高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》基础测试题含答案解析

【高中数学】数学《数列》复习知识点
一、选择题
1．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9
C ．8或9
D ．8.5
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=
． ∴a n ＝2561
1()2
n -⨯=29﹣n ．
T n ＝28•27•……•2
9﹣n
＝2
8+7+…+9﹣n
()217
289[)89242
2
22
n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝
⎦==．
∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ） A ．2n B ．31n - C ．2n D ．31n -
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2
213b b b =，求出q ，
即求n S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，1
12,2n n a a q -=∴=Q ，
121n n b q -∴=+，
13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，
{}n b Q 也是等比数列， 2
2
13b b b ∴=，即()()
2
221321q q +=+
解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】
本题考查等比数列的性质，属于基础题.
3．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,, (2222222222)
n
n n ，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2 C ．
11
1989
2 D ．
11
2019
2 【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2m -， 所以第12个括号里的第995项是11
1989
2. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则9S =（ ） A ．993 B ．766 C ．1013 D ．885
【答案】C 【解析】 【分析】
计算11a =，()1121n n a a -+=+，得到21n
n a =-，代入计算得到答案.
【详解】
当1n =时，11a =；
当2n ≥时，1121n n n n a S S a --=-=+，∴()1121n n a a -+=+，
所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，即21n
n a =-，∴
1222n n n S a n n +=-=--，
∴10
92111013S =-=．
故选：C . 【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
5．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得2
1q >，然后再根据充分条件和
必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以2
1q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
6．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】
25251634121
32323222log 62
n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=
⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)
011102
n n n S n n +-=
>⇒<⇒= ，故选C.
7．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则
n S 的最小值为（ ）
A ．–10
B ．14-
C ．–18
D ．–20
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当
4n =或5时，n S 取到最小值.
【详解】
根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，
由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.
8．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，
(2)(4)(6)(2018)
(1)(3)(5)(2017)
f f f f f f f f ++++L 的值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2018
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合()()()f a b f a f b +=⋅求解()()
()()
()()
()()
24620181352017f f f f f f f f +
+
++
L 的值即可.
【详解】
在等式()()()f a b f a f b +=⋅中，令1b =可得：()()()()112f a f a f f a +==， 则
()()12f a f a +=，据此可知： ()()
()()
()()
()()
24620181352017f f f f f f f f +
+++
L 2222210092018=++++=⨯=L .
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，
∴1634657
66636222
a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.
10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21
C ．63-
D ．21
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得
21112163S a ==-.
【详解】
∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=，
∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】
此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.
11．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列
1(1)(1)n n n a a a +⎧⎫⎨⎬--⎩⎭
的前n 项和是（ ） A ．11
121n +-
-
B ．1
121
n -
+ C ．1
121
n -
+ D ．1
121
n -
- 【答案】A 【解析】
由等比数列的性质可得：2
153364,8a a a a ==∴=，
则数列的公比：2q =
==， 数列的通项公式：112n n
n a a q -==，
故：
()()()()
111211
1121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，
则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪
⎪
⎨
⎬--⎪⎪⎩
⎭的前n 项和是：
12231
11111111121212121212121n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L . 本题选择A 选项.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
12．设函数()m
f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *
⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项
和是（ ） A ．
1
n
n + B ．
21
n
n + C ．
21
n
n - D ．
()
21n n
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可
求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()
2N n f n *
⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和即可．
【详解】
Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，
1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，
11
2()()(1)221
f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111
n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．
13．设数列是公差
的等差数列，
为前项和，若，则
取得最
大值时，的值为
A ．
B ．
C ．或
D ．
【答案】C 【解析】
，进而得到
，即
，
数列
是公差
的等差数列，所以前五项都是正数，
或时，
取最大值，故选C.
14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） A 2 B ．2
C 5
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得
(
)()6
3
11
11911a q a q q
q
--=⨯--，解可得2q =，又由(
)5
15
1
131621a q S
a
q
-=
==-，解可得
1a 的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则
(
)()6
3
11
11911a q a q q
q
--=⨯--，解可得3
8q
=，则2q =，
又由562S =，则有(
)5
151
131621a q S a
q
-===-，解可得12a =；
故选B ． 【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．
15．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则
2020S 与2020a 的关系是（ ）
A ．2020202021S a =+
B ．2020202021S a =-
C ．2020202041S a =+
D ．2020202043S a =-
【答案】B 【解析】 【分析】
求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，
0q >Q ，解得2q =，20192019202012a a q ∴==，()20201202020201211a q S q
-=
=--，
因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.
16．在数列{}n a 中，()111,1n
n n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）
A ．2017⨯1008
B ．2017⨯1009
C ．2018⨯1008
D ．2018⨯1009
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件()n
n 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】
()n
n 1n a a n 1+-=+-,
()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,
-=+--=+-=+--=+
⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-
将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)
201710092
+=⨯，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.
17．已知数列{}n a 的前n 项和为212
343
n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )
A ．数列{}n a 是等差数列
B ．数列{}n a 是递增数列
C ．1a ，5a ，9a 成等差数列
D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列
【答案】D 【解析】 【分析】
由2*
123()43
n S n n n N =++∈，2n …
时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误． 【详解】
解：由2*
123()43
n S n n n N =++∈，
2n ∴…时，221121215
3[(1)(1)3]4343212
n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．
1n =时，114712
a S ==
，1n =时，15
212n a n =+，不成立．
∴数列{}n a 不是等差数列．
21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．
51915471543
22(5)(9)021*******
a a a --=⨯⨯+--⨯+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数
列．
631535
(456)32124
S S -=⨯+++⨯=．
961553
(789)32124S S -=⨯+++⨯=．
1291571
(101112)32124
S S -=⨯+++⨯=．
Q
5323571
0444
⨯--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则26
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C
．2
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得2
(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，
从而可得26
3
n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
【详解】
解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，
2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），
21n a n ∴=-，
2(121)
2
n n n S n +-∴=
=， ∴()()2
221142626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+
，则
2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴26
3
n n S a ++的最小值为2．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
19．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A ．23岁
B ．32岁
C ．35岁
D ．38岁
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．
【详解】
设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，
由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-， 又由9207S =，即91989(3)2072
S a ⨯=+
⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁．
故选C ．
【点睛】 本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d <
②110S <
③120S >
④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >
其中正确命题的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】
先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定．
【详解】
Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，
∴10a >，0d <，①正确；
Q 675S S S >>，
∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，
12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>，
∴③⑤正确，②错误.
故选：B ．
【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。