[小学]中考数学试题分类全集(04-10)16圆与抛物线t.docx

1. (10分)28. (2010青海，2&11分)如图10,已知点A (3, 0),以A为圆心作＜3A 与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B,过B作OA的切线1.
(1)以直线1为对称轴的抛物线过点A及点C(0, 9),求此抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作OA的切线DE, E为切点，求此切线长；
(3)点F是切线DE上的一个动点，当与EAD△相似时，求出BF的长.
图10
【分析】(1)设顶点式，把A、C代入求出(2)见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形(3)由相似得到对应线段成比例,从而求出BF的长.
【答案】
解:(1)设抛物线的解析式为y = a(x-6)2+k •・•抛物线经过点
A(3,())和C((), 9)
9a + k = 0
36a + k = 9
解得：a=-,k = -3
3
1°
.\y=-(x-6)2-3
(2)连接AE
VDE 是0A 的切线，ZAED=90°, AE=3
・・•直线1是抛物线的对称轴，点A, D是抛物线与x轴的交点
・•・ AB=BD=3
・•・AD=6
在RtAADE 中，DE2 = AD2 - AE2 =62 -32 = 27
・・・DE = 3^3
(3)当BF丄ED时
•・• ZAED=ZBFD=90°
ZADE=ZBDF
AAED^ABFD
.AE AD
，9~BF~~BD
即亠=—
BF 3
2
当FB丄AD时
J ZAED=ZFBD=90°
ZADE=ZFDB
AAED^AFBD
.AE _ ED
，9~BF~~BD
即BF二罕"
3V3
ABF的长为。

或A/L
2
【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理
2. （12分）一条抛物线y = x2 + mx + n经过点（0,3）与（4,3）.
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1、圆心P在抛物线上运动的动圆，当P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标;
（3）P能与两处标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线y二x2+mx + n使P与两坐标轴都相切（要说明平移方法）.
Av
图15
2.本小题满分12分
(1) •••抛物线过(0, 3),(4, 3)两点,
・•・抛物线的解析式是y = x 2-4x + 3,顶点处标为（2,-1）.
3分
（2）设点P 的坐标为（和儿），
当P 与歹轴相切吋，有I x 0 1= 1, A x 0 =±1 . ......... 5分
由 x 0 = 1,得）;° 二 1? 一 4 + 3 = 0 ；
由 x Q = — 1,得 A 。

