第五章 角动量 角动量守恒定律自测题答案

第5章 角动量 角动量守恒定律自测题答案
一、选择题
1、（D ）
2、（D ）
3、（D ）
4、（C ）
5、（B ）
6、（C ）
7、（D ）
8、（D ）
9、（A ）10、（B ） 11、（B ） 12、(C) 13、(D) 14、（A ） 15、（C ） 16．（C ） 17、（A ） 18、（B ） 19、（B ） 20、（C ） 二、填空题
1、ML 2T -1 ；
2、s m kg /2⋅ ；
3、不一定；
4、不一定；
5、动量；
6、角动量；
7、恒定；
8、为零；
9、mrv ； 10、角动量； 11、2； 12、m v d ； 13、不为零； 14、10； 15、6 。

三、计算题
1.有一质量为0.5g 的质点位于平面上P(3，4)点处，其速度为j i v ϖ
ϖϖ
43+=，并受到了一力j F ϖ
ϖ
5.1=的作用。

求其对坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。

解：质点对坐标原点的位矢为 j i r ϖ
ϖ
ϖ
43+= （2分）
则其对坐标原点的角动量为
)43()43(105.03j i j i v m r L ϖ
ϖϖϖϖϖϖ+⨯+⨯⨯=⨯=- （4分） 0= （1分） 作用在该质点上的力矩为
j j i F r M ϖ
ϖϖϖϖϖ5.1)43(⨯+=⨯= （4分）
k ϖ
5.4= （1分）
2.一质量为1.0kg 的质点，受到一力j t i t F ϖ
ϖϖ)43()12(-+-=的作用，其中t 以s 为单
位，F ϖ
以N 为单位。

开始时质点静止于坐标原点，求t =2s 时质点对原点的角动量。

解：质点的加速度为 j t i t a ϖ
ϖ
ϖ
)43()12(-+-= （1分）
由dt
v
d a ϖϖ=，得 （2分）
j
t t i t t dt j t i t dt
a v t ϖ
ϖϖ
ϖϖϖ)42
3()(])43()12[(220
-+-=-+-==⎰⎰
（2分）
由dt
r
d v ϖϖ=，得 （2分）
j t t i t t dt j t t i t t
dt
v r t
ϖϖϖ
ϖϖϖ)22
1
()2131(])42
3()[(2323022
-+-=-+-==⎰⎰ （2分） 当t =2s 时， j i r ϖ
ϖ
ϖ43
2-=，j i v ϖϖϖ
22-= j i F ϖ
ϖϖ23+= （2分） 此时质点对原点的角动量为
k j i j i v m r L ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
ϖϖ
ϖ
ϖ3
26)22()43
2(=-⨯-=⨯= （1分）
3.一质量为1.0kg 的质点，沿k j t i t r ϖϖϖϖ3)1()12(32
+++-=曲线运动，其中t 的单位为
s ，r ϖ
的单位为m ，求在t =时质点对原点的角动量和作用在其上的力矩。

解：j t i t dt r
d v ϖϖϖϖ234+==，j t i dt
v d a ϖϖϖϖ64+== （2分）
故 j t i a m F ϖ
ϖϖ
ϖ
64+== （2分）
当t =1s 时，k j i r ϖϖϖϖ32++=，j i v ϖϖϖ34+=，j i F ϖ
ϖϖ64+= （2分）
此时质点对原点的角动量为
k j i j i k j i v m r L ϖ
ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ5129)34()32(-+-=+⨯++=⨯= （3分）
质点受到的力矩为
k j i j i k j i F r M ϖ
ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ21218)64()32(-+-=+⨯++=⨯= （3分）
4.人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心O 为该椭圆的一个焦点，如图所示，已知地球的平均半径R ＝6378km ，人造卫星距地面最近距离1l ＝439 km ，最远距离
2l ＝2384 km ，若人造卫星的近地点1A 的速度1v ＝
8.10
图
km/s ，求人造卫星在远地点2A 的速度。

解： 因为人造卫星在运动过程中，对O 点的角动量守恒。

人造卫星在近地点1A 的角动量 )(111l R mv L += （4分） 在远地点2A 的角动量 )(222l R mv L += （4分） 因为 21L L = （2分） 所以 s km l R l R v v /31.62
1
1
2=++= （2分）
5.一质点在有心力的作用下在一平面内作椭圆轨道运动，试利用质点的角动量守恒定律证明:质点对力心的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。

解：设质点任一时刻t 在椭圆轨道上的位矢为r ϖ
，速度为v ϖ
，在dt 时间内走过的路程vdt ds r d ==ϖ
，则它的位矢r ϖ
在dt 时间内扫过的面积为 vdt r ds r dS θsin 2
121==⊥ （3分）
式中θ为位矢r ϖ与速度v ϖ的夹角，于是质点对力心O 的位矢r ϖ
在相等的时间内扫过面积为
m
L
v r v r dt dS 221sin 21ϖ
ϖ
ϖ=⨯==θ （3分） 由于该质点在有心力的作用下运动，故质点对力心O 的角动量守恒，即
=L ϖ
常矢量 （3分）
则
==m
L
dt dS 2ϖ常量 （3分） 即质点对力心的位矢在相等的时间内扫过的面积相等。

6.如图所示，一长为2l 、质量为M 的匀质细棒，可绕棒中点的水平轴O 在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m 的小球以速度u 垂直下落在棒
的端点，设小球与棒作弹性碰撞，
求碰撞后小球的回跳
图
速度v 及棒转动的角速度ω各为多少
解：棒和小球组成的系统所受到的对轴O 的合外力矩为零，则系统对轴O 的角动量应守恒。

取垂直纸面向里为角动量L 正向，则系统初态角动量为mul ，终态角动量为ωJ 和mvl -。

mul =ωJ mvl - （4分）
223
1
)2(121Ml l M J ==
（3分） 因为是弹性碰撞，机械能守恒，有
22221
2121ωJ mv mu += （3分） 解得 u m
M m
M v 33+-= （1分） ， l m M mu )3(6+=
ω（1分）。