上海田家炳中学七年级下册数学期末试卷章末练习卷(Word版 含解析)

上海田家炳中学七年级下册数学期末试卷章末练习卷（Word 版 含解析） 一、解答题
1．如图1，AB //CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且
100EOF ∠=︒．
（1）求BEO OFD ∠+∠的值；
（2）如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出
EMN FNM ∠-∠的值；
（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线MN 分别交EG 、FH 分别于点M 、N ，且
50FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．
2．如图，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．
（1）如图1，求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；
（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H 请在图2中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；
3．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
4．已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系：；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
5．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；
（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝1
3
∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数；
（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1
n
∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系
二、解答题
6．如图1，E 点在BC 上，A D ∠=∠．180ACB BED ∠+∠=︒．
（1）求证：//AB CD
（2）如图2，//,AB CD BG 平分ABE ∠，与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB ∠大60︒，求DEB ∠的度数．
（3）保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分,EBK DN ∠平分CDE ∠，作
//BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请直接写出答案；若改变，请说明理由．
7．问题情境
（1）如图1，已知//, 125155AB CD PBA PCD ︒︒∠=∠=，，求BPC ∠的度数．佩佩同学的思路：过点P 作//PN AB ，进而//PN CD ，由平行线的性质来求BPC ∠，求得BPC ∠
︒
；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合90,//,ACB DF CG AB ︒∠=与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接
, PE PA ，记,PED PAC αβ∠=∠∠=∠．
①如图2，当点P 在,C D 两点之间运动时，请直接写出APE ∠与,αβ∠∠之间的数量关系；
②如图3，当点P 在,B D 两点之间运动时，APE ∠与,αβ∠∠之间有何数量关系？请判断并说明理由．
8．已知：直线1l ∥2l ，A 为直线1l 上的一个定点，过点A 的直线交 2l 于点B ，点C 在线段BA 的延长线上．D ，E 为直线2l 上的两个动点，点D 在点E 的左侧，连接AD ，AE ，满足∠AED ＝∠DAE ．点M 在2l 上，且在点B 的左侧．
（1）如图1，若∠BAD ＝25°，∠AED ＝50°，直接写出∠ABM 的度数 ；
（2）射线AF 为∠CAD 的角平分线．
① 如图2，当点D 在点B 右侧时，用等式表示∠EAF 与∠ABD 之间的数量关系，并证明； ② 当点D 与点B 不重合，且∠ABM ＋∠EAF ＝150°时，直接写出∠EAF 的度数 ．
9．已知两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2，点A ，B 在直线l 1上，点A 在点B 的左边，点C ，D 在直线l 2上，且满足115ADC ABC ∠=∠=o ．
（1）如图①，求证：AD ∥BC ；
（2）点M ，N 在线段CD 上，点M 在点N 的左边且满足MAC BAC ∠=∠，且AN 平分∠CAD ；
（Ⅰ）如图②，当30ACD ∠=o 时，求∠DAM 的度数； （Ⅱ）如图③，当8CAD MAN ∠=∠时，求∠ACD 的度数．
10．（感知）如图①，//,40,130AB CD AEP PFD ︒︒∠=∠=，求EPF ∠的度数．小明想到了以下方法：
解：如图①，过点P 作//PM AB ，
140AEP ︒∴∠=∠=（两直线平行，内错角相等）
//AB CD （已知），
//∴PM CD （平行于同一条直线的两直线平行），
2180PFD ︒∴∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）． 130PFD ︒∠=（已知），
218013050︒︒︒∴∠=-=（等式的性质）． 12405090︒︒︒∴∠+∠=+=（等式的性质）．
即90EPF ︒∠=（等量代换）．
（探究）如图②，//AB CD ，50,120AEP PFC ︒︒∠=∠=，求EPF ∠的度数．
（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点
G ，则G ∠的度数是_______________︒．
三、解答题
11．（1）如图1，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，AB ∥CD ，∠ADC =50°，∠ABC =40°，求∠AEC 的度数；
（2）如图2，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，∠ADC =α°，∠ABC =β°，求∠AEC 的度数；
（3）如图3，PQ ⊥MN 于点O ，点A 是平面内一点，AB 、AC 交MN 于B 、C 两点，AD 平分∠BAC 交PQ 于点D ，请问ADP
ACB ABC
∠∠-∠的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改
变，请说明理由．
12．如图所示，已知射线//,//,100CB OA AB OC C OAB ︒∠=∠=.点E 、F 在射线CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠ （1）求EOB ∠的度数；
（2）若平行移动AB ，那么:OBC OFC ∠∠的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.