= （_1）2 _4（_1）+ 3 = 8 . 此吋，点P 的处标为人（1,0）, £（-1,8）. ......... 6分
当 P 与兀轴相切时，有1儿1=1,二y Q - ±1. …了分
山）b 二 1 ,得-4x 0 + 3 = 1,解得x 0 = 2±^2 ； 由 % = -1,得X Q -4x 0 +3 = -1,解得x 0 = 2 ・
此时，点P 的他标为人（2-卮1）,马（2 +屈1）, &（2, -1）.
9分
综上所述，圆心P 的朋标为：片（1,0）, £（-1,8）, P.（2-V2,l ）,弓（2 +血,1）,
A （2, -1）.
注：不写最后一步不扣分.
（3） 由（2）矢U,不能. .................... 10分
设抛物线y = x 2-4x + 3上卜•平移后的解析式为y = （x-2）2-l + h,
若 P 能与两坐标轴都相切,贝ijlx o l=ly o 1=1,
即 x （）=yo= 1 ；或 x o =yo=-1 ；或 X （）=l, y 0=-1 ；或 X （）=l, yo=l. 11 分 収 x
（）二y （）二 1, RA y = （x-2）2
-1 + h ,得 h=l.
・・・只需将y = x 2-4x + 3向上平移1个单位，就可使 P 与两他标轴都相切.
12分
解得
n = 3,
42 + 4m + n = 3-
.................................................... 1分
m = _4,
n = 3.
............................................................ 2分
3.如图，在平而直角朋标系中，顶点为（4, -1）的抛物线交y轴于A点，交兀轴于B,
C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0, 3）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段的垂线交抛物线于点£>,如果以点C为圆心的圆与直线BD相
切，请判断抛物线的对称轴/与0C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A, C两点之间，问：当点P运动到什么位置吋，\PAC的面积最人？并求出此时P点的处标和MAC的最大面积.
3. (1)解：设抛物线为y = d(x —4)2 — 1.
•・・抛物线经过点A (0, 3),・・・3 = a(0 — 4尸—1 ,・・a =丄.
4
V ZABD = 90° , A ZCBE = 90°-ZA BO .
乂••• ZB AO = 90° -乙ABO , :. ZB AO = AC BE・二MOB s 随EC.
••空二竺.••竺=匚.・心=塔〉2
OB AB 2713 V13
•••抛物线的对称轴/为x = 4, :.C点到I的距离为2.
•••抛物线的対称轴/与OC相交.
(3)解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点0.
可求出AC的解析式为y = -|x + 3.
设P点的坐标为5,护仙+ 3),则Q点的坐标为5, -如+ 3).
1 1 . 1 9 3
/• PQ =——加+ 3-(—nr -2m + 3)=——nr + — m ・
2 4 4 2
] 1 3 3 27 T S'PAC =S WQ +S MCQ =-X(--m2 +-/77)x6 = --(Z77-3)2 + —,
•••当777 = 3时，APAC的更积最人为4
3
10分此时，P点的坐标为(3, —一)・.....................................
4
4.(本题满分12分)
如图，在平而直角坐标系中，已知抛物线y = 0?+分+ 0交兀轴于A(2,0),B(6,0)两点,
交丁轴于点C(0,2V3).
