非局部p-Laplace方程Neumann问题的非平凡解

非局部p-Laplace方程Neumann问题的非平凡解
孙旸;张申贵
【摘要】研究一类非局部p-Laplace方程Neumann问题的可解性.当非线性项满足广义p-次线性条件时,利用变分方法和临界点理论,得到了该问题非平凡解存在的充分条件.
【期刊名称】《宁夏师范学院学报》
【年(卷),期】2018(039)007
【总页数】5页(P13-17)
【关键词】非局部p-Laplace方程;Neumann边值问题;临界点
【作者】孙旸;张申贵
【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院, 甘肃兰州 730030;西北民族大学数学与计算机科学学院, 甘肃兰州 730030
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
本文研究p-Kirchhoff方程Neumann边值问题
(1)
其中，ν(x)为外法向量，u，有界区域Ω是RN中带有光滑的边界.令
Δpu=div(|u|p-2u)为p-Laplacian算子.设f(x,u)∈C(Ω×R,R)及M(t)∈C(R+,R+).
令存在常数m0>0，θ≥1，满足：
M(t)≥m0，∀t≥0,
(2)
∀t≥0.
(3)
问题 (1) 的特点是带有非局部系数这导致问题(1)中的微分方程不是逐点成立的恒等式,此类问题被称为非局部问题.带有非局部系数的微分方程有着广泛的应用,例如一些描述热能辐射过程，种群增长规律或电流分布和运动的数学模型可以归结为此类方程.近年来，临界点理论已用于研究带有非局部系数的微分方程的可解性，见文献 [1-8].
本文中，首先将问题的(弱)解转化为索伯列夫空间W1,p(Ω)上能量泛函的临界点，当非线性项满足一类广义p-次线性条件时，然后将利用文献 [9]建立的零点局部环绕定理证明能量泛函至少两个非平凡临界点，从而得到问题(1)至少存在两个非平凡解的充分条件.
1 准备知识
记W1,p(Ω)为索伯列夫空间，定义范数为
根据索伯列夫嵌入定理，存在常数C>0，使得
(4)
(5)
及
(6)
对所有u∈W1,p(Ω)成立.记那么⊕R，
且存在η>0，使得
(7)
在W1,p(Ω)上定义能量泛函
其中 F(x,u)=f(x,s)ds，则u是泛函Φ的临界点当且仅当u∈W1,p(Ω)是问题⑴的解.且Φ连续可微，及
u∀v∈W1,p(Ω).
文献[9]中给出了下面临界点定理：
引理1[9] 设E是巴拿赫空间,E=E1⊕E2，dimE2<+.若以下两个条件成立：(i) 设泛函Φ∈C1(E,R)下方有界且满足(PS)条件，即{un}是E中的序列，使得{Φ(un)}有界且Φ′(un)→0，(n→)，蕴含{un}在E中有收敛子列.
(ii) 设泛函Φ在零点处满足局部环绕条件,即存在常数δ>0,使得
Φ(u)≥0,∀u∈E1,‖u‖≤δ；Φ(u)≤0,∀u∈E2,‖u‖≤δ.
若infEΦ<0，则Φ至少有两个非平凡临界点.
2 主要结果
假设控制函数H(u):[0,+)→[0,+)连续，存在Ki>0，i=1,2,3，使得
(H1) H(t)≤H(s)，∀t≤s，t,s∈[0,+);
(H2) H(t+s)≤K0[H(t)+H(s)]，∀t,s∈[0,+);
(H3) 0≤H(t)≤K1sα+K2，0<α<p-1，∀t,s∈[0,+);
.
定理1 假设(2)，(3)成立，存在常数L1>0，L2>0，有
|f(x,u)|≤L1H(|u|)+L2，
(8)
对所有u∈R和x∈Ω成立.且
,
(9)
其中及
(10)
对所有x∈Ω一致成立.设存在δ1>0，使得
F(x,u)≥0,
(11)
对所有u∈R，|u|≤δ1和x∈Ω成立.
则问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)至少有两个非平凡解. 证明记
验证问题(1)对应的能量泛函Φ满足引理1的所有条件. 第1步验证 (i) 成立.利用(2)式和(4)式，得
(12)
由条件(H1)-(H3)，对s∈[0,1]，有
(13)
由(13)式，(5)式，(6)式，及Young不等式，得
(14)
由(12)式，(14)式，得
(15)
注意到‖u‖→+⟹，及当时，有，则当‖u‖→+时，有
Φ(u)→+，
(16)
即泛函Φ是强制且下方有界的.
现在验证泛函Φ满足(PS)条件，即{un}是W1,p(Ω)中的序列，使得{Φ(un)}有界且Φ′(un)→0，(n→)，蕴含{un}在W1,p(Ω)中有收敛子列.首先，证明{un}在W1,p(Ω)中有界，反设{un}在W1,p(Ω)中无界，由(16)式，当‖u‖→+时，有Φ(u)→+，这与{Φ(un)}有界矛盾！故{un}在W1,p(Ω)中有界，取{un}的子列仍记为{un}，则存在u∈W1,p(Ω)，使得{un}弱收敛于u.利用索伯列夫嵌入定理，有
(n→).
由于Φ′(un)(un-u)→0，(n→)，可得
un(un-u)dx→0，(n→)，
利用(2)式，有
un(un-u)dx→0，(n→).
定义
uvdx，∀u,v∈W1,p(Ω)，
则A:W1,p(Ω)→W1,p(Ω)*连续.由文献[4]知,映射A具有性质(S+)，所以{un}在
W1,p(Ω)中有强收敛子列.
第2步验证 (ii) 成立，令
则E=E1⊕E2.由(H3)，(8)式和(10)式，对∀ε>0，存在常数C1>0，有
|F(x,u)|≤ε|u|p+C1|u|α+1，
(17)
对所有u∈R和x∈Ω成立.由(4)式，(6)式，(10)式和(12)式，对有
令‖u‖充分小，注意到0<α<p-1，存在常数δ1>0，对∀当时，有
对∀存在常数δ1>0，当时，有
则存在常数0<δ<min{δ1,δ2},使得泛函Φ在零点处满足局部环绕条件,即
Φ(u)≥0,∀u∈E1,‖u‖≤δ;Φ(u)≤0,∀u∈E2,‖u‖≤δ.
(18)
第3步若infEΦ<0，由引理1知，Φ至少有两个非平凡临界点，从而问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)至少有两个非平凡解.若infEΦ≥0，结合(18)式，有
infE2Φ=0，
∀u∈E2=R,‖u‖≤δ成立.由此可知,对∀u∈E2=R,‖u‖≤δ均为Φ的临界点.则问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)有无穷多个解.证完.
注1 令M(t)=a+bpt，其中a>0,b>0.取m0=a，θ=p，则满足(2)式，(3)式.
注2 当H(u)=|u|α，条件(7)可退化为经典的次线性条件，即|f(x,u)|≤L1|u|α+L2，令
则F满足定理1中条件(7)，但不满足经典的次线性条件.
参考文献:
Nontrivial Solutions for Nonlocal p-Laplace Equation with Neumann Boundary Value
SUN Yang，ZHANG Shengui
(College of Mathematics and Computer Science，Northwest University for Nationalities,Lanzhou Gansu 730030)
Abstract In this paper,we investigate the solvability of a class of nonlocal p-Laplacian equation with Neumann boundary value.If the nonlinear term satisfies generalized p-sublinear growth condition,some sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions for this problem are proved by variational methods and critical point theory.
Key words Nonlocal p-Laplacian equation；Neumann boundary value problem；Critical point.
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