13．己知:如图①，直线MN ⊥直线PQ ，垂足为O ，点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上(A 、B 不与O 点重合)，点C 在射线ON 上且2OC =，过点C 作直线//l PQ .点D 在点C 的左边且3CD =
(1)直接写出的BCD ∆面积 ;
(2)如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交OC 于E ，交AC 于F ，试说明
CEF CFE ∠=∠;
(3)如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在射线OQ 上运动，ACB ∠的平分线交DA 的延长线于点H ,在点B 运动过程中
H
ABC
∠∠的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围.
14．模型与应用.
（模型）
（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.
（应用）
（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．
如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为．
（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CM n M n－1的角平分线M n O交于点O，若∠M1OM n＝m°．
在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n －1的度数．（用含m 、n 的代数式表示）
15．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在ABC 中，若100A ∠=︒，70B ∠=︒，10C ∠=︒，则ABC 是“准互余三角形”； ②若ABC 是“准互余三角形”，90C ∠>︒，60A ∠=︒，则20B ∠=︒； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且50ABC ∠=︒．若P 是直线l 上一点，且ABP △是“准互余三角形”，请直接写出APB ∠的度数．
【参考答案】
一、解答题
1．（1） ；（2）的值为40°；（3）． 【分析】
（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解； （2）过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM 解析：（1）260BEO DFO ∠+∠=︒ ；（2）EMN FNM ∠-∠的值为40°；（3）5
3
．
【分析】
（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M 作MK ∥A B ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM =∠OEM =x ，∠CFN =∠OFN =y ，由∠BEO +∠DFO =260°可求x -y =40°，进而求解；
（3）设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，根据平行线的性质即三角形外角的性质及50FMN ENM ∠-∠=︒，可得50KFD AEG ∠-∠=︒，结合260AEG n OEG DFK n OFK BEO DFO ∠=∠=∠∠+∠=︒，，，可得
11
180100AEG AEG KFD KFD n n ∠+∠+︒-∠-∠=︒，
即可得关于n 的方程，计算可求解n 值．
证明：过点O 作OG ∥AB ，
∵AB ∥CD ， ∴AB ∥OG ∥CD ，
∴180180BEO EOG DFO FOG ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴360BEO EOG DFO FOG ∠+∠+∠+∠=︒， 即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒， ∵∠EOF =100°，
∴∠260BEO DFO +∠=︒；
（2）解：过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，
∵EM 平分∠BEO ，FN 平分∠CFO ， 设BEM OEM x CFN OFN y ∠=∠=∠=∠=，， ∵260BEO DFO ∠+∠=︒
∴21802260BEO DFO x y ∠+∠=+︒-=︒， ∴x -y =40°，
∵MK ∥AB ，NH ∥CD ，AB ∥CD ， ∴AB ∥MK ∥NH ∥CD ，
∴EMK BEM x HNF CFN y KMN HNM ∠=∠=∠=∠=∠=∠，，， ∴EMN FNM EMK KMN HNM HNF ∠+∠=∠+∠-∠+∠（） x KMN HNM y =+∠-∠-
=x -y
故EMN FNM ∠-∠的值为40°；
（3）如图，设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，
∵AB ∥CD ， ∴AKF KFD ∠=∠，
∵AKF EHK HEK EHK AEG ∠=∠+∠=∠+∠， ∴KFD EHK AEG ∠=∠+∠， ∵50EHK NMF ENM ∠=∠-∠=︒， ∴50KFD AEG ∠=︒+∠， 即50KFD AEG ∠-∠=︒，
∵AEG n OEG ∠=∠，FK 在∠DFO 内，DFK n OFK ∠=∠．
∴1
180180CFO DFK OFK KFD KFD n ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ ，
1
AEO AEG OEG AEG AEG n ∠=∠+∠=∠+∠，
∵260BEO DFO ∠+∠=︒， ∴100AEO CFO ∠+∠=︒，
∴11
180100AEG AEG KFD KFD n n ∠+∠+︒-∠-∠=︒，
即(180)1KFD AEG n ⎛⎫
⎪⎝∠⎭+-∠︒＝， ∴115080n ⎛⎫
⎪⨯⎭
︒︒⎝+＝， 解得53
n = ． 经检验，符合题意， 故答案为：5
3
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
2．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，．
【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解．
【详解】
（1）证明：
解析：（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C 在AG 上时，290AHB CBG ∠-∠=︒；当点C 在DG 上时，290AHB CBG ∠+∠=︒．