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴与肓线y = 2x 交于点D,作OD 与x 轴相切，QD 交y 轴于点E 、
(第24题图) 解：(1) J 抛
物线y = aF+Zu: + c 经过点 4(2,0), fi(6,0), C(0,2A /3).
V3
a =—— 6
解得―灯
3 c = 2^3
，.抛物线的解析式为:W 屈+ 2侖.
(2)易知抛物线的对-称轴是x = 4.把x=4代入y=2x 得y=8,
・・・QD 与x 轴相切，・・・OD 的半径为8.
.................................... 4分
连结DE 、DF,作DM 丄y 轴，垂足为点M. 在 RtAA/FZ)中，FD=8, MD=4. cos ZMDF=-.
2
ZMDF=60° , :.ZEDF=nO Q
.
.................... 6 分
，.劣弧亦的长为曙皿8=争.
................... 7分
4a + 2b + c = 0
• • v 36a + 6b + c = 0，
・••点D 的坐标为(4,8).
F 两点,求劣弧EF 的长;
4.(本小题满分12分)
(3)设直线AC 的解析式为)=kx+b.・・•直线AC 经过点A(2,0),C(0,2V3).
设点 P(m, — m 2 --V3m + 2岳(m < 0), PG 交直线 AC 于 N,
6 3
则点N 坐标为(777 -V3m + 2V3)•・・・S 沖A : S
、
GNA 二
PN.GN ・
3
•••①若 PN : GN=\ : 2,则 PG : GN=3 : 2, PG=- GN ・
2
即—m 2
--V3m + 2A /3=-(-吕n + 2語).
6 3 2
解得:加1= —3, AH2=2 (舍去). 当 m=-3 时，—w 2--V3/?? + 2V3= —V3.
6 3 2
・・・此时点P 的坐标为(-3,-73) •
2
②若 PN : GN=2 : 1,则 PG : GN=3 : 1, PG=3GN 、 行 4 即—m 2 --V3m + 2^3 =3( - V3m + 2^3).
6 3
—/?22--V3/H + 273=4273.
6 3
・・・此吋点P 的坐标为(-12,4273) •
综上所述，当点P 坐标为(-3,-73)或(-12,4273)时，△PGA 的面积被直线AC 分成1
:2两部分. .............. 12分
5
5 (12分)如图,已知点人(一3, 0)和3(1, 0),直线y=kx~4经过点A 并且与y 轴交于点
C.
(1) 求点C 的他标；
(2) 求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式和对称轴；
解得：m } =-12 , m 2 = 2 (舍去)•当“ =-12 时, 2k+b = 0 b = 2翻
・・・直线AC 的解析式为:
⑵解：设过虫(-3,0),
C (0,-4)的函数解析式为y = ax 2
+bx-bc t
9a-3b + o = 0
则《 a + b + c = 0
............. 4 分
解得
4 a =—
3 * 6 =—
.......... .. 5分
3 c = -4
4
8
・・•抛物线的解析式为歹=亍兀+3"-4
对称轴尤
-3 + 1
即工=一1 (由x.=
(3) 半径为］个单位长度的动圆OP 的圆心P 始终在抛物线的对称轴上.当点P 的纵坐 标为5时，将OP 以每秒］个单位长度的速度在抛物线的对称轴上移动.那么，经 过几秒,QP 与直线
AC 开始有公共点？经过几秒后，与直线AC 不再有公共山、？
2a
3 * X
7分
（3）解；在心MOC 中，0/1 = 3 , OC = 4
:.CA = \ OA 2
+OC" =^32 + 4* =5
........ . .......... 8 分
当OP 向上移动吋，永远不会◎宜线AC 有公共点
为。

