上网的概率为
，
因此，至少5人同时上网的概率小于。

6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。

甲、乙二人依次各抽一题。

（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（II ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能
结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14
C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C 19
C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为15
4191101416=C C C C ，所求概率为154； （II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为19
1101314C C C C ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为15
131191101314=-C C C C ，所求概率为1513。

或 +191101516C C C C +191101416C C C C 19
1101614C C C C 151315415431=++=，所求概率为1513。

关于统计问题
1.（天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有
80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样
本，应抽取超过45岁的职工________________人．10
2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。

为检验该公司
的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___6_____，___30____，____10____辆。

3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2 ）:
其中产量比较稳定的小麦品种是▁甲种▁▁。

4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量
为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数
为 16 ．
0.0005300035000.00030.0004200015000.0002
0.0001
4000
25001000月收入（元）
频率/组距5．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法
【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2
=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 24x y t -==，选D
6．（四川卷）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生
（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，45人，15人
（C ）20人，30人，10人 （D ）30人，50人，10人
解析：
甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生30人，45人，15人，选B.
7．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30 (C)40 （D ）50
解析：根据该图可知，组距为2，得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.
8．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
解：各层次之比为：30:75:195＝2:5:13，所抽取的中型商店数是5，故选C
9．（全国II ）一个社会调查机构就某地居民 的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了
样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居
民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要
从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人．
解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有100000.00055002500⨯⨯=人 按分层抽样应抽出10025002510000
⨯=人 10．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×
16010=150 人。