第2章定解问题

第2章定解问题
第2章定解问题
1、何谓数理⽅程？按其描绘的物理过程，它可分为哪⼏类？
2、何谓定解问题？它分为哪⼏类？试写出⼀维波动⽅程的Cauchy问题的数学表⽰。

3、何谓定解条件？它包括哪些内容？
4、何谓边界条件？它分为哪⼏类？⼀个边界需⽤⼏个边界条件来描述？
5、⽤数理⽅程来研究物理问题需要经历哪⼏个步骤？
6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界⾯S 处的
衔接条件有⼏个？应如何表⽰？
7、如何导出物理模型的数理⽅程？在推导弦的横振动⽅程时采⽤了哪些近似？由⼩⾓度近似我们得到什么结论？
8、热传导⽅程的扩散⽅程有何共同和不同之处？
9、在杆的纵振动问题中，若端⾃由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？
10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从⼀物理定律出
发证明吗？
11、在热传导问题中，若热源密度不随时间⽽变化，则热传导⽅程会
发⽣怎样的变化？
12、在弦的横振动问题中，若弦受到了⼀与速度成正⽐的阻⼒，该阻⼒对于弦的振动问题
是否起到了源的作⽤？若受到了⼀与位移成正⽐的回复⼒呢？
第3章⾏波法
1、⾏波法的解题要领是什么？它适合⽤来求解哪⼀类定解问题？为什么？
2、⼀维波动⽅程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？
3、公式是⽤⾏波法求解弦的横振动问题时推得的，能否⽤公式求解如下定解问题？请说明原因？
4、能否⽤公式求解如下定解问题？
5、能否⽤⾏波法求解如下定解问题？
6、你能否根据直⾓坐标系中的
导出球坐标中球对称情况下的的表达式
请记住这个结论：
7、何谓平均值法？你能通过引⼊球⾯的平均值，将三维的波动⽅程
化为关于平均值的⼀维⽅程吗？
8、在Poisson 公式中，?若已知
9、对于定解问题
除了可⽤Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？
10、在弦的横振动⽅程单位质量的弦所受的外
⼒，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？
11、冲量原理的精神是什么？
12、你能否⽤纯强迫振动的解来求解定解问题
13、试述推迟势的物理意义，在推迟势中，若，且局限于⼀单位球内，则其中的体
积分该如何计算？
14、对于定解问题
按下述⽅法进⾏求解是否正确？为什么？
令
使
由公式可求得
⽽显然，所满⾜的定解问题的解为
所以，原定理问题的解为
第4章分离变量法
1、分离变量法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表⽰为单元函数的乘积？
2、分离变量法适于求解哪些定解问题？能⽤分离变量法求解⽆界问题吗？
4、分离变量法有哪⼏个求解步骤？其中最关键的是哪⼀步？
5、何谓本征值问题？以下两个定解问题是否构成本征值问题？
(1)
(2)
6、仿照上章⽤冲量原理求解⽆界弦的纯迫振动的思想和⽅法，你能否写出⽤冲量原理求有界弦的纯强迫振动的公式？
7、在将边界条件齐次化时，为什么通常可选辅助函数为X的⼀次式，⽽当问题的两个端点均有第⼆类边界条件时，必须选辅助数为X的⼆次式？
8、在⽤分离变量法求解圆的Dirichlet问题
时，需要将边界条件齐次化吗？为什么？
9、在⽤分离变量法求解下述问题时，是否需将边界条件齐次化？如何齐次化？
10、在柱坐标和极坐标中对分离变量，所得到的的⽅程为
…
其后为什么要注明…？它是怎样得来的？
11、在扇形区域中，⽤分离变量法求Dirichlet问题
应选择什么坐标系？所得到的的⽅程仍是
…
吗？为什么？
12、在⽤分离变量法求解定解问题时，应如何选择坐标系？能在直⾓坐标系中求解
吗？
5章特殊函数>> 1）勒让德多项式
1、⽅程是什么⽅程？你能写出它在中的⼀有限解吗？
2、试述Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值、本征函数是什么？
3、你能证明吗？你能由
和之值算出吗？
4、Legendre多项式的母函数是什么？何谓母函数法？它有哪些⽤途？
5、Legendre多项式的归⼀化因⼦是什么？模是什么？你能得到⼀正交归⼀的Legendre多项式吗？
6、积分和之值分别是多少？和
7、你能将⽤Legendre多项式表⽰吗？
8、你能否⽤关系式导出递推公式
9、在球坐标系中，在轴对称的情况下，△u=0的变量分离形式的解是什么？在球内的解是什么？在球外的解呢？
10、什么是缔合Legendre函数？它是否⼀定是多项式？为什么？
11、试述缔合Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？
12、缔合Legendre函数的模和归⼀化因⼦是什么？
13、是否等同于？与有何关系？你能否由的正交归⼀性导
出的正交归⼀性？
15、何谓球函数⽅程？它满⾜下列条件
的特解是什么?
16、独⽴的l阶球函数共有多少个？
17、你能⽤两种不同的形式，写出在球坐标系中，在⾮轴对称的情况下△u=0的解吗？它们对于球内和球外的具体情况，⼜分别是怎样的呢？
2）贝塞⽿函数
1、⽅程叫什么⽅程？你能写出它的⼀有限解吗？
2、何谓Bessel函数的零点？它与Bessel⽅程的何种本征值问题有关？有什么样的关系？
3、Bessel函数的母函数是什么？当v不为整数时有⽆母函数？为什么？
4、你能利⽤Bessel函数的母函数关系式推导出Bessel函数的递推公式吗？
5、Bessel函数有⽆微分表达式？若有，试写出；若⽆，说明为什么？
6、什么是三类柱函数？它们是否均满⾜Bessel⽅程？它们互相的关系是怎样的？
7、第⼆、三类柱函数是否也满⾜Bessel函数递推公式？为什么？
8、
9、
10、Bessel⽅程的通解是什么？其有限解是什么？
11、什么是虚宗量的Bessel⽅程？它经过什么样的代换可变成Bessel⽅程？由此你能推得虚宗量的Bessel ⽅程的⼀个特解吗？
12、什么是虚宗量的Bessel函数和虚宗量的Neumann函数？虚宗量Bessel⽅程的通解是什么？
13、你能完整地写出在柱坐标中对分离变量后所得到的在柱体内的分离变量形式的解吗？
14、⽅程在柱坐标系下分离变量，在什么样的边界条件下会出现虚宗量Bessel⽅程？虚宗量的Bessel⽅程是否会构成本征值问题？
15、球Bessel⽅程是什么样的情况下出现的？它与半整数的Bessel⽅程有什么关系？你能理解式给出的⼏个函数是球Bessel ⽅程的特解吗？
16、试述球Bessel⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？
17、你能写出在球坐标系中对所得到的分离变量形式的解吗？
第6章积分变换法
1、何谓积分变换法？他的解题步骤是怎样的？
2、Fourier变换的定义是什么？它的存在条件是什么？你能由周期函数的Fourier级数⽽导
出⾮周期函数的Fourier积分从⽽引⼊Fourier变换吗？
3、试求函数的Fourier变换（a>0）
，你能利⽤Fourier变换的某些性
质求出和吗？其中，a为常数，t为参变量。