尸向下移动时，设©P 与直线AC 有•个公共点的位置如图中的。

片和0/>, 。

人与言线AC 柑切于点D,①传®逍线AC 相切于点E,连接PQ
：• 3DR = 90° 又 V MN // OC :. ZDNI\ 二么 CO
又 T £NDP \ = ZCOA 二 90° A ©DP 、s ACOJ
5 4
同理NP?r 把虫(—3,0)代入歹=怂一4中一3丘-4 = 0得k = --
3 3
・：直线把x = -l 代入尸二一扌乂一4得p = ••. A4?V=卜呼=£
o 5
:.MP 、= MN- NR =)-寸\ ・••作=PM 十他=5十1 = 6 ........ 11 分 PE"人+ 2N 片=6 + 2x*9右 =6 + 1 = 6 （秒）"心=9丄— 1=9丄（秒）
d 3 3 3
综上所述，经过6秒0P 与直线AC 开始有公共点：经9丄秒后，0F 与直线AC
・3
不年有公共点。

........... 12分
6. (木题满分14分)如图，已知抛物线y = ax 2
+bx-3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于
C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M (1,加)恰好在此抛物线的対称轴上，OM 的半 径为
亦.设与y 轴交于D,抛物线的顶点为&
(1) 求加的值及抛物线的解析式；
(2) 设ZDBC = a, ZCBE =卩,求 sin (Q -0)的值；
(3) 探究他标轴上是否存在点P ，使得以P 、人、C 为顶点的三角形◎△BCE 相似？若
存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
NP\ 1
—1
二—
5 3
6. (1) III题意可知C (0, 一3),
2a~h
抛物线的解析式为y = ax2—2ax—3 (a>0),
过M作MN丄y轴于N,连结CM,则MN=\, CM =后,
•I CN = 2,于是m =— 1.
同理可求得B (3, 0),
・；a X 32—2—2a X 3 — 3 = 0,得a = 1,
•I抛物线的解析式为y = x2—2x—3.
(2)由(1)得A (-1, 0), E (1, -4), D (0, 1).
・•・在Rt/XBCE 屮，BC = 3^2 , CE = V2 ,
:.RtABODsRtMCE,得ZCBE=ZOBD=,
Co 因此sin( 一) = sin ( ZDBC- Z OBD) = sinZ OBC =——=——
BC 2
(3)显然RtACOA^RtABCE,此时点鬥(0, 0).
・OB _3
*
BC _3近 _
CE~~42~
.OB _ BC
'7)D~~CE
OB _ OP
^C~~CE
过A作仲2丄AC交y正半轴于P2,由Rt/\CAP2 ^RtABCE,得P2(0,-).
过C作CP3丄AC交兀止半轴于巴，由RtAP3CA^RtABC£：,得巴（9, 0）.
故在处标轴上存在三个点巴（0, 0）, P2（0, 1/3）, P3（9, 0）,使得以P、人、C
为顶点的三角形与BCE相似.
7.（本题满分12分，每小题满分各4分）
如图7,在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，以点A（0, -3）为圆心,
5为半径作圆A,交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点.
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点，
求这个二次函数解析式；
（3） P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并几与x轴
垂直的直线，交上述二次两数图像于点F,
当/CPF中-个内角的正切之为訓，求点P的坐标•图了
7•解:(1)・・•点A的坐标为(0 ,-3),线段AD = 5,:.点D的坐标(0 ,2) . ------------------- (1分)连结AC,在RtZUOC 中，ZAOC=90°f 043, 4C=5,・\ 0C=4.------------ (1 分)
・••点C的坐标为（4 ,0）；------------------------------------------- （1分）
同理可得点B处标为（-4 ,0） . ----------------------------------------------------------- （1分）（2）设所求二次两数的解析式为y = ax2 +bx + c
由于该二次函数的图像经过B、C、D三点,贝ij
0 = 16o-4b + c,
«0 = 16d + 4/? + c, ------------------------------------------------------------------------- （3 分）
2二c,
・・所求的二次函数的解析式为y = --x 2+2； --------------- （1分）
解得 卜=0,・
8
（3）设点P 坐标为（r ,0）,由题意得/>5, ----------------------------------------------- （1
分）
且点 F 的坐标为（r,--?+2）, PC = r-4, PF 丄 2_2,
8 8
•・• ZCPF=90°, A 当中一个内角的正切值为丄时，
2
CP 1 t — 4 1 ①若—= 1W ,即 ------------ =—，解得人=12,乙=4（舍）； ------------------- （1分）
PF 2 匕 2_2 2 '
8
PF 1
Q I
②当一=点时， --------- =-解得人=0（舍），t. =4（舍）， ---------------- （1分）
CP 2
r-4 2 -
所以所求点P 的坐标为（12, 0）. --------------------------------------------------------- （1分）
8.抛物线y = ax 2
+bx + c{a 0）的顶点为M,与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右
侧），AABM 的三个内角ZM> ZA 、ZB 所对的边分别为m 、a 、b 。

若关于兀的一元 二次方程（m - a ）x 2
+ 2bx + （加+ a ）二0有两个相等的实数根。

（1） 判断AABM 的形状，并说明理由。

（2） 当顶点M 的坐标为（一2, —1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致
图形。

（3）若平行于兀轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，
求该圆的圆心处标。

8.解：(1)令4 = (2b)2
-4(/n -a)(m + a) = 0
得 / +b? = m 2
由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知
AABM 是一个以a 、b 为直角边的等腰直角三角形 （2）设 y = 6Z （x + 2）2 -1 V AABM 是等腰直角三角形
・••斜边上的中线等于斜边的一半
乂顶点M（—2, -1）
・••丄AB = \9即AB=2
2
・・・A(—3, 0), B(-l, 0)
将B( —1, 0)代入y = a(兀+ 2尸一1中得a = 1
・・・抛物线的解析式为y二(兀+ 2尸一1,即〉，二/ +牡+ 3 图略(3)设平行于x轴的直线为y = £
[y = k
解方程组彳9
卜=jr +4兀 + 3
得 %| = -2 + J k +1 r — _2 — J £ +1 ( k〉_ 1)
・・・线段CD的长为2VT M
・・・以CD为直径的I员1与兀轴和切
据题意得VT+T = |^
:.k2 =k + l
解得k = ^^-
2
・・・圆心处标为(—2,土5)和(—2,上空)
22
28.如图知半径为I的00】与工轴交于苗点为OQ的切坯，切点为毎•圆心
O.的坐奇为(2,0>・_1次函数y=■•-< 丄<*的图象经迈A、"两点•
(1)求“••次前数的解析式,
(2)求切搜0M的函数解析式；
⑶线OM h是否存在•点尸，使得以P、。