【分析】
（1）过点G 作//GE MN ，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点C 在AG 上，当点C 在DG 上，再过点H 作//HF MN 即可求解．
【详解】
（1）证明：如图，过点G 作//GE MN ，
∴MAG AGE ∠=∠，
∵//MN PQ ，
∴//GE PQ ．
∴PBG BGE ∠=∠．
∵BG AD ⊥，
∴90AGB ∠=︒，
∴90MAG PBG AGE BGE AGB ∠+∠=∠+∠=∠=︒．
（2）补全图形如图2、图3，
猜想：290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒．
证明：过点H 作//HF MN ．
∴1AHF ∠=∠．
∵//MN PQ ，
∴//HF PQ
∴2BHF ∠=∠，
∴12AHB AHF BHF ∠=∠+∠=∠+∠．
∵AH 平分MAG ∠，
∴21MAG ∠=∠．
如图3，当点C 在AG 上时，
∵BH 平分PBC ∠，
∴22PBC PBG CBG ∠=∠+∠=∠，
∵//MN PQ ，
∴MAG GDB ∠=∠，
2212290AHB MAG PBG CBG
GDB PBG CBG CBG
∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠
即290AHB CBG ∠-∠=︒．
如图2，当点C 在DG 上时，
∵BH 平分PBC ∠，
∴22PBC PBG CBG ∠=∠-∠=∠．
∴2212290AHB MAG PBG CBG CBG ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠．
即290AHB CBG ∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．
3．（1）∠BME ＝∠MEN ﹣∠END ；∠BMF ＝∠MFN ＋∠FND ；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E 作EH ∥AB ，易得EH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质可求解；过F 作FH ∥AB
解析：（1）∠BME ＝∠MEN ﹣∠END ；∠BMF ＝∠MFN ＋∠FND ；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E 作EH ∥AB ，易得EH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质可求解；过F 作FH ∥AB ，易得FH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME +∠END ）+∠BMF -∠FND =180°，可求解∠BMF =60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ =1
2∠BME ，进而可求解．
【详解】
解：（1）过E 作EH ∥AB ，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝1
2∠MEN＝1
2
（∠BME＋∠END），∠ENP＝1
2
∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝1
2（∠BME＋∠END）﹣1
2
∠END＝1
2
∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝1
2
×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．4．（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°
【分析】
（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即
解析：（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°
【分析】
（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣1
2
（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．【详解】
解：（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1
∵EP∥AB且ME平分∠BMH，
∴∠MEQ＝∠BME＝1
2
∠BMH．
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝1
2
∠GND．（两直线平行，内错角相等）
∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝1
2∠BMH＋1
2
∠GND＝1
2
（∠BMH＋∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．
∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．
（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2
由（1）可得∠MEN＝1
2
（∠BMH＋∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN＋∠MHN＝360°．
故答案为：2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②：由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，
∵∠H＝∠MHN＝140°，
∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．
∴∠MEN＝110°．
过点H作HT∥MP．如答图2
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝1
2∠AMH＝1
2
（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣1
2
（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝1
2
∠HND．
∴∠ENQ＋1
2∠HND＋140°﹣90°＋1
2
∠BMH＝180°．
∴∠ENQ＋1
2