5、Laplace变换的定义是什么？它的存在条件⼜是什么？对于函数（β＞0，
当t＜0时），若记，并定义此时的为函数f(t)的Laplace变换，你能否推得Laplace变换的定义式和反变换式？
6、试求阶跃函数的Lqplace的变换。

6、试求阶跃函数的Lqplace的变换。

7、Laplace变换有哪些性质？你能否由Laplace变换的定义和某些性质，依次求出函数
和的Laplace变换？
8、试⽤Fourier变换法求解定解问题
由对此定解的求解，你能⼩结出Fourier变换法的优缺点吗？
9、由Fourier变换存在的条件中“绝对可积”知常数、多项式和三⾓函数类的Fourier变换都是不存在的。

既然如此，我们还能⽤Fourier变换法求解上题吗？请说明原因。

10。

试⽤Laplace变换法求解初值问题
由此，请⼩结⼀下Laplace变换法的优缺点。

11、在⽤积分变换求解数理⽅程的定解问题时，如何选⽤适当的变换？定解条件取变换的
原则是什么？
12、求逆变换（或原函数）有哪些途径和⽅法？
13、仍从周期函数的Fourier积分展开式
出发，你能得到Fourier变换另外的如下三种形式吗？
（1）
（2）
（3）
14、设试证明乘积定理
其中，和分别是和的共轭复数。

15、设你能否由上题证得的乘积定理证明能量积分（即Parseval等式）
（
其中，在此称为能量密度函数，记作，这可⽤来表⽰函数
的能量分布规律；对所有频率积分即得的总能量
第7章格林函数法
1、何谓函数？在物理上它具有怎样的意义？它具有哪些主要性质？
2、何谓Green函数？具体说明Dirichlet-Green函数具有怎样的物理意义？
3、何谓Green函数法？它适于求解哪些定解问题？其求解步骤⼤致可分为哪⼏步？试从
Poisson⽅程的Dirichlet问题为例进⾏说明。

4、何谓电像法？试举⼀具体实例来说明⽤电像法求Dirichlet-Green函数的基本思想的步
骤。

5、球域内和球域外的Dirichlet-Green函数其形式是否⼀样？为什么？上半空间和下半空
间的呢？上半空间和左半空间的呢？
6、在教材中曾由三维空间的Green第⼆公式出发导出了三维的Dirichlet积分式，试利⽤三维空间的Green第⼆公式
导出⼆维空间的Dirichlet积分公式。

7、在教材中由电像法得了球域的Dirichlet-Green的函数即指导书的（2.5.34）式，试⽤
电像法求出圆域的Dirichlet-Green函数。

8、在教材中由三维的Dirichlet积分公式出法推得了球内（外）的Poisson积分式，你能否由⼆维的Dirichlet积分式出发推得圆内（外）的Poisson积分公式。

9、你能写出如下定解问题的积分公式及其它们所含的Green函数分别满⾜的定解问题吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
进⽽，你可否⼩结⼀下由Green函数法求解数理⽅程定解问题的步骤？
11、试分别⽤分离变量法和Green函数法求解圆的Dirichlet 问题
其中，A为常数，与分离变量法相⽐，由此你能否⼩结⼀下Green函数法的优缺点？。