、人
为頂点的7角形与A<X), M相似.若存注•
话求岀所有符合条件国点卩的能标。

若不
存生•说说明聊由.
个
＞'
数学试卷•第8贡(共8頁)
• • •
・•
•
• ••••••
•
• •・・・
•••
「・耳如‘-”“加匚."■乎砂貨書乱^HttAKtaiMV]
1ST 肿
• niDN KWukfE 一 ACHff 、； -g
211 + a 1' I
：・HC ・W ——i • ••■BH"-
Li
・It 储It 基*方掘荊・]
订〕I •区
•、
歸 II 人 Cl) MW w JJE - — -1.-. WT * 3AE 5
Z AE
4u
rV BH ■卫・?lm ■ 亡丄
r\ -fl' —3 « U .". U ■ M*J IhfX 育He 姫 1®卷 JJ1R 巧用竹*> •^•■M Ml.If IIII >»IIII > IIIIII |Q 廿 册二i
SftBPitAC 于虑O.tldO 二W 二二H.
«EW«4«s r d J! |K 6 fl)
"3归
JI]
‘■ — = -------- -- 2 4f AM 却“ 口心
[口 kr
<2><t4-J 7/iO^BC.ftffldL.tW£^Af ：.WW. A —r
10. （12分）在直角处标系中，OA 的半径为4,圆心A 的处标为（2, 0）, 与x 轴交于 E 、F 两
点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作04的切线BC,交x 轴于点B.
（1） 求直线CB 的解析式； （2） 若抛物线y=«x 2+bx+c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰
为点E 、F,求该抛物线的解析式； （3） 试判断点C 是否在抛物线上？
（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 AA0C
相似？肓接写出两组这样的点.
0B=6.
.............................
…2分 ・••点C 坐标为（0,2希），点〃坐标为（-6,0）. 设直线BC 的解析式为
y=kx+b,
................................................................... 3 分
町求得直线3C 的解析式为
................................................... 4分
方法二
连结AC ,则AC 丄BC.
・・・ 04 = 2, AC = 4f ・・・ ZACO=30°, ZCA0=60
........................................ 1分
・・・ZCBA=30°,・・・AB=2AC=S.
10.本小题满分12分
解：（1）方法一：
连结AC,则AC 丄BC.
OA = 2, AC = 4 ,・：OC-2A /3 .
.......... 1分
又 RtAAOC^RtACOB,
AO _0C OC~~OB
0B=AB ・A0=6.
............. 2分
以下同证法一.
(2)由题意得，OA 与无轴的交点分别为E(—2,0)、F(60),抛物线的对称轴过点A 为直线
x = 2.
.............
.................. 5分
・・•抛物线的顶点在直线BC ±, ・•・抛物线顶点坐标为
................................................... 6分
设抛物线解析式为
・・•抛物线过点E(-2,0),
・・・ 0 = 6/(-2-2)2+-V3 ,解得a = -—・
3 6
・・・抛物线的解析式为y = -—(X -2)2+|>/3, 即
_凤2亠2品丄。