（HND＋∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ＋1
2
∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．
5．（1）65°；（2）；（3）2n ∠M+∠BED=360°
【分析】
（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，连结MF ，利用平行线的性质可得
∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+
解析：（1）65°；（2）3606
α︒-︒；（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】
（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，连结MF ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M 的度数；
（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；
（3）由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．
【详解】
解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，连结MF ，
//AB CD ，
//////EG AB FH CD ∴，
ABF BFH ∴∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒， 360ABE BEG GED CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，
100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒，
260ABE CDE ∴∠+∠=︒，
ABE ∠和CDE ∠的角平分线相交于E ，
130ABF CDF ∴∠+∠=︒，
130BFD BFH DFH ∴∠=∠+∠=︒，
BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线，
12MBF ABF ∴∠=∠，12
MDF CDF ∠=∠， 65MBF MDF ∴∠+∠=︒，
1306565BMD ∴∠=︒-︒=︒；
（2）如图1，13
ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠， 3ABF ABM ∴∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，
ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，
6ABE ABM ∴∠=∠，6CDE CDM ∠=∠，
66360ABM CDM BED ∴∠+∠+∠=︒，
BMD ABM CDM ∠=∠+∠，
6360BMD BED ∴∠+∠=︒， 3606
BMD α︒-︒∴∠=； （3）由（2）结论可得，22360n ABM n CDM E ∠+∠+∠=︒，M ABM CDM ∠=∠+∠， 则2360n M BED ∠+∠=︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
二、解答题
6．（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再 解析：（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，可得ACB CED ∠=∠，所以//AC DF ，可得A DFB ∠=∠，又A D ∠=∠，进而可得结论； （2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，根据//AB CD ，可得//////AB EM HN CD ，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB ∠比DHB ∠大60︒，列出等式即可求DEB ∠的度数；
（3）如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM ∠的度数．
【详解】
解：（1）证明：如图1，延长DE 交AB 于点F ，
180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，
ACB CED ∴∠=∠，
//AC DF ∴，
A DF
B ∴∠=∠，
A D ∠=∠，
DFB D ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
（2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，
//AB CD ，
//////AB EM HN CD ∴，
1180EDF ∴∠+∠=︒，MEB ABE ∠=∠， BG 平分ABE ∠， 12ABG ABE ∴∠=∠， //AB HN ，
2ABG ∴∠=∠，
//CF HN ，
23β∴∠+∠=∠，
∴1
32
ABE β∠+∠=∠， DH 平分EDF ∠，
132
EDF ∴∠=∠， ∴1122
ABE EDF β∠+∠=∠，
1()2EDF ABE β∴∠=∠-∠， 2EDF ABE β∴∠-∠=∠，
设DEB α∠=∠，
1180180()1802MEB EDF ABE EDF ABE αβ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠-∠=︒-∠，
DEB ∠比DHB ∠大60︒，
60αβ∴∠-︒=∠，
1802(60)αα∴∠=︒-∠-︒
解得100α∠=︒
DEB ∴∠的度数为100︒；
（3）PBM ∠的度数不变，理由如下：
如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，
BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，
12
EBM MBK EBK ∴∠=∠=∠， 12
CDN EDN CDE ∠=∠=∠， //ES CD ，//AB CD ，
////ES AB CD ∴，
DES CDE ∴∠=∠，
180BES ABE EBK ∠=∠=︒-∠，
G PBK ∠=∠，
由（2）可知：100DEB ∠=︒，
180100CDE EBK ∴∠+︒-∠=︒，
80EBK CDE ∴∠-∠=︒，
//BP DN ，
CDN G ∴∠=∠，
12
PBK G CDN CDE ∴∠=∠=∠=∠， PBM MBK PBK ∴∠=∠-∠
1122
EBK CDE =∠-∠ 1()2
EBK CDE =∠-∠ 1802
=⨯︒ 40=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 7．（1）80；（2）①；②
【分析】
（1）过点P 作PG ∥AB ，则PG ∥CD ，由平行线的性质可得∠BPC 的度数； （2）①过点P 作FD 的平行线，依据平行线的性质可得∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；
解析：（1）80；（2）①APE αβ∠=∠+∠；②APE βα∠=∠-∠
【分析】
（1）过点P 作PG ∥AB ，则PG ∥CD ，由平行线的性质可得∠BPC 的度数；
（2）①过点P 作FD 的平行线，依据平行线的性质可得∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P 作PQ ∥DF ，依据平行线的性质可得∠β=∠QPA ，∠α=∠QPE ，即可得到∠APE =∠APQ -∠EPQ =∠β-∠α．
【详解】
解：（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°，∠C+∠CPG=180°，
又∵∠PBA=125°，∠PCD=155°，
∴∠BPC=360°-125°-155°=80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，
过点P作FD的平行线PQ，
则DF∥PQ∥AC，
∴∠α=∠EPQ，∠β=∠APQ，
∴∠APE=∠EPQ+∠APQ=∠α+∠β，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠β-∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，
∴∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
8．（1）；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）由平行线的性质可得到：，，再利用角的等量代换换算即可；
（2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分类讨论点在的左右两侧的情况，
解析：（1）125︒；（2）①2ABD EAF ∠=∠，见解析；②30或110︒
【分析】
（1）由平行线的性质可得到：DEA EAN =∠∠，MBA BAN =∠∠，再利用角的等量代换换算即可；
（2）①设EAF α∠=，AED=DAE=β∠∠，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出ABD ∠对比即可；②分类讨论点D 在B 的左右两侧的情况，运用角的等量代换换算即可．
【详解】
．
解：（1）设在1l 上有一点N 在点A 的右侧，如图所示：
∵12//l l
∴DEA EAN =∠∠，MBA BAN =∠∠
∴50AED DAE EAN ==︒∠＝∠∠
∴255050125BAN BAD DAE EAN =++=︒+︒+︒=︒∠∠∠∠
125BAM =︒∠
（2）①2ABD=EAF ∠∠．
证明：设EAF α∠=，AED=DAE=β∠∠．
∴+=+FAD EAF DAE αβ=∠∠∠．
∵AF 为CAD ∠的角平分线，
∴22+2CAD FAD αβ==∠∠．
∵12l l ，
∴EAN=AED=β∠∠．
∴2+22CAN CAD DAE EAN αβββα=--=--=∠∠∠∠．
∴=22ABD CAN EAF α∠∠==∠．
②当点D 在点B 右侧时，如图：
由①得：2ABD EAF ∠=∠
又∵180ABD ABM +=︒∠∠
∴2180ABM EAF +=︒∠∠
∵150ABM EAF ∠+∠︒＝
∴18015030EAF =︒-︒=︒∠
当点D 在点B 左侧，E 在B 右侧时，如图：
∵AF 为CAD ∠的角平分线 ∴12
DAF CAD =∠∠ ∵12l l
∴AED NAE =∠∠，CAN ABE =∠∠
∵DAE AED NAE ==∠∠∠ ∴11()22
DAE DAE NAE DAN =+=∠∠∠∠ ∴11()(360)22
EAF DAF DAE CAD DAN CAN =+=+=︒-∠∠∠∠∠∠ 11802
ABE =︒-∠ ∵180ABE ABM +=︒∠∠ ∴11180(180)9022
EAF ABM ABM =︒-︒-=︒+∠∠∠ 又∵150EAF ABM +=︒∠∠
∴1190(150)16522
EAF EAF EAF =︒+⨯︒-=︒-∠∠∠ ∴110EAF =︒∠
当点D 和F 在点B 左侧时，设在2l 上有一点G 在点B 的右侧如图：
此时仍有12DAE DAN =∠∠，12
DAF CAD =∠∠ ∴11(360)1802211180(180)9022EAF DAE DAF CAN ABG ABM ABM =+=
︒-=︒-=︒-︒-=︒+∠∠∠∠∠∠∠ ∴110EAF =︒∠
综合所述：30EAF ∠=︒或110︒
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．
9．（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）（Ⅰ）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角的和差可得 解析：（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）5DAM ∠=︒；（Ⅱ）25ACD ∠=︒．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得65BAD ∠=︒，再根据角的和差可得180BAD ABC ∠+∠=︒，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）（Ⅰ）先根据平行线的性质可得30BAC ACD ∠=∠=︒，从而可得30MAC ∠=︒，再根据角的和差可得35DAC ∠=︒，然后根据DAM DAC MAC ∠=∠-∠即可得；
（Ⅱ）设MAN x ∠=，从而可得8CAD x ∠=，先根据角平分线的定义可得
142
CAN CAD x ∠=∠=，再根据角的和差可得5BAC MAC x ∠=∠=，然后根据65CAD BAC BAD ∠+∠=∠=︒建立方程可求出x 的值，从而可得BAC ∠的度数，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】
（1）12//,115l l ADC ∠=︒，
18065BAD ADC ∴∠=︒-∠=︒，
又115ABC ∠=︒，
180BAD ABC ∴∠+∠=︒，
//AD BC ∴；
（2）（Ⅰ）12//,30l l ACD ∠=︒，