r-
y = ------ x H ------- 兀 + 2^/3 •
................................................................
6 3
……8分
(3)点C 在抛物线上.因为抛物线与y 轴的交点坐标为(0,2^3),如
图 .................. 10分
⑷存在，这三点分别是E 、C 、F 与E 、F, 0的坐标为(4, 2的).
即 、
ECFs\AOC
、
/\EC'Fs/\AOC ,
如
图.
............................... 12分
说明：每找对一个三角形，给1分.
y = a(x-2)2 + —A /3 , ・ 3
.................................................... 7分
11.(本题满分10分)
两个直角边为6的全等的等腰直介三介形Rt/\AOB 和RtACEO 按图1所示的位置放置A 与C 重合，0与E 重合.
(1) 求图1中，A, B, D 三点的坐标.
(2) RtAAOB 固定不动，RtACED 沿兀轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点 运动
到与3点重合时停止，设运动兀秒后Rt/\CED 和RtAAOB 重叠部分血积为y,求y 与xZ 间的函数关系式.
(3) 当RtACED 以(2)中的速度和方向运动，运动时间兀=4秒时RtACED 运动到如 图2所示的位置，求经过A, G, C 三点的抛物线的解析式.
(4) 现有一半径为2,圆心P 在(3)中的抛物线上运动的动圆，试问 P 在运动过程中是 否存在P
与x 轴或y 轴和切的悄况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由.
图12
如图，点M (4, 0),以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点4、B.已知抛物线 丁 = £/+力:+(?过点4和3,与y 轴交于点C.
(1) 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象.
(2) 点Q (8,加)在抛物线)；=丄兀Sb 兀上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求
6
PQ+PB 的最小值.
(3) CE 是过点C 的的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式.
图11
1 ?
-X 22 + 2/? + C = 0, 6
丄 X 62+6/? + C = 0, 〔6 1 4
则抛物线的解析式为y=-x 2 ——兀+ 2.
* 6 3
故 C (0, 2). .................................... (2 分) (说明：抛物线的大致图象要过点人、B 、C,其开口方向、顶点和对称轴相对准确) ..... (3 分) (2)如图①，抛物线対称轴/是x=4. I Q (8,加)抛物线上，・•・加=2.
过点Q 作QK 丄兀轴于点K,则K (8, 0), QK=2, AK=6,
:.AQ= ^AK 2
+QK 2
= 2>/10 ・
.................................... (5 分) 又•
・・B (6, 0)与A (2, 0)关于对称轴/对称,
・•・PQ+PB 的最小值=AQ= 2V10 •
(3)如图②，连结EM 和CM. 由已知，得EM=OC=2.
CE 是OM 的切线，・•・ZDEM=90° , 又 I ZODC=ZEDM.
解得
则 ZDEM= ZDOC. + /?兀+(?过点/1和8，
1
B (6, 0),
b =-
图①
图②
故△DEM 竺△QOC.
・・・ OI)=I)E, CD=MD.
乂在△ ODE 和△MDC 中，ZODE=ZMDC, ZDOE= ZDEO= ZDCM= ZDMC. 则 OE 〃CM.
.................................... (7 分)
设CM 所在直线的解析式为y =kx+b, CM 过点C (0, 2), M (4, 0),
直线
CM 的解析式为y =
冷 x + 2.
又•・•直线OE 过原点O,且O E//CM,
则OE 的解析式为y=-丄x.
..................................... （8分）
28.（本题满分10分）
两个总角边为6的全等的等腰总角三角形RtAAOB 和RtACED 按图1所示的位置放置力 与C 重合，O 与£重合.
（1） 求图1中，A, B, D 三点的坐标.
（2） RtAAOB 固定不动，RtACEP 沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点、
运动到与B 点重合时停止，设运动兀秒后RtACED 和RtAAOB 重叠部分面积为y,求y 与x 之间的函数关系式.
（3） 当RtACED 以（2）屮的速度和方向运动，运动时间x = 4秒时RtACED 运动到如 图2所示的位置，求经过A, G, C 三点的抛物线的解析式.
（4） 现有一半径为2,圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动鬪，试问P 在运动过程中是
4k+b = 0, b = 2,
解得\
~2 b = 2,
图1 图2
（求梯形IOHG 的面积及HDGB 的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）
- “ 十」 —3F+12X (0W XV 3) .•.y 与兀的函数关系式为：y = { , •…•…5分
' * 疋-12x + 36(3WxW6)
(3)图 2 屮，作 GH 丄 OE,垂足为 H,当兀=4 时，OE = 2x = 8, DB = 12-2x = 4
/.GH =DH =-DB = 2f OH =6-HB = 6丄DB = 6-2 = 4
28.解：(1) 4(0,6), B(6,0), D(—6,0) (2)当0Wx<3时，位置如图A 所示，
作GH 丄垂足为H,可知：OE = 2x, EH = x,
DO = 6 — 2兀,DH =6 — x f
• • y = 2S 梯形l0HG = 2(S5GHD _ S
1(6_X )2_1(6_2%)2
<3 =2 —x~ + 6x =
~3x~ +12x •••• I 2 丿
当3WxW6时，位置如图E 所示. 可知：DB = \2-2x
_丄
~ 2
=S“DGB - 2
T
DB
—(12-2x) =X I 2-12X + 36
2
2 2
可知：4(0,6), G(4,2), C(8,6) ........................................................ 6 分
2分
当P与X轴相切吋，有儿=2
• y = +(兀-4)2 + 2〉0
/. y0 = 2 ,得:兀o=4, .•.妁(4,2)
综上所述，符合条件的圆心P有三个，其坐标分別是：
片(-2,11),马⑵3),人(4,2)•…10分(每求出一个点坐标得1分)
24.(本题满分12分)
y ；
抛物线y = W+bx + c交x轴于4、B两点，；
I
I 交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为兀=1, :
_______ A
_: B(3,0), C(0, —3), O'「
I
I
(1)求二次函数y = ax2+bx + c的解析式； C \
■I
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P到B、；
I
I
两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请i ；
明理由；
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点, 若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此I员I的半径•
24.解：(1)将C(0,-3)代入y = ax2 + + c ,
得c = 一3 .
将c = -3, B(3,0)代入y = ax2 + + c ,
得9。