30BAC ACD ∴∠=∠=︒，
MAC BAC ∠=∠，
30MAC ∴∠=︒，
由（1）已得：65BAD ∠=︒，
35DAC BAD BAC ∴∠=∠-∠=︒，
35305DAM DAC MAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；
（Ⅱ）设MAN x ∠=，则8CAD x ∠=， AN 平分CAD ∠，
142
CAN CAD x ∴∠=∠=， 5MAC CAN MAN x ∴∠=∠+∠=，
MAC BAC ∠=∠，
5BAC x ∴∠=，
由（1）已得：65BAD ∠=︒，
65CAD BAC BAD ∴∠+∠=∠=︒，即8565x x +=︒，
解得5x =︒，
525BAC x ∴∠==︒，
又12//l l ，
25ACD BAC ∴∠=∠=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的几何应用等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
10．[探究] 70°；[应用] 35
【分析】
[探究]如图②，根据AB ∥CD ，∠AEP=50°，∠PFC=120°，即可求∠EPF 的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA 的平分线
解析：[探究] 70°；[应用] 35
【分析】
[探究]如图②，根据AB ∥CD ，∠AEP=50°，∠PFC=120°，即可求∠EPF 的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点G ，可得∠G 的度数．
【详解】
解：[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE=∠AEP=50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC=∠MPF=120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°（等式的性质）．答：∠EPF的度数为70°；
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，PG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG=1
2∠AEP=25°，∠GCF=1
2
∠PFC=60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE=∠AEG=25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC=∠MGF=60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°．
答：∠G的度数是35°．
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
三、解答题
11．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，
∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠
解析：（1）∠E =45°；（2）∠E =2βα-；（3）不变化，12
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平
分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，则可得∠E= 12（∠D+∠B ），继而求得答案；
（2）首先延长BC 交AD 于点F ，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D ，又由角平分线的性质，即可求得答案．
（3）由三角形内角和定理，可得
90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12
∠BAD ， ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E ，
∴∠E=12
（∠D+∠B ）， ∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，
∴∠AEC=12
×（50°+40°）=45°；
（2）延长BC 交AD 于点F ，
∵∠BFD=∠B+∠BAD ，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D ，
∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ， ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB ，
∴∠E=∠B+∠EAB －∠ECB=∠B+∠BAE －12
∠BCD =∠B+∠BAE －12
（∠B+∠BAD+∠D ） = 12
（∠B －∠D ）， ∠ADC =α°，∠ABC =β°，
即∠AEC=.2βα
-
（3）ADP ACB ABC ∠∠-∠的值不发生变化，1.2
ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠ 理由如下：
如图，记AB 与PQ 交于E ，AD 与CB 交于F ，
,PQ MN ⊥
90,DOC BOE ∴∠=∠=︒
90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠①，
ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠②，
∴ ①－②得：90,DFO ACB ABC DAC OEB ︒-∠=∠-∠+∠-∠
90,DFO OEB DAC ACB ABC ∴︒-∠+∠-∠=∠-∠
90,,ADP DFO OEB EAD ADP ∠=︒-∠∠-∠=∠
AD 平分∠BAC ，
,BAD CAD ∴∠=∠
,OEB CAD ADP ∴∠-∠=∠
2,ADP ACB ABC ∠=∠-∠
1.2
ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
12．（1）40°；（2）的值不变，比值为;（3）∠OEC=∠OBA=60°.
【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出
∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA ，从而得出答案；
（2
解析：（1）40°；（2）:OBC OFC ∠∠的值不变，比值为1
2;（3）∠OEC=∠OBA=60°.