+ 3b + c = () (1)
・・・x = 1是对称轴,
r. ------ = 1.
2a
将(2)代入(1)得
所以，二次函数得解析式是y = x2-2x-3・
......................................................................................................... 4分
(2)...2 分
(2) AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离Z差最大的点.
・・• C 点的坐标为（0,-3）, A 点的坐标为（-1,0）,
・•・直线AC 的解析式是『二-3兀-3,
又对称轴为x = l,
(3)设Mg)、叫,刃，所求圆的半径为r,
则 x 2 -x { = 2r , .........................(1) ・・•对称轴为x = l, /. £ + 坷=2 .
(2)
由(1)、(2)得：兀2 =厂 + 1 .................. (3) 将N(r +1, y)代入解析式y = x 2
-2x-3,
得),十 + 1)2一2(厂 + 1) —3, (4)
整理得：=r - -4 ........................................................................................................ 10分
由于r=±y,
当 y 〉0 时，r 2 - r - 4 = 0 ,
当 y < 0时，r 2 + r-4 = 0 ,
所以圆的半径是呼或呼
说明：解答题各小题只给出了一种解法，其他解法只要步骤合理、解答正确均应得到相 应分数.
28. （13分）在平面直角处标系中，直线y =-丄x + 6与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点.
4^
・・・点P 的坐标(1,-6).
...............................................................................7分
解得, 1 + V17
= ----------
1 2
r
2
l-Vn
（舍去）,
解得,
-i + Vi7
土血（舍去）.
12分
(1) 直接写出3、C 两点的坐标；
(2) 直线y = x 与总线y = 一*兀+ 6交于点人，动点P 从点。

沿04方向以每秒1个单位 的速
度运动，设运动时间为r 秒(即0P = /).过点P 作PQ//X 轴交直线BC 于点Q.
① 若点P 在线段0A 上运动时(如图1),过P 、Q 分别作X 轴的垂线，垂足分别为N 、M, 设矩形PQMN 的面积为S ,写出S 和/之间的函数关系式，并求出S 的最人值.
② 若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间f 为何值时，过P 、0、0三
28. (1) B (12, 0) C (0, 6) 4 分
(2)①点P 在y = x±, OP = t f 点尸坐标(厲〃2, V2t/2)点Q 处标(12-临,Q ⑵
PQ = 12 — 3^2/ /2
PN =
/2 6 分
S = -1.5r 2 + 6血=一1.5手-4迈t + 8) + 12 =-1.5(r - 2^2)2 +12,
8 分
当t = 2y/2时，S 的最大值为12
9分
②、若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，过P 、Q 、O 三点的圆与兀轴和切, 则圆心在y 轴上，且y 轴垂直平分PQ 11分
・・・ZPOC=45°
・・・ZQOC=45°
.・.血一12
= 坊/2 t = \2迈 13分
28. (12分)如图，抛物线y = ^x 2+mx + n 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C,点P 是它的
顶点，点
A 的横坐标是-3,点
B 的横坐标是1.
4Y
⑴求加、Z?的值；
\
J
(2)求直线PC 的解析式；
\ °
A
k
(3)请探究以点4为圆心、总径为5的圆与直线
PC 的位置关系,并说明理由.(参考数：V2«1.41, >/3«1.73,厉= 2.24)
28.本小题满分12分
解：⑴由已知条件可知：抛物线y = ^x2+mx + n经过人(-3, 0)、B(1,0)两点.
0 = —3m + n,
\ ................................................... 2分
0 =丄+ m + n・
2
解得m = \y n = ~ .................................. 3 分
2
(2) V y = l x2+x--, ••- P(-l, -2), C(()--) .......................... 4 分
2 2 2
-2 = -k + b y
设直线PC的解析式是y = kx + b f贝lj< 3 解得&=丄,b =
7 2 2
~—.
・・・直线PC的解析式是y = *弓. .................... 6分
说明：只要求对比=丄，/? = --,不写最后一步，不扣分.
2 2
⑶ 如图，过点A作AE丄PC,垂足为E.
设直线PC与x轴交于点£>,则点D的坐标为(3, 0) ............................................. 7分
3在RtAOCD '|«, T OC=-, OD = 3,
2
・・・ CD = J(-)2+32 =-y/5 .................... 8分
V 2 2
•・• 04=3, OD = 3, :.AD=6 ........................ 9 分
J ZCOZ)=ZA££>=90°, ZCZX)公用，
/. 'CODsZED•................. io 分
•・• -V5 2.688 > 2.5 ,
5
・・・以点A 为関心、直径为5的圆与直线PC 相离.
专业好文档精心整理欢迎下载
• PC _ CD
3 2 AE 6
AE = -y[5 .
11分
12分
1 9 1 °
・・・抛物线为y = _(兀_4)2_1 = _兀2_2兀
+ 3.
........................................................................
3分
「 4 4
(2)答：/与OC相交. ...................................................
4分
证明：当—4尸—1 = 0时，西=2,兀2 =6.
:・ B 为(2, 0), C 为(6, 0) AB = A/312 + 22 = V13.
设G) C与相切于点E ,连接CE，则ZBEC = 90° = ZAOB.
I
・•.经过A, G, C三点的抛物线的解析式为：y = —（x
—4r+2 =
—— 2x +
67分•
4
4 （4）当P在运动过程屮，存在P与坐标轴相切的情况，设P点坐标为（心，儿）
当P^y轴相切吋，有兀（）=2, x0=±2,由勺=—2得：儿=11「/（—2,11）
由兀()=2,得y0 = 3, /• P2 (2,3)。