【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA ，从而
得出答案；
（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA ，∠OFC=∠FOA ，再根据
∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB ，即可得出∠OBC ：∠OFC 的值为1：2．
（3）设∠AOB=x ，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC ，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA ，然后列出方程求解即可．
【详解】
（1）∵CB ∥OA
∴∠C+∠COA=180°
∵∠C=100°
∴∠COA=180°-∠C=80°
∵∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF
∴∠FOB+∠EOF=12（∠AOF+∠COF ）=12∠COA=40°;
∴∠EOB=40°;
（2）∠OBC：∠OFC的值不发生变化
∵CB∥OA
∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA
∵∠FOB=∠AOB
∴∠FOA=2∠BOA
∴∠OFC=2∠OBC
∴∠OBC：∠OFC=1：2
（3）当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA．
设∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵CB∥OA，AB∥OC，
∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°
∴∠OAB=∠C=100°．
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°，
∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x，
∴x+40°=80°-x，
∴x=20°，
∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°．
【点睛】
本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
13．(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD的高为OC，所以S△BC D=CD•OC，（2）利用
∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠
解析：(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD的高为OC，所以S△BCD=1
2
CD•OC，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，
∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE．
（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出∠ABC=2∠H，即可得答案．
详解：（1）S△BCD=1
2
CD•OC=
1
2
×3×2=3．
（2）如图②，∵AC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠CFE+∠CBF=90°．∵直线MN⊥直线PQ，
∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°．∵BF是∠CBA的平分线，∴∠CBF=∠OBE．∵∠CEF=∠OBE，∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，∴∠CEF=∠CFE．
（3）如图③，∵直线l∥PQ，∴∠ADC=∠PAD．∵∠ADC=∠DAC
∴∠CAP =2∠DAC ．∵∠ABC +∠ACB =∠CAP ，
∴∠ABC +∠ACB =2∠DAC ．∵∠H +∠HCA =∠DAC ，∴∠ABC +∠ACB =2∠H +2∠HCA ∵CH 是，∠ACB 的平分线，∴∠ACB =2∠HCA ，∴∠ABC =2∠H ，∴H ABC ∠∠=12
．
点睛：本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求解． 14．（1）证明见解析；（2）900° ，180°(n －1)；（3）(180n －180－2m)°
【详解】
【模型】
（1）证明：过点E 作EF ∥CD ，
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥AB ，
∴∠1＋∠MEF
解析：（1）证明见解析；（2）900° ，180°(n －1)；（3）(180n －180－2m)°
【详解】
【模型】
（1）证明：过点E 作EF ∥CD ，
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥AB ，
∴∠1＋∠MEF ＝180°，
同理∠2＋∠NEF ＝180°
∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°
【应用】
（2）分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；
由上面的解题方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°(n－1)，
故答案是：900°， 180°(n－1)；
（3）过点O作SR∥AB，
∵AB∥CD，
∴SR∥CD，
∴∠AM1O＝∠M1OR
同理∠C M n O＝∠M n OR
∴∠A M1O＋∠CM n O＝∠M1OR＋∠M n OR，
∴∠A M1O＋∠CM n O＝∠M1OM n＝m°，
∵M1O平分∠AM1M2，
∴∠AM1M2＝2∠A M1O，
同理∠CM n M n-1＝2∠CM n O，
∴∠AM1M2＋∠CM n M n-1＝2∠AM1O＋2∠CM n O＝2∠M1OM n＝2m°，
又∵∠A M1M2＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CM n M n-1＝180°(n－1)，
∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝(180n－180－2m)°
点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要．
15．（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°【分析】
（1）由和是的角平分线，证明即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角
解析：（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由90ABC A ∠+∠=︒和BD 是ABC 的角平分线，证明290ABD A ∠+∠=︒即可； （2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A +∠ABC =90°；②∠A +2∠APB =90°；③2∠APB +∠ABC =90°；④2∠A +∠APB =90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，
∴90ABC A ∠+∠=︒，
∵BD 是ABC ∠的角平分线，
∴2ABC ABD ∠=∠，
∴290ABD A ∠+∠=︒，
∴ABD △是“准互余三角形”；
（2）①∵70,10B C ∠=︒∠=︒，
∴290B C ∠+∠=︒，
∴ABC 是“准互余三角形”，
故①正确；
②∵60A ∠=︒， 20B ∠=︒，
∴210090A B ∠+∠=︒≠︒，
∴ABC 不是“准互余三角形”，
故②错误；
③设三角形的三个内角分别为,,αβγ，且αβγ<<，
∵三角形是“准互余三角形”，
∴290αβ+=︒或290αβ+=︒，
∴90αβ+<︒，
∴180()90γαβ=︒-+>︒，
∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，
故③正确；
综上所述，①③正确，
故答案为：①③；
（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°；
如图①，
当2∠A+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=20°，
∴∠APB=110°；
如图②，当∠A+2∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
∴∠APB=40°；
如图③，当2∠APB+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB=20°；
如图④，当2∠A+∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
所以∠A=40°，
所以∠APB=10°；
综上，∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时，ABP
△是“准互余三角形”．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